通信原理第二章随机信号分析（清华版）

,通 信 原 理,第2章 随机信号分析,2.1 引言 2.2 随机过程的一般表述 2.3 平稳随机过程 2.4 平稳随机过程的相关函数与功率谱密度 2.5 高斯过程 2.6 窄带随机过程 2.7 正弦波加窄带高斯过程 2.8 随机过程通过线性系统,第2章 绪 论,主要内容： 重点内容： 随机过程的一般表述 平稳随机过程的相 关函数与功率谱密度 平稳随机过程 正弦波加窄带高斯过程 高斯过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程,2.1 引 言,一 信号 1.信号的类型 取值方式： 连续信号 离散信号 确定性： 确知信号 随机信号 强 度： 能量信号 功率信号 2.确知信号 其取值在任何时刻都是确定的和可以预知的信号。可以用一个公式计算出它在任意时刻的取值 周期信号 非周期信号 3.随机信号 其取值不确定且不能事先确切预知的信号。不能用一个公式准确计算出它在任意时刻的取值，但长时间观察有一定的统计规律，可以找出其统计特性，通常把这种信号看作是一个随机过程,二 能量信号与功率信号,1.信号的归一化功率 电流在单位电阻上（1）上消耗的功率，即归一化功率S S=V2/R=I2*R =V2=I2（W） 2.信号能量 信号的电压和电流是时变的，则S=s (t)，s(t)代表信号的波形，信号能量是信号瞬时功率的积分： E=s2(t)d(t)（J） 3.能量信号 信号的能量为有限正值，但其平均功率为零的信号 0E=s2(t)d(t) P=lim 1/Ts2(t)d(t) 4.功率信号 信号平均功率为有限正值，但其能量为无穷大的信号,三 确知信号的性质,确知信号在频域中的特性，即频率特性。主要有：功率信号的频谱、能量信号的频谱密度、能量信号的能量谱密度、功率信号的功率谱密度 1.信号的傅立叶变换 f(t)=1/2F()ejtd F()=f(t) e jtdt 2.频域性质 (1)功率信号的频谱C(jn0) 一个周期为T0的功率信号s(t)的频谱C(jn0)定义为： C(jn0)=1/T0s(t) e-jn0tdt C(jn0)代表在频率f0上信号分量的复振幅： C(jn0)=|Cn| e-jn Cn是频率为nf0的信号分量的振幅 n是频率为nf0的信号分量的相位,例2.1 试求周期性方波的频谱,解：设一周期性方波的周期为T，宽度为，幅度为V 时域表达式： 波形图：,求频谱：,频谱图：,=V/TSa(n0/2T),Sa(t)= Sin(t)/t 称为抽样函数,一个能量信号为s(t)，则它的频谱密度S()可由此信号的傅立叶变换求出 S()=s(t)ejtdt 例2.2 试求一个矩形脉冲的频谱密度 解：设此矩形脉冲的表示式为： 相应波形为： 其频谱密度就是它的傅里叶变换： 对应的频谱图：,频谱密度S()的逆傅立叶变换就是原信号 S(t)=S()ejtd,(2) 能量信号的频谱密度S(),(3) 能量谱密度G(f),一个能量信号s(t)的能量为E，E=s2(t)dt，若其傅立叶变换即频谱密度为S(f)，由巴塞伐尔定理可得: G(f)=|S(f)|2表示信号在频率轴上的积分等于信号能量，则称其为能量谱密度，单位为(J/Hz)。所以有： 根据G(f)的性质：因s(t)是实函数，故|S(f)|2 是偶函数，,功率信号能量无穷大，不能计算其能量谱密度，但可以求出其功率谱密度。先将信号s (t)截短为sT(t) ，-T/2tT/2，就是能量信号了，可用傅立叶变换求出能量谱密度G(f)=|ST(f)|2，则有： E=1/TsT2(t) dt=1/T|ST(f)|2df 将：p(f)=lim1/T|sT(f)|2定义为信号的功率谱密度，则信号的功率为： P= lim1/T|ST(f)|2df =p(f)df,若功率信号具有周期性T0，则用傅立叶级数代替傅立叶变换求相应的参数,(4) 功率谱密度p(f),3.