李元杰大学物理学第二章2

大学物理学大学物理学主主 讲：黄立平讲：黄立平职职 称：教授称：教授邮邮 箱：箱：llpp_hllpp_h 电电 话：话：1820288669418202886694 成都工业学院通信工程系成都工业学院通信工程系大学物理大学物理成都工业学院通信工程系成都工业学院通信工程系第2章质点动力学第1节 牛顿三定律第2节 牛顿定律的应用 第3节 对称性和守恒律的应用 本章的基本要求本章的基本要求 1 1、掌握惯性质量、动量、惯性力、伽利略变换、伽利、掌握惯性质量、动量、惯性力、伽利略变换、伽利略相对性原理、力的冲量和动量定理、力的功和动略相对性原理、力的冲量和动量定理、力的功和动能定理、保守力和势能、机械能和功能定理等基本能定理、保守力和势能、机械能和功能定理等基本概念及基本定理；概念及基本定理；2 2、会处理矢量性、连续性、相对性和非惯性的力学问、会处理矢量性、连续性、相对性和非惯性的力学问题，掌握动力学建模方法，能用对称性、稳定性、题，掌握动力学建模方法，能用对称性、稳定性、等效性思想和总能量决定运动方程、势能决定一切等效性思想和总能量决定运动方程、势能决定一切可能的运动的力学观点去分析和理解力学问题，掌可能的运动的力学观点去分析和理解力学问题，掌握能量建模的方法；握能量建模的方法；本章的基本要求本章的基本要求 3 3、掌握物理学处理全局研究的对称性和不变量法，处、掌握物理学处理全局研究的对称性和不变量法，处理局部研究的平均值法和处理瞬时研究的极限法、理局部研究的平均值法和处理瞬时研究的极限法、突变型及奇异性法的思路；突变型及奇异性法的思路；4 4、学会用数值计算和模拟研究各种相互作用势模型和、学会用数值计算和模拟研究各种相互作用势模型和碰撞模型的力学问题。碰撞模型的力学问题。2-2 牛顿定律的应用一、惯性系中牛顿定律的应用一、惯性系中牛顿定律的应用二、非惯性系中的动力学二、非惯性系中的动力学三、力对时间的积累三、力对时间的积累力的冲量和动量定理力的冲量和动量定理四、力对空间的积累四、力对空间的积累力的功和动能定理力的功和动能定理五、保守力与势能关系、机械能守恒定律及其五、保守力与势能关系、机械能守恒定律及其势能曲线势能曲线一、惯性系中牛顿定律的应用一、惯性系中牛顿定律的应用（一）质点的直线运动（运用直角坐标系）（一）质点的直线运动（运用直角坐标系）（二）变力作用下的直线运动（二）变力作用下的直线运动（三）质点的曲线运动（三）质点的曲线运动（一）质点的直线运动（运用直角坐标系）（一）质点的直线运动（运用直角坐标系）一般方法：一般方法：(1)隔离可以看作质点的物体，分析它的受力情况；隔离可以看作质点的物体，分析它的受力情况；(2)运用牛顿定律得到矢量方程，然后根据具体的坐标运用牛顿定律得到矢量方程，然后根据具体的坐标系得到所对应的标量方程，并利用微积分进行运算。系得到所对应的标量方程，并利用微积分进行运算。牛顿第二定律可表示为牛顿第二定律可表示为:zizyiyxixaFaFaFmmm,牛顿第三定律可表示为：牛顿第三定律可表示为：zzyyxxFFFFFF ,解题思路解题思路:（1）选取对象选取对象（2）分析运动分析运动（轨迹、速度、加速度）（轨迹、速度、加速度）（3）分析受力分析受力（隔离物体、画受力图）（隔离物体、画受力图）（4）列出方程列出方程（标明坐标的正方向；（标明坐标的正方向；从运动关系上补方程）从运动关系上补方程）（5）讨论结果讨论结果（量纲？特例？等）（量纲？特例？等）例例1一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为别悬有质量为 m1 和和 m2 的物体，如图所示。设滑轮和的物体，如图所示。设滑轮和绳的质量可忽略不计，绳不能伸长，试求物体的加速绳的质量可忽略不计，绳不能伸长，试求物体的加速度以及悬挂滑轮的绳中张力度以及悬挂滑轮的绳中张力.am1m2解解：选地球为惯性参考系，：选地球为惯性参考系，选取对象：选取对象：m1、m2及滑轮及滑轮分析运动分析运动W1a1T1W2T2a2T3T4T5 m1，以加速度，以加速度a1向向下下运动运动 m2，以加速度，以加速度a2向向下下运动运动分析受力分析受力 隔离体受力如图所示隔离体受力如图所示.