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,第九章 空间向量专题复习,一复习回顾,1 平行六面体法则,2.共线向量: (1)定义:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作,(2)共线向量定理: 对于空间任意两个向量a、b(b=0),a/b的充要条件是存在实数使a= b.,(3)推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式,其中向量a叫做直线l的方向向量.,说明: (1),(2)都叫做空间直线的向量参数表示式.,3 共面向量定理：,推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序 实数对x、y，使,MP = xMA + yMB 1,或对空间任一定点O，有,OP = OM + xMA + yMB. 2,对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，,OP = xOA + yOB + zOC（其中x+y+z=1）,四点P、A、B、C共面。 3, , , ,一复习回顾,4空间向量基本定理：,如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使pxaybzc。 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，零向量的表示唯一。,C,O,A,B,B1,A1,P1,P,一复习回顾,（1）,（2）,（3）,5 空间两个向量的数量积,数量积的运算律,（1）,（2）,（3）,6、向量的直角坐标运算.,(1) 夹角、,7空间向量的夹角和距离公式,(2) 空间两点间的距离公式、,学习目标： 1掌握空间向量有关概念、运算及定理、推论。 2掌握计算向量的长度、有关角，正确求两点间的距离 3学会判断两直线（向量）的位置关系（平行、垂直）,例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1E1=D1F1= 求BE1与DF1所成的角的余弦值,二知识运用与研究,解：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系Oxyz，则,B(1，1，0)， E1(1，34，1) ，D(0，0，0)，F1(0，1/4，1),BE1=(0，-14，1)，DF1=(0，1/4，1),BE1=174,DF1=174,BE1DF1,=1516,cosBE1，DF1,=,BE1DF1,BE1DF1,=1517,2已知在一个二面角的棱l上有两个点A,B，线段AC BD 分 别在这个二面角的两个面内，且ACl，BDl AB=4cm,，AC=6cm，BD=8cm, CD=217求异面直线AC、BD所成角,(217)2=62+42+82+26 8cosCA，BD,cosCA，BD=1200,所求角为600,A,B,C,D,A,B,C,D,解 AC=AB+AD+AA,AC2=(AB+AD+AA)2,=AB2+AD2+AA2,+2(ABAD+ABAA+ADAA),=42+32+52+2(0+10+7.5),=85, , , ,AC=85,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,例3 已知 正方形ABCD 求证 CA1平面AB1D1,证明 连结 A1C1,CC1平面A1B1C1D1 B1D1A1C1,A1CB1D1,同理可证 A1CAD1,B1D1AD1=D1,CA1平面AB1D1,X,y,Z,A,B,C,D,D,1 已知线段AB在平面内，线段AC，线段BDAB， 线段DD，DBD1=300如果AB=a，AC=BD=b 求C、D间的距离,解 由已知有ACAB =1200,CD2=CDCD= (CA+AB+BD)2, ,=CA2+AB2+BD2,+2CAAB+2CABD+2ABBD, ,=b2+a2+b2+2b2cos1200,=a2+b2,CD=a2+b2,三 练习反馈,2 已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中， 底面ABCD是边长为a的正方形， 侧棱AA1的长为b，A1AB=A1AD=1200 求(1) BD1 (2)直线BD1和AC夹角的余弦值,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,利用向量解几何题的一般方法 1 把线段或角度转化为向量表示,并用已知 向量表示未知向量,然后通过向量运算去 计算或证明! 2 解决途径坐标式和向量式,知识方法总结,
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