时域性质,(1)自相关函数 自相关函数反映了一个信号与其延迟秒后的信号相关程度 能量信号s(t)的自相关函数定义为： R()=s (t)s (t+) dt - 功率信号s(t)的自相关函数定义为： R()= lim1/Ts (t) s (t+) dt - 性质： R()只和 有关，和 t 无关 当 = 0时，能量信号的R()等于信号的能量；功率信号的R()等于信号的平均功率,(2) 互相关函数,互相关函数反映一个信号和延迟秒后和另外一个信号的相关程度 能量信号s1(t)和s2(t)的互相关函数定义为： R12()=s1(t) s2(t+) dt - 功率信号s1(t)和s2(t)的互相关函数定义为： R12()= lim1/Ts1 (t) s2(t+) dt - 性质： R12()只和 有关，和 t 无关； 证：令x = t + ，则,(3)互相关函数的特性 若对所有的， R12()=0，则两个信号互不相关 当0时，R12()R21()而有： R12()=R21(-) 当= 0时，R12(0) = R21(0) (4)自相关函数的特性 R()=R(-) R(0)R() R(0)=E或R(0)=S (5)自相关函数与能量谱密度函数、功率谱密度函数的关系 能量信号： R() S() 功率信号： R() p(),傅立叶变换对,2.2 随机信号分析,一 随机信号 具有随机性的信号称为随机信号 通信信号是典型的随机信号，它的某个参数或几个参数是不能预知或完全预知的，如频率、幅度、相位、时间等 通信系统中的噪声称为随机噪声或噪声 随机信号和随机噪声从统计学的观点统称为随机过程,二 随机过程基础,1.随机变量X 定义：设随机实验的样本空间为S= ei，如果对每一个元素eiS都有一个实数X ei与之对应，对所有的元素eS，就得到一个定义在看见S 上的实单值函数X e，称X e为随机变量，简写为X。一般用大写字母表示随机变量，用相应的小写字母表示随机变量的可能取值 2.随机变量的分类 取值：离散随机变量 连续随机变量 维数：一维随机变量 二维随机变量 多维随机变量,通过大量实验得到的结果就是随机信号的统计规律，分布律就是研究这种统计特性的一种方法，它描述随机变量各可能取值与相应的概率之间的对于关系 （1）概率分布函数F(x) 定义：随机变量X取值不超过x的概率称为概率分布函数或积累分布函数： F(x) =P(Xx) 意义：说明随机变量在某一区域内取值的规律 （2）概率密度函数f(x) 定义：概率分布函数F(X)对x的导数： f(x)=d F(x)/dx 积分形式： F(x)=f()/d,3.随机变量的统计特征,二维随机变量 (X,Y)是表示二维平面上的一个随机点 N维随机变量( X1,X2 Xn )推广为表示N维平面上的一个随机点 二维随机变量概率分布函数FXY(x,y) FXY(x,y)= P(Xx,Yy)称为联合概率分布 FX(x) FY(y)则称为边缘规律分布函数 N维随机变量的n维概率分布函数FX(x1,x2 xn) FX(x1,x2 xn)P(X1x1, X2x2 Xn xn ) 二维随机变量概率密度函数fXY(x,y) fXY(x,y)2FXY(x,y)/xy N维随机变量概率密度函数fX(x1,x2 xn) fX(x1,x2 xn)=n FX(x1,x2 xn)/x1x2 xn,(3) 多维随机变量的分布律,三 随机变量的数字特征,分布律描述的是随机变量的统计特征，是利用随机变量取值与取值概率的对应关系 数字特征描述的是随机变量的集中特性、离散特性和随机变量之间的相关性，数字特征也称特征数，主要有： 1.集中特性 (1) 数学期望Ex或Mx 数学期望又称统计平均或集合平均，简称均值 定义： Exxip(X=xi)=xipi 离散随机变量 ExxpX(x)dx 连续随机变量 物理意义：如果把概率密度看作是具有一定密度的曲线， Mx就是曲线的重心,若X和Y互相独立，且E(X)和E(Y)存在。,性质：,(2) 中位数Me 定义: 使p(XMe)成立的Me称为随机变量的中位数 物理意义: 中位数将随机变量概率密度f(x)的面积一分为二 (3) 众数Mo 定义：概率最大(离散随机变量)或概率密度最大(连续随机变量)的点xM称为众数，记为Mo,2.离散特性,(1) 方差Dx或x2 方差用于度量随机变量偏离其数学期望的程度，描述的是随机变量取值分布的离散特性 方差不同则表现为概率密度曲线在数学期望附近集中的程度 定义：DxE(x-Ex)2 离散随机变量 DxE(x-Ex)2=(x-Ex)2fX(x)dx 连续随机变量 (2) 均方差x 方差开方后称为均方差或标准差 性质：D(C) = 0 D(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X) D(X+Y)=D(X)+D(Y) D(X1+X2+ +Xn)=D(X1)+D(X2)+ +D(Xn),3.