列出方程列出方程 54322221111TTTamTWamTW矢量式矢量式am1m2进一步分析力之间的关系：进一步分析力之间的关系：xOm1ga1T1m2gT2a2,2211i gmWi gmW ,2211iTTiTT ,4433iTTiTT iTT55 54322221111TTTamTgmamTgmxx,2211iaaiaaxx T3T4T53T 1T m xamgmTT131 3131;TTTT 4T 2T m xamgmTT242 4242;TTTT 绳子的质量忽略不计绳子的质量忽略不计投影式投影式T3T4T5 53434TTTIRTRT 定滑轮质量定滑轮质量忽略不计忽略不计 533420TTTTI分析后，简化的分析后，简化的牛顿运动方程为牛顿运动方程为 TTaaaTTTxx252121令令 TTamTgmamTgm252211绳不能伸长绳不能伸长am1m2xO1x2x常量常量 lRxx 21021 dtdxdtdx0222212 dtxddtxdxx21 xxaa21 联立两式得联立两式得gmmmmaax21211 gmmmmaax21122 联立联立m2+m1两式得两式得gmmmmTTT2121212 由得由得gmmmmTT2121542 讨论讨论(1)若若m1m2，00221211，xxagmmmma 则则m1下落，下落，m2上升。上升。gmmgmmmmT)(42121215 (2)若若m1m2，则，则021 xxaagmmgmT)(22115 物理学中处理问题的基本方式可简单归纳为：物理学中处理问题的基本方式可简单归纳为：(1)物理物理(2)数学数学(3)物理。即：物理。即：(1)经过经过建立模型建立模型(如把物体视为质点如把物体视为质点)，建立坐标建立坐标，受力受力分析分析，定性分析定性分析等，根据物理规律等，根据物理规律建立动力学方程组建立动力学方程组(如包括由牛顿第二定律列出的动力学方程和由牛顿第如包括由牛顿第二定律列出的动力学方程和由牛顿第三定律等列出的辅助方程三定律等列出的辅助方程)，把物理问题转化为一个数，把物理问题转化为一个数学方程组，这个过程和学方程组，这个过程和“物理物理”，是处理物理问题的，是处理物理问题的核心。核心。(2)几乎是一个纯数学的过程几乎是一个纯数学的过程求解动力学方程组求解动力学方程组；现；现在主要是求解代数方程组，还有一些是微分方程组在主要是求解代数方程组，还有一些是微分方程组(将将来还会遇到更复杂的数学问题，需要在数学课程中慢来还会遇到更复杂的数学问题，需要在数学课程中慢慢学习慢学习)；从上述解题可见，如果数学问题简单，这个；从上述解题可见，如果数学问题简单，这个过程可以表述得很简略，因为它不太过程可以表述得很简略，因为它不太“物理物理”，当然，当然，对一些新的数学方法（比如解微分方程）应对一些新的数学方法（比如解微分方程）应表述表述得比得比较较详尽详尽，完成作业时也要如此。，完成作业时也要如此。(3)求解动力学方程组之后，要求解动力学方程组之后，要弄清解的物理意义弄清解的物理意义并作并作出出正确表述正确表述，必要时应作，必要时应作必需的讨论必需的讨论。这个处理问。这个处理问题的思想方法非常重要、非常有效，已经被许多学题的思想方法非常重要、非常有效，已经被许多学科所借鉴，应很好地掌握。科所借鉴，应很好地掌握。解法中列出牛顿第二定律矢量方程的一步可以略解法中列出牛顿第二定律矢量方程的一步可以略去，直接列出分量形式的动力学方程即可。当然，先去，直接列出分量形式的动力学方程即可。当然，先列出矢量方程再向坐标系投影，从而得到分量形式的列出矢量方程再向坐标系投影，从而得到分量形式的动力学方程，既有利于熟悉矢量的概念，也不易出错，动力学方程，既有利于熟悉矢量的概念，也不易出错，是初学时使用的较好方法。是初学时使用的较好方法。例例2质量为质量为m2的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾角为角为，质量为，质量为m1的运动员与斜面之间亦无摩擦，求运的运动员与斜面之间亦无摩擦，求运动员相对斜面的加速度及其对斜面的压力。动员相对斜面的加速度及其对斜面的压力。1m2m解：解：以地面为惯性参考系，建以地面为惯性参考系，建立坐标系立坐标系Oxy如图所示。如图所示。视视m1、m2为质点，并分为质点，并分别取作隔离体，受力分析如别取作隔离体，受力分析如图所示。图所示。