正方体截面的形状 (3)

正方体截面的形状1.按截面图形的边数分类： 三边形（锐角三角形，等腰三角形，等边三角形） 四边形（矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形） 五边形（五边形） 六边形（六边形，正六边形）2.（1）证明：截面是三角形 锐角三角形 证明：设三边为a,b,c ，则证明a2+b2c2,且cosC0,C为锐角。同理可证，B、C也是锐角，所以三角形ABC是锐角三角形。 等腰三角形 证明：取相邻两边任意两点，距离两边交点相等，在第三边取任意一点（与交点不重合） AB长确定，AC=AD, CAB=DAB=90。 根据勾股定理可知CB=DB 且三角形为等腰三角形 等边三角形 证明： 在AB.AC.AD上,取三点距离原点A相同。 图形为正方体。 AB=AC=AD 又三线两两垂直，根据勾股定理知 BC=CD=BD，且截面为等边三角形。（2）证明：截面是四边形。 矩形 .正方形。 证明： ： 取任意一平面平行于上下底面或侧面。且所截图形为正方形。 又正方形是特殊的矩形，截面可以是矩形。 ABCD平行于上底面，AB=BC=CD=AD 又AB.BC.CD.AD相交互相垂直，所以截面为正方形。 菱形证明： 以相对顶点为菱形对点，取与顶线不相交的相对侧棱中点，所截平面。图形为正方体，所以对边平行且相等。截面为平行四边形。又AB=BD,AE=DF. BAE=BDF=90，且BE=BF. 截面为菱形梯形.等腰梯形 证明： 当平面不垂直底面时,且在上底面的截线段平行对角线,所得的截面图形可能为梯形。 当上下底面的截线段都平行于同一条对角线，所得的截面图形可能为等腰梯形。 ABCD, ABCD为梯形。 作AFCF，BF1FD 又AE=BE,CF=FD,AF=BF1=EF. AC=BD 且截面为等腰梯形。（3）证明：截面是五边形。 证明： 第一个为五边形，在正面上画一个直线，直线一端为右下角 另一段为左前侧棱1/2往上 这样将直线延长与正上棱相交同样的道理 在右侧面画一条直线直线一端为右下角（与上同理） 另一段为后右侧棱1/2往上 这样将直线延长与上右侧棱相交 由图得所截平面为五边形。（4）证明：截面是六边形。 证明：截面是六边形.正六边形。 取各边的中点，再连接两个平行面的不同位置的中点，所成截面为正六边行。 当平面与正方体的六个面相交时，可以切出六边形。 取点为每边中点，图形为正方体。且过六个面 截面为六边形 又链接AC.AD 得AC=AD=AE，且截面为正六边形。3由2证明得，截面多边形的边数最多有6条。 为什么六边形以上的多边形无法切出来？ 解析： 因为正方体只有6个面，所以截面所在的平面与这6个面所在的平面最多只能有6条交线，所以截面的边数至多是6。4. 为什么正方体的截面不能是直角梯形？ 解析： 正方体各面全等，并且每条对边互相平行，但直角梯形上底和下底平行，且并不相等，两条腰也不平行，所以不能是直角梯形。5为什么切一个正方体所能切出的切面不能为正五边形？ 解析：五个边，一定有两边来自一组平行的面，此两边平行，这个五边形就不可能是正五边形5