相关性,(1)矩函数 原点矩mn 一阶原点矩m1： m1Ex1= Ex n阶原点矩mn： mnExn n=1,2, mnxinpi n=1,2, 离散随机变量 mnxnfX(x)dx n=1,2, 连续随机变量 中心矩n 性质： 一阶原点矩为数学期望： 二阶中心矩为方差：,曲线的几何重心,2.3 平稳随机过程,2.3.1 随机过程的基本概念 X(A, t) 事件A的全部可能“实现”的总体 X(Ai, t) 事件A的一个实现，为确定的时间函数 X(A, tk)在给定时刻tk上的函数值 简记： X(A, t) X(t) X(Ai, t) Xi(t) 例：接收机噪声 随机过程的数字特征： 统计平均值： 方差： 自相关函数：,1.定义： 平稳随机过程：统计特性与时间起点无关的随机过程。(又称严格平稳随机过程) 广义平稳随机过程的定义：平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。 2.广义平稳随机过程的性质： 严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。,2.3.2 平稳随机过程,1.“各态历经”的含义 平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。 2.各态历经过程的特点 可用时间平均值代替统计平均值 例 各态历经过程的统计平均值mX： 各态历经过程的自相关函数RX(): 一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳随机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经性。,2.3.3 各态历经性,假设信号和噪声都是各态历经的。 一阶原点矩mX = EX(t) 是信号的直流分量； 一阶原点矩的平方mX2 是信号直流分量的归一化功率； 二阶原点矩E X2(t) 是信号归一化平均功率； 二阶原点矩的平方根EX2(t)1/2 是信号电流或电压的 均方根值（有效值）； 二阶中心矩X2 是信号交流分量的归一化平均功; 若mX = mX 2 = 0，则X2 = E X2( t ) ； 标准偏离X 是信号交流分量的均方根值； 若mX = 0，则X就是信号的均方根值 。,3.稳态通信系统的各态历经性,自相关函数的性质 平稳随机过程X(t)的自相关函数: R()=EX(t) X(t+) X(t)的平均功率（总功率）： 的偶函数 R()的上界 X(t)的直流功率 X(t)的交流功率,2.3.4平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度,2.功率频谱密度的性质,复习：确知信号的功率谱密度： 类似地，平稳随机过程的功率谱密度为： 平均功率：,由 式中： 令 =t t，k =t + t，则上式可以化简成 于是有：,3.自相关函数和功率谱密度的关系,上式表明，PX(f)和R( )是一对傅里叶变换，这称维纳-辛钦关系： PX(f)的性质： PX(f) 0，并且PX(f)是实函数。 PX(f) PX(-f)，即PX(f)是偶函数。 例2.7 设有一个二进制数字信号x(t)，如图所示，其振幅为+a或-a；在时间 T 内其符号改变的次数k服 从泊松分布 式中，是单位时间内振幅的符号 改变的平均次数。试求其相关函 数R()和功率谱密度P(f)。,解：由图可以看出，乘积x(t) x(t-)只有两种可能取值：a2，或-a2。因此，式： 可以化简为： R() = a2a2出现的概率+(-a2)(-a2)出现的概率 式中，“出现的概率”可以按上述泊松分布P(k)计算。 若在 秒内x(t)的符号有偶数次变化，则出现 +a2; 若在 秒内x(t)的符号有奇数次变化，则出现 -a2。 因此， 用 代替泊松分布式中的T，得到,由于在泊松分布中 是时间间隔，所以它应该是非负数。