Oxy1m 2m2W1NF 2NF1W1NF对对m1，据牛顿第二定律，据牛顿第二定律，有有1111amWFN 其分量形式方程为其分量形式方程为 yNxNamgmFamF1111111cossin Oxy1m 2m2W1NF 2NF1W1NF对对m2，据牛顿第二定律，有，据牛顿第二定律，有22221amWFFNN 其分量形式方程为其分量形式方程为 0cossin212221gmFFamFNNxN 根据牛顿第三定律，有根据牛顿第三定律，有11NNFF 以地面为基本参考系，斜面为运动参考系，以地面为基本参考系，斜面为运动参考系，m1为运动为运动质点，则质点，则21 相对相对求时间的导数，得：求时间的导数，得：21aaa 相对相对 沿斜面方向，即沿斜面方向，即(考虑到考虑到 )相对相对a02 yaxxyyxyaaaaaa2121tan 相对相对相对相对 xxyaaa211 由由 yNxNamgmFamF1111111cossin 得得 tan11xyaga 由由 tan)(0cossin211212111xxyNNxNaaagmFFamF得得 tan21111 mamaaxxy tan1221xammm 因因、式中式中 相同，即可求出相同，即可求出ya1gmmmax 21221sincossin xyammma12121 212212sinsin)(mmmmg xxamma1212 gmmm 2121sincossin m1相对于相对于m2的加速度的大小为的加速度的大小为22yxaaa相对相对相对相对相对相对 21212)(yxxaaa gmmmm 21221sinsin)(m1对对m2的压力为的压力为gmmmmamFxN 21221111sincossin 根据牛顿第二定律列出矢量方程根据牛顿第二定律列出矢量方程 ，右侧是力，右侧是力的矢量和，每一力前都是加号。的矢量和，每一力前都是加号。Fam 在写出其分量形式的方程时，要特别注意其中的正在写出其分量形式的方程时，要特别注意其中的正负号的确定：负号的确定：对已知方向的矢量，如已知方向的力，当力沿坐标轴方对已知方向的矢量，如已知方向的力，当力沿坐标轴方向的分力与坐标轴同向时，力的分量前取正号，如向的分力与坐标轴同向时，力的分量前取正号，如yNamgmF1111cos xNamF111sin 中的第一项中的第一项 (900)；当力沿坐标轴方向的；当力沿坐标轴方向的分力与坐标轴反向时，力的分量前取负号，如分力与坐标轴反向时，力的分量前取负号，如 cos1NF式中式中 (900)。sin1NF 对方向未知的矢量，如加速度，列方程时各分量前均取对方向未知的矢量，如加速度，列方程时各分量前均取正号，如上两式中的正号，如上两式中的 和和 ，解方程组求出，解方程组求出 和和 (可正可负可正可负)决定加速度的真实方向。决定加速度的真实方向。xa1ya1xa1ya1（二）变力作用下的直线运动（二）变力作用下的直线运动 力力 ，即：力是，即：力是时间时间，坐标坐标，速度速度的函数，的函数，有牛顿第二定律：有牛顿第二定律：),(txxFx),(22txxFdtxdmx 例例3 如图所示如图所示,跳伞运动员初张伞时的速度为跳伞运动员初张伞时的速度为v0=0,阻力阻力大小与速度平方成正比大小与速度平方成正比:v2，人伞总质量为，人伞总质量为m。求。求v=v(t)的函数的函数(提示：积分时可利用式提示：积分时可利用式 )1(21)1(21112 解：解：视人伞为质点，以初张伞视人伞为质点，以初张伞时刻为计时起点，初张伞时质时刻为计时起点，初张伞时质点所在位置为坐标原点，建立点所在位置为坐标原点，建立坐标坐标Oy竖直向下。竖直向下。质点受重力质点受重力 和空和空气阻力气阻力 。jmgW jF2 根据牛顿第二定律可得质点动力学微分方程根据牛顿第二定律可得质点动力学微分方程FWdtdmam 向向Oy方向投影，因方向投影，因 ，故可以把，故可以把 写为写为 ，则，则0 y y 2 mgdtdm将其分离变量得将其分离变量得gdtmgd 21 令令 ，则上式化为，则上式化为mg gdtd 221 因因 ，则得到，则得到)1(21)1(211122 gdtdd )1(2)1(2 对上式积分得对上式积分得gdtddt 000)1(2)1(2 变换积分变量，得变换积分变量，得gdtddt 00021)1(1)1(积分得积分得gt 211ln)1ln()1ln(11)(221 gtgteet 讨论：讨论：t时，时，质点将匀速下降，质点将匀速下降.mgt 1)(对应的物理情况是：人伞开始加速下降，速度越大空气对应的物理情况是：人伞开始加速下降，速度越大空气阻力越大，当空气阻力与重力平衡时，阻力越大，当空气阻力与重力平衡时，人伞，人伞开始作匀速运动，开始作匀速运动，此速度称为终极速度。，此速度称为终极速度。2 mg mg（三）质点的曲线运动（三）质点的曲线运动 选择自然坐标系，将力投影到选择自然坐标系，将力投影到法线法线方向和方向和切线切线方向，方向，由牛顿第二定律可得：由牛顿第二定律可得：dtdmmaFmFtitin ,2 inF 表示力在法线方向上投影的代数和；表示力在法线方向上投影的代数和；表示表示力在切线方向上投影的代数和。力在切线方向上投影的代数和。itF 例例44质量为质量为m m的小球最初位于的小球最初位于A A点，然后沿半径为点，然后沿半径为R R的光的光滑圆弧面下滑。求小球在任一位置时的速度和对圆弧面滑圆弧面下滑。求小球在任一位置时的速度和对圆弧面的作用。的作用。A ngmN解：解：坐标系及受力分析如图所示，设小球在任一时刻坐标系及受力分析如图所示，设小球在任一时刻的位置以角坐标的位置以角坐标确定。确定。根据牛顿第二定律，得根据牛顿第二定律，得沿着法向和切向的分量沿着法向和切向的分量式：式：dtdvmmgcosRvmmgN2sinRddvvdsdtdvdsdtdvdRgvdvcosA ngmN 00cosdRgvdvvsin212Rgv sin2Rgv RvmmgN2sinRRgmmgNsin2sinsin3mg第第2 2章第一次作业章第一次作业P61P61注意：注意：2-12-12-22-22-32-31.1.每周的两次作业在同一个作业本上做，中间隔四每周的两次作业在同一个作业本上做，中间隔四行；行；2.2.上一周的作业在下周的第二次课上课前统一交到上一周的作业在下周的第二次课上课前统一交到讲台上。讲台上。2-42-4引题：牛顿第二定律的适用范围是惯性系，本节将讨论引题：牛顿第二定律的适用范围是惯性系，本节将讨论如何在非惯性系中保持质点动力学方程的形式不变。如何在非惯性系中保持质点动力学方程的形式不变。二、非惯性系中的动力学二、非惯性系中的动力学(一一)直线加速参考系中的惯性力直线加速参考系中的惯性力(二二)离心惯性力离心惯性力(三三)科里奥利力科里奥利力 edtddtdrdtdredtdrdtrdar 222222(四四)伽利略变换和伽利略相对性原理伽利略变换和伽利略相对性原理 问题：问题：车的车的a=0 时单摆和小球的状态符合牛顿定律时单摆和小球的状态符合牛顿定律，a0时单摆和小球的状态为什么不符合牛顿定律？时单摆和小球的状态为什么不符合牛顿定律？a=0a 0二、非惯性中的动力学二、非惯性中的动力学 （一）直线加速参考系中的惯性力（一）直线加速参考系中的惯性力 动画演示动画演示（一）直线加速参考系中的惯性力（一）直线加速参考系中的惯性力 1、直线加速参考系：、直线加速参考系：参考系相对于惯性系运动，固定于该参考系上直参考系相对于惯性系运动，固定于该参考系上直角坐标系的原点作变速直线运动，且各坐标轴的方向角坐标系的原点作变速直线运动，且各坐标轴的方向始终保持不变。始终保持不变。例如：例如：向右加速运动的小车是一非惯性系，是一直线向右加速运动的小车是一非惯性系，是一直线加速参考系。加速参考系。讨论：讨论：小球的运动状态：小球的运动状态：（桌面光滑）（桌面光滑）(1)以地面为参考系：小球水平方向不受力，静止。以地面为参考系：小球水平方向不受力，静止。(2)以小车为参考系：以小车为参考系：小球相对于车向右以加速度小球相对于车向右以加速度 运运动，由于水平方向不受力，不符合牛顿第二定律，动，由于水平方向不受力，不符合牛顿第二定律，a这时，可设想力这时，可设想力 作用于小球上，方向与小车相对作用于小球上，方向与小车相对于地面的加速度方向相反，大小等于小球质量与加于地面的加速度方向相反，大小等于小球质量与加速度的乘积，该设想的力称为惯性力：速度的乘积，该设想的力称为惯性力：famf 引入引入“惯性力惯性力”，对于小车非惯性系，仍可用牛顿第，对于小车非惯性系，仍可用牛顿第二定律的形式。小球相对于车身的加速度二定律的形式。小球相对于车身的加速度 是惯性是惯性力力 作用的结果。作用的结果。a f总之：总之：在直线加速运动的非惯性系中，质点所受惯性力在直线加速运动的非惯性系中，质点所受惯性力 与与非惯性系的加速度非惯性系的加速度 方向相反，且等于质点的质量方向相反，且等于质点的质量m与非惯性系的加速度与非惯性系的加速度 的乘积。的乘积。faa注：注：（1）惯性力不是相互作用力，不存在反作用力；）惯性力不是相互作用力，不存在反作用力；（2）惯性力的存在反映了所选择的参考系是非惯性）惯性力的存在反映了所选择的参考系是非惯性系。系。2直线加速参考系中的动力学方程直线加速参考系中的动力学方程 建立直角坐标系建立直角坐标系 ，分别是惯性，分别是惯性系和非惯性系，坐标轴互相平行，系和非惯性系，坐标轴互相平行，O系相对于系相对于O系系以加速度运动，以加速度运动，有：有：zyxOxyzO 和和，orrr orrr xOyzx O y z 上式对时间求二阶导数，得：上式对时间求二阶导数，得：0aaa 相相绝绝or rr maxOyzx O y z 0amamam 相相绝绝相相amamFii 0即：即：0amf 相相amfFii 表明：表明：质点在直线加速参考系中的动力学方程质点在直线加速参考系中的动力学方程 在直线加速的非惯性系中，质点质量与相对加速度的在直线加速的非惯性系中，质点质量与相对加速度的乘积等于作用于此质点的相互作用力和惯性力的合力。