所以，在上式中当取负值时，上式应当改写成： 将上两式合并，最后得到： 其功率谱密度P(f )可以由其自相关函数R()的傅里叶变换求出： R()和P(f ) 的曲线：,例2.8 设一随机过程的功率谱 密度P(f )如图所示。试求其自 相关函数R()。 解：功率谱密度P(f )已知， 式中： 自相关函数曲线：,例2.9 试求白噪声的自相关函数和功率谱密度。 解：白噪声是指具有均匀功率谱密度Pn(f )的噪声，即：Pn(f)n0/2 式中，n0为单边功率谱密度(W/Hz) 白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得: 由上式看出，白噪声的任何两个相邻时间(即0时)的抽样值都是不相关的。 白噪声的平均功率 : 上式表明，白噪声的平均功率为无穷大。,带限白噪声：带宽受到限制的白噪声 带限白噪声的功率谱密度： 设白噪声的频带限制在(-fH, fH)之间，则有 Pn(f) = n0 / 2， -fH f fH = 0，其他处 其自相关函数为： 曲线：,4.带限白噪声的功率谱密度和自相关函数,2.4 高斯过程(正态随机过程),1.定义 一维高斯过程的概率密度： 式中：a = EX(t) 为均值 2 = EX(t) - a2 为方差 为标准偏差 高斯过程是平稳过程，故其概率密度pX (x, t1)与t1无关， 即： pX (x, t1) pX (x) pX(x)的曲线：,高斯过程的严格定义：任意n维联合概率密度满足： 式中：ak为xk的数学期望(统计平均值)；k为xk的标准偏差； |B|为归一化协方差矩阵的行列式，即： |B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子； bjk为归一化协方差函数，即：,(1) pX (x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)仅由各个随机变量的数学期望ai，标准偏差i和归一化协方差bjk决定，因此它是一个广义平稳随机过程。 若x1, x2, , xn等两两之间互不相关 ，则有当 j k 时，bjk = 0。这时， 即，此n维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积。 若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者互不相关；若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率密度之积，则称为两者互相独立。互不相关的两个随机变量不一定互相独立。互相独立的两个随机变量则一定互不相关。 (4) 高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立。,2. n维高斯过程的性质,p(x)对称于直线 x = a，即有： p(x)在区间(-, a)内单调上升，在区间(a, )内单调下降，并且在点a处达到其极大值: 当x - 或 x + 时，p(x) 0。 若a = 0, = 1，则称这种分布为标准化正态分布：,3.正态概率密度的性质,将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数 ： 式中，(x)称为概率积分函数 ： 此积分不易计算，通常用查表方法计算。,4.正态分布函数,误差函数定义： 补误差函数定义： 正态分布表示法：,5.用误差函数表示正态分布,频率近似为fc,2.5 窄带随机过程,2.5.1 窄带随机过程的基本概念 1.何谓窄带 设随机过程的频带宽度为f，中心频率为fc。若ffc，则称此随机过程为窄带随机过程 2.窄带随机过程的波形和表示式 波形和频谱：,式中：aX(t) 窄带随机过程的随机包络； X(t)窄带随机过程的随机相位； 0 正弦波的角频率。 上式可以改写为： 式中： X (t)的同相分量 X (t)的正交分量,表示式,1. Xc(t)和Xs(t)的统计特性 设X(t)是一个均值为0的平稳窄带高斯过程，则： Xc(t)和Xs(t)也是高斯过程； Xc(t)和Xs(t) 的方差相同，且等于X(t)的方差； 在同一时刻上得到的Xc和Xs是不相关的和统计独立的。 