乘积等于作用于此质点的相互作用力和惯性力的合力。m iiF0amamFii 相相绝绝a绝绝amFii am iiF f iifF相相a例例1质量为质量为m2的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾角为角为，质量为，质量为m1的运动员与斜面之间亦无摩擦，求运的运动员与斜面之间亦无摩擦，求运动员相对斜面的加速度及其对斜面的压力。动员相对斜面的加速度及其对斜面的压力。1m2m解法二：解法二：鉴于鉴于m2在水平向右有加速度，在水平向右有加速度，为非惯性系，取动坐标系为非惯性系，取动坐标系x x沿沿斜面斜面向下。向下。由于由于m1在斜面上是直线运在斜面上是直线运动，所以建立坐标系在运动的斜面上。动，所以建立坐标系在运动的斜面上。x y 在非惯性系中在非惯性系中m1的受力的受力分析分析jgmigmW cossin1111m1W 1NFjFFNN 112a fjamiamamf sincos212121m1m2x y 设设m1在这三个力的作用下，沿斜面以在这三个力的作用下，沿斜面以 向下运动向下运动1a 1a 根据牛顿第二定律，有根据牛顿第二定律，有1111amfFWN 0cossincossin121111211 gmamFamamgmN xyO 以以m2作为研究对象，在惯性系作为研究对象，在惯性系xoy中考察它的运动中考察它的运动2NF2W2NF 2a根据牛顿第二定律，有根据牛顿第二定律，有22212amFFWNN 根据题意，只需考察根据题意，只需考察x轴轴分量形式，有分量形式，有221sinamFN m2 联立三个方程联立三个方程0cossin1211 gmamFN11211cossinamamgm 221sinamFN 0cossinsin12122 gmamam0cossinsin12122 gmmma）（11211cossinamamgm cossin21aga 212211sincossinsinmmgmga 21212sincossinmmgma gmmmma 212211sincossin)(m1m2xyO x1yx2hx y 1a sin221amFN gmmmmFN 212211sincos 例题例题2 杂技演员站在沿倾角为杂技演员站在沿倾角为的斜面下滑的车厢内，的斜面下滑的车厢内，以速率以速率v0垂直于斜面上抛红球，经时间垂直于斜面上抛红球，经时间t0后又以后又以v0垂垂直于斜面上抛一绿球，车厢与斜面无摩擦。参考题图。直于斜面上抛一绿球，车厢与斜面无摩擦。参考题图。问二球何时相遇。问二球何时相遇。分析：分析：这是一道较复杂的问题这是一道较复杂的问题其复杂在于两个方面：其复杂在于两个方面：一是两个小球的运动轨一是两个小球的运动轨迹不是直线，它们相遇的迹不是直线，它们相遇的点是平面上的点；点是平面上的点；二是从什么参考系观察，建立怎样的坐标系？不同的二是从什么参考系观察，建立怎样的坐标系？不同的坐标系得到的方程难易程度不同，怎样的坐标系能够帮坐标系得到的方程难易程度不同，怎样的坐标系能够帮助我们更清晰地认识杂技演员、两个小球之间的关系，助我们更清晰地认识杂技演员、两个小球之间的关系，以及两个小球相遇的图景？以及两个小球相遇的图景？解法一：解法一：以地面为惯性参考系，取杂技演员抛出红球时以地面为惯性参考系，取杂技演员抛出红球时刻和位置为时间、坐标原点，建立刻和位置为时间、坐标原点，建立Oxy坐标系如图。坐标系如图。Oxy1、研究车厢和杂技演员、研究车厢和杂技演员初始时刻初始时刻作平动，看作质点，作平动，看作质点，沿沿x轴作匀加速直线运动轴作匀加速直线运动i0)0(车车车车 iga sin车车 singa 车车g0)0(车车x任意时刻任意时刻ttgt sin)(0车车车车20sin21)(tgttx 车车车车时刻时刻t000sintg 车车车车2000sin21tgtx 车车车车 Oxy2、研究红球、研究红球0车车 0 ji0010 车车红球在重力作用下以初始速度红球在重力作用下以初始速度 作斜抛运动。作斜抛运动。10 10 g sing cosg jaiaayx 1 cossingagayx初始时刻初始时刻 001001 yx车车 001010yx任意时刻任意时刻t1 101101cossintgtgyx 车车 2110121101cos21sin21tgtytgtx 车车 Oxy3、研究绿球、研究绿球0 绿球在重力作用下以初始速度绿球在重力作用下以初始速度 由由O起作斜抛运动。起作斜抛运动。20 车车 20 g sing cosg jaiaayx 1 cossingagayx初始时刻初始时刻O l2000sin21tgtxl 车车车车ji020 车车 00202 yx车车00sintg 车车车车 02020ylx Oxy0 车车 20 O l任意时刻任意时刻t2 20222cossintgtgyx 车车 222022222cos21sin21tgtytgtlx 车车 22202222002cos21sin21)sin(tgtytgttglx 车车两球时间的关系两球时间的关系021ttt 两球相遇的条件两球相遇的条件 2121yyxx求解满足此求解满足此条件的条件的t1 2110121101cos21sin21tgtytgtx 车车 22202222002cos21sin21)sin(tgtytgttglx 车车2000sin21tgtl 车车21xx 由由 无法求出无法求出t1；21yy 由由 ，有，有22202110cos21cos21tgttgt 0)(cos21)(2221210 ttgtt 0212221)2()(ttttt 得得 cos21001gtt 0 车车 20 OxyO l0车车 0 10 从从x1=x2式可以看出式可以看出 虽然两球沿虽然两球沿 x轴的加轴的加速度分量相同，但绿球速度分量相同，但绿球之所以在之所以在 x轴上赶上红轴上赶上红球，在于绿球沿球，在于绿球沿 x轴的轴的初速度大于红球初速度大于红球 x轴的初速度；同时其位置超前红球轴的初速度；同时其位置超前红球一段距离。一段距离。但是从但是从 x轴上看，轴上看，的大小有一定的限制，的大小有一定的限制，就是就是 不能大于红球红球落地的斜面距离。不能大于红球红球落地的斜面距离。ll01 y由由 ，有，有 从从 y轴上看，两球具有相同的加速度轴上看，两球具有相同的加速度 y分量和相同的分量和相同的初速度初速度 y分量，甚至初始的分量，甚至初始的 y坐标都相同，只要与坐标都相同，只要与 对对应的应的t0小于落地时间就能够相遇。小于落地时间就能够相遇。l cos200gt )(cos2000 tggl 车车解法二：解法二：以车厢为非惯性参考系，取杂技演员抛出红球以车厢为非惯性参考系，取杂技演员抛出红球时刻和位置为时间、坐标原点，建立时刻和位置为时间、坐标原点，建立Oxy坐标系如图。坐标系如图。O x y sin|mgf mgW singa 车车 因为车厢以因为车厢以 沿斜面沿斜面向下作匀加速直线运动，向下作匀加速直线运动，车车a 所以在非惯性系中，红所以在非惯性系中，红球和绿球除了受到重力球和绿球除了受到重力W作用外，还受到惯性力作用外，还受到惯性力的作用，如右图所示。的作用，如右图所示。iga sin车车igamf sin车车1、研究红球、研究红球1amfW yxxmamgmafmg11cossin yxmamgmamgmg11cossinsin cos011gaayx初始条件：初始条件：000101001 yxjt，时，时，由此可知，红球沿由此可知，红球沿y轴作初速度为轴作初速度为v0，加速度为，加速度为 的匀减速直线运动。在的匀减速直线运动。在 t 时刻的速度、坐标为时刻的速度、坐标为ya1 tgyx cos0011 2011cos210tgtyx dtgdty 0cos10 tdtgdtydtty 0000cos1 2、研究绿球、研究绿球2amfW yxxmamgmafmg22cossin yxmamgmamgmg22cossinsin cos022gaayx由此看见，即使红球与绿球的质由此看见，即使红球与绿球的质量不同，也能得到相同的结果。量不同，也能得到相同的结果。初始条件：初始条件：002020020 yxjtt，时，时，由此可知，绿球沿由此可知，绿球沿y轴作初速度为轴作初速度为v0，加速度为，加速度为 的匀减速直线运动。在的匀减速直线运动。在t1时刻的速度、坐标为时刻的速度、坐标为ya2dtgdtty 020cos )(cos00022ttgyx dtttgdtydtttty)(cos000002 200022)(cos21)(0ttgttyx 在车厢这个非惯性系中观察，红球和绿球作类似于在车厢这个非惯性系中观察，红球和绿球作类似于沿竖直向上的上抛运动，只是它们的加速度小于重力沿竖直向上的上抛运动，只是它们的加速度小于重力加速度而已。由此，两球相遇的条件为；加速度而已。由此，两球相遇的条件为；21yy 即：即：200020)(cos21)(cos21ttgtttgt 得：得：000cos21tgtt 两种解法比较，非惯两种解法比较，非惯性系有其解题简单、物性系有其解题简单、物理图景清晰的优点。