2. aX(t)和X(t)的统计特性 窄带平稳随机过程包络aX(t)的概率密度等于： 窄带平稳随机过程相位X(t)的概率密度等于：,2.5.2 窄带随机过程的性质,2.6 正弦波加窄带高斯过程,通信系统中的正弦波加窄带高斯过程： 正弦波加噪声的表示式： 式中：A 正弦波的确知振幅； 0 正弦波的角频率； 正弦波的随机相位； n(t) 窄带高斯噪声。 r (t )的包络的概率密度 ： 式中： 2 n(t)的方差； I0() 零阶修正贝塞尔函数。 pr(x) 称为广义瑞利分布，或称莱斯(Rice)分布。 当A = 0时， pr(x) 变成瑞利概率密度。,式中： r( t )的相位，包括正弦波的相位 和噪声的相位 pr( / ) 给定 的条件下，r( t )的相位的条件概率密度 r (t )的相位的概率密度 当 = 0时， 式中：,r(t)的相位的条件概率密度,当A/ = 0时， 包络瑞利分布 相位均匀分布 当A/很大时， 包络正态分布 相位冲激函数,莱斯分布的曲线,2.7 信号通过线性系统,2.7.1 线性系统的基本概念 1.线性系统的特性 有一对输入端和一对输出端 无源 无记忆 非时变 有因果关系：先有输入、后有输出 有线性关系：满足叠加原理 若当输入为xi(t)时，输出为yi(t)，则当输入为： 时，输出为： 式中，a1和a2均为任意常数。,线性系统的示意图,2.7.2 确知信号通过线性系统,1.时域分析法 设：h(t) 系统的冲激响应 x(t) 输入信号波形 y(t) 输出信号波形 对于物理可实现系统： 则有：,设：输入为能量信号，令： x(t ) 输入能量信号 H(f ) h(t )的傅里叶变换 X(f ) x(t )的傅里叶变换 y(t ) 输出信号 则此系统的输出信号y(t )的频谱密度Y(f )为： 由Y(f )的逆傅里叶变换可以求得y(t )：,2.频域分析法,设：输入x( t )为周期性功率信号，则有 式中： 输出为： 设：输入x( t )为非周期性功率信号，则当作随机信号处理,解: 设： x(t) 输入能量信号 y(t) 输出能量信号 X(f) x(t)的频谱密度 Y(f) y(t)的频谱密度 则此电路的传输函数为： 此滤波器的冲激响应h(t)：,例2.10 若有一个RC低通滤波器，如图2.10.4所示。试求出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出信号表示式,滤波器输出和输入之间的关系： 假设输入x(t)等于： 则此滤波器的输出为：,设：系统是无失真的线性传输系统，输入为一能量信号x(t) ， 则其无失真输出信号y(t)为： 式中：k 衰减常数， td 延迟时间。 求系统的传输函数 对上式作傅里叶变换： 式中： 无失真传输条件 振幅特性与频率无关； 相位特性是通过原点的直线。 （实际中，难测量，常用测量td代替。）,无失真传输条件,物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有： 若输入为平稳随机信号X(t)，则输出Y(t)为： 输出Y(t)的数学期望EY(t) 由于已假设输入是平稳随机过程，故： 输出的数学期望：,EX(t-) = EX(t) = k，k = 常数。,2.7.3 随机信号通过线性系统,由自相关函数定义，有： 由X(t)的平稳性知，上式中的数学期望与t1无关，故有 由于Y(t)的数学期望和自相关函数都和t1无关，故Y(t)是广义平稳随机过程。,输出Y(t)的自相关函数,由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，故有： 令 = +u - v代入上式，得到 输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度乘以 |H( f )|2。,输出Y(t)的功率谱密度PY(f),解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成： 所以有： 输出信号的功率谱密度为： 输出信号的自相关函数： 输出噪声功率： PYRY(0) = k2 n0 fH,例2.11已知一个白噪声的双边功率谱密度为n0/2。试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声功率,2.8 小结,