理图景清晰的优点。m1观观察察者者TFm*F2观观察察者者TF动画演示动画演示（二）离心惯性力（二）离心惯性力 t|t|rmfc2 如图所示：圆盘以匀角速率如图所示：圆盘以匀角速率 绕铅直轴绕铅直轴转动，圆盘上用长为转动，圆盘上用长为r的线将质量为的线将质量为m的的小球系于盘心且相对于圆盘静止。小球系于盘心且相对于圆盘静止。从惯性系看：小球受线拉力的作用下做从惯性系看：小球受线拉力的作用下做匀速圆周运动，符合牛顿第二定律。匀速圆周运动，符合牛顿第二定律。从圆盘非惯性系看：小球受到拉力的作用，从圆盘非惯性系看：小球受到拉力的作用，却保持静止，不符合牛顿第二定律。却保持静止，不符合牛顿第二定律。故有：故有：相对于惯性系做匀速转动的参考系也是非惯性系相对于惯性系做匀速转动的参考系也是非惯性系 引入惯性力引入惯性力：上式的力称为离心惯性力上式的力称为离心惯性力,是自转轴向质点所引的矢是自转轴向质点所引的矢量，与转轴垂直。量，与转轴垂直。r若质点静止于匀速转动的非惯性系中，则作用于此物若质点静止于匀速转动的非惯性系中，则作用于此物体所有相互作用力与离心惯性力的合力等于零。即：体所有相互作用力与离心惯性力的合力等于零。即：0 ciifF例题例题3 北京紫竹院公园有一旋风游戏机，大意如图所北京紫竹院公园有一旋风游戏机，大意如图所示。设大圆盘转轴示。设大圆盘转轴OO 与铅直方向成与铅直方向成 =18，匀速转，匀速转动，角速度为动，角速度为 0=0.84 rad/s。离该轴。离该轴 R 2.0 m 处又处又有与有与 OO 平行的平行的PP ，绕，绕 PP 转动的座椅与转动的座椅与 PP 轴轴距离为距离为 r=1.6m。为简单起见，设转椅静止于大圆盘。为简单起见，设转椅静止于大圆盘。设椅座光滑，侧向力全来自扶手。又设两游客质量均设椅座光滑，侧向力全来自扶手。又设两游客质量均为为 m=60 kg。求游客处于最高点。求游客处于最高点B和较低点和较低点A处时受座椅处时受座椅的力的力.RrOO PP AB 0要求在非惯性系中求解要求在非惯性系中求解.neteAFPAFNWA*C AFBFPBFNWB*CBF解解 选大转盘为参考系，选大转盘为参考系，0*CPN AAAFWFF0*CPN BBBFWFFn20*C)(erRmFA n20*C)(erRmFB （三）科里奥利力（三）科里奥利力 如图：两人坐在转盘的同一条半径上，转盘顺时针如图：两人坐在转盘的同一条半径上，转盘顺时针转动，某时刻转动，某时刻A A朝朝B B扔出一篮球，结果发现球并没有扔出一篮球，结果发现球并没有沿直线飞出，而是发生了偏转沿直线飞出，而是发生了偏转!AB也就是说，对转盘上的观也就是说，对转盘上的观察者来说，篮球离开手之察者来说，篮球离开手之后，还受到一个力的作用，后，还受到一个力的作用，使其飞行方向发生改变使其飞行方向发生改变!这个力就是这个力就是科里奥利力科里奥利力（三）科里奥利力（三）科里奥利力 如图所示：一圆盘绕铅直轴以匀角速率如图所示：一圆盘绕铅直轴以匀角速率 转动，盘转动，盘心有一光滑小孔，沿半径方向有一光滑槽，其中置一心有一光滑小孔，沿半径方向有一光滑槽，其中置一 t 向外运动，经时间向外运动，经时间 ，圆盘转过，圆盘转过 角，而小球自角，而小球自A运动至运动至D。t t 1、从地球惯性参考系：从地球惯性参考系：当小球位于当小球位于A点时其速度：点时其速度：tr 设设A点的半径为点的半径为r0，则，则0rt tr 0dtdatt 槽对小球的作用有沿切线或圆弧方向的力，使小球获得槽对小球的作用有沿切线或圆弧方向的力，使小球获得切向加速度，使小球多走出弧长切向加速度，使小球多走出弧长DD。r 小球小球 m m，可视作质点，以细线连之，线另一端穿过小，可视作质点，以细线连之，线另一端穿过小孔，可控制小球在槽中作匀速运动，速度为孔，可控制小球在槽中作匀速运动，速度为 沿槽沿槽trttrDDr 00)(t 0 t2)(tDDr 2)(21tatDBkt DDACDB 2)(21taDDk rka2 引入引入“角速度矢量角速度矢量”，记，记作作 。由上图可知：由上图可知：trkaa 2 称作称作科里奥利加速度，科里奥利加速度，它是在惯性系中看到的，是它是在惯性系中看到的，是槽施于小球的推力所产生的加速度。槽施于小球的推力所产生的加速度。ka2、非惯性系讨论：、非惯性系讨论：小球的受力：小球的受力：线的拉力线的拉力 ，TT小球沿槽向外运动小球沿槽向外运动离心惯性力离心惯性力 cf cfF槽对球的推力槽对球的推力 ，FkFkF科里奥利力科里奥利力 kF 称作科里奥利力或科氏力称作科里奥利力或科氏力-不不属于相互作用范畴。是在转动非惯属于相互作用范畴。是在转动非惯性系中观测到的。性系中观测到的。rkkmamF 2 rkmF2注：注：若质点相对于匀速转动的圆盘作变速转动，则若质点相对于匀速转动的圆盘作变速转动，则惯性力为：离心惯性力和科里奥利力。惯性力为：离心惯性力和科里奥利力。傅科摆傅科摆3.3.科里奥利力的应用科里奥利力的应用 67mn科里奥利力科里奥利力傅科摆傅科摆傅科摆直接证明了地球的自转傅科摆直接证明了地球的自转*KF北极悬挂的单摆北极悬挂的单摆摆面轨迹摆面轨迹摆平面转动方向摆平面转动方向 tv*KF北北半半球球北半球的科里奥利力；北半球的科里奥利力；tv *KF*KF*KFtvtv *KF v落体偏东落体偏东 旋风旋风 低压低压气区气区向低压中心流动的气流因科氏力而偏转向低压中心流动的气流因科氏力而偏转气漩与反气漩气漩与反气漩 edtddtdrdtdredtdrdtrdar 222222质点随运动参考系一起牵连平动，没有转动时质点随运动参考系一起牵连平动，没有转动时0 dtd 0 dtd dtdr redtrdaa220 0a平动加速系的惯性力平动加速系的惯性力00amF 0FNW rrmfc2 cf)(rmfPPc rP )(rPP P惯性离心力的矢量式惯性离心力的矢量式质点随圆盘匀角速转动，但没有平动质点随圆盘匀角速转动，但没有平动0 dtdr dtd 022 dtddtd r3F edtddtdrdtdredtdrdtrdar 222222P惯性离心力惯性离心力质点随圆盘匀角速转动，但没有平动质点随圆盘匀角速转动，但没有平动0 dtdr dtd 022 dtddtd rreredtdraa223 3adtdP )(33rmamFPP edtddtdrdtdredtdrdtrdar 222222质点随圆盘匀角速转动，且沿半径平动质点随圆盘匀角速转动，且沿半径平动3Fr 2Frdtdr dtd 022 dtd eerarr22 ）（rera23 ear22 惯性离心力惯性离心力rPeramF233 科里奥利力科里奥利力P eamFPr222 PrrPF 222 edtddtdrdtdredtdrdtrdar 222222如果圆盘作变速圆周运动，质点随圆盘转动，且质点如果圆盘作变速圆周运动，质点随圆盘转动，且质点沿半径作匀速直线运动，则沿半径作匀速直线运动，则常量常量 rdtdr dtd 022 dtd 213aaaa edtdredtdraP 221切向惯性力切向惯性力rdtdmamFP 11 3Fr 2FP1F(四四)伽利略变换和伽利略相对性原理伽利略变换和伽利略相对性原理 1 1、伽利略变换、伽利略变换参考系参考系:S系和系和S/系系yxSoo/S/0rr/r1.位矢变换关系位矢变换关系/0rrr 位移关系：位移关系：/0rrr 2.速度变换关系：速度变换关系：/0 称为称为伽利略速度变换伽利略速度变换3.加速度变换关系：加速度变换关系：/0aaa 复习复习惯性系系惯性系系:S系和系和S/系系yxSoo/S/0rr/rtr00 rrr 0 tttrr0 0 const0 const0 aa (四四)伽利略变换和伽利略相对性原理伽利略变换和伽利略相对性原理 如图如图S S 系相对于系相对于S S系系作等速直线运动，两者均作等速直线运动，两者均为惯性参考系为惯性参考系.S S系中质点的运动有系中质点的运动有 amFi S S 系中对同一质点，因系中对同一质点，因 mm 又质点加速度有伽利略不变性，又质点加速度有伽利略不变性，即即 aa OxyOx z Orrry zp2 2、伽利略相对性原理、伽利略相对性原理伽利略相对性原理伽利略相对性原理力学现象对一切惯性系来说，力学现象对一切惯性系来说，都遵从同样的规律；或者说，在研究力学规律时都遵从同样的规律；或者说，在研究力学规律时,一一切惯性系都是等价的。切惯性系都是等价的。S S 中测得的质点质量中测得的质点质量m m，加速度，加速度 和所受合力和所受合力 的关系为的关系为 a iFamFi 1221FF 若在若在S S系中有系中有1221FF 若在若在S S 系中亦有系中亦有力取决于质点动量对时间的变化率，故力取决于质点动量对时间的变化率，故 第第2 2章第二次作业章第二次作业P32P32注意：注意：2-82-82-92-92-272-271.1.每周的两次作业在同一个作业本上做，中间隔四每周的两次作业在同一个作业本上做，中间隔四行；行；2.2.上一周的作业在下周的第二次课上课前统一交到上一周的作业在下周的第二次课上课前统一交到讲台上。讲台上。2-272-272-282-282-292-29