《n维向量B》PPT课件.ppt

第四章 n维向量,4.1 n维向量及其线性运算 4.2 向量组的线性相关性 4.3 向量组的秩 4.4 线性方程组解的结构 4.5 n维向量空间,这一章的学习重点是什么？,向量组线性相关性以及线性方程组解的结构。,这一章的学习内容相应的考点很多，考试相关内容一般要占到卷面分值的40左右。,向量,向量的基本概念及运算,向量组的线性相关性,向量组的秩及极大线性无关组,线性方程组,齐次线性方程组,非齐次线性方程组,解法,解的性质,解的性质,解法,4.1 n 维向量及其线性运算,一、n 维向量的概念,定义4.1. n个有序的数x1 ,x2 , ,xn 所组成的数组( x1 ,x2 , ,xn)称为n 维向量， (1 ,-2 , 3.1 ,-0.2)是个4维向量，1,-2,3.1,-0.2是它的的 4 个分量，例如3.1是它的第 3 个分量（或坐标）。 分量全是实数的向量叫做实向量，分量是复数的向量叫做复向量。,习惯上向量用小写的希腊字母、等表示。, = ( x1 ,x2 , ,xn) n 维行向量；,若向量的所有分量都等于0，则称该向量为零向量，在不引起混淆的情况下，简记为0.,对一个 mn 矩阵 A= ( aij ) 按列分块得:,例4.1. 矩阵与向量,A=,a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn,=(a1,a2,an),a1,an,a2,称a1,a2,an为矩阵A 的列向量组。,同样，若对 矩阵 A 按行分块得：,称1,2, ,n为矩阵 A 的行向量组。,1 2 m,A=,a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn,=,例4.2.,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。,例如：2个3维列向量所组成的向量组：,构成一个 3 2 矩阵：,2个3维行向量所组成的向量组,构成一个 2 3 矩阵：,二、向量的线性运算,定义4.2. 设向量a =(x1, x2, xn ),b = (y1,y2,yn),称a +b =(x1+y1, x2 +y2, xn +yn)为a与b 的和；,称ka = (kx1, kx2, kxn)为向量a与k 的数乘；,向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算。,若xi=yi (i=1,2,n), 则称向量a, b 相等，记作a=b ;,称(-1)a 为向量a 的负向量，记作-a ；,向量的减法为a - b =(x1-y1, x2 -y2, xn -yn) ；,向量的线性运算满足下列性质：,(2) 结合律: (a +b ) +g = a + (b +g ) ;,(3) a +0 = 0 +a =a ;,(4) a +(-a ) = 0 ;,(1) 交换律：a +b = b +a ;,(5) 1a = a ;,(6) k( la ) = ( kl )a ;,(7) ( k+l )a = ka + la ;,(8) k(a +b ) = ka + kb .,设 a、b 、g为n维向量,k, l 为实数，则向量的线性运算满足：,例4.3. 求x,y,z 使得,(2, -3,4)=x(1,1,1)+y(1,1,0)+z(1,0,0),解： (2, -3, 4)=(x, x, x)+(y, y, 0)+(z, 0, 0),解得：x=4, y= -7, z=5,4.2 向量组的线性相关性,称为向量组 T 的一个线性组合,k1 , k2 , , km 称为这 个线性组合的系数。,给定向量组T :a1,a2,.,am ，对任何一组实数,k1 , k2 , , km , 向量,一、向量组的线性组合,k1a1+k2a2+kmam,定义4.3.,实数 k1 , k2 , , km , 使,则称向量 b 是向量组T 的线性组合或称向量 b 可由向量组 T 线性表示。,给定向量组T:a1,a2,am和向量b, 如果存在一组,b = k1a1+k2a2+kmam,例4.4 : 设,那么,线性组合的系数,e1, e2, e3的 线性组合,一般的，,若记,则任意 n 维向量b = (b1, b2, bn), 均可表示为：,称e1 , e2 , , en为n维单位坐标向量。,e1=(1,0,0),e2=(0,1,0)，en=(0,0,1),b = b1e1+ b2e2 + bnen,例4.5. 线性方程组与向量:,可写成,系数矩阵可以看成三个列向量：,从而有：,方程组有解？,向量 是否能用 线性表示？,方程组是否有解？,向量 是否能用 线性表示？,若方程组有解，则其解(x1,x2,x3)就是表示系数。,方程组有无穷解还是唯一解？,向量 用 线性表示，是有无穷种表示方 法，还是有唯一的表示方法？,k为任意实数。,方程有无穷组解。,向量 用 线性表示，有无穷种表示方法。,，k为任意实数。,例4.6. 给定向量组,问 b 能否由 a1, a2, a3 线性表出？若能，求出表示系数。,更一般的：,可写成,线性方程组,即,或,能由n个m 维向量,有解。且表示系数就是该方程组的解 。,定理4.1.m 维向量,线性表示的充要条件是非齐次线性方程组,定义4.4. 给定向量组 a1, a2, am(m 2), 如果向量组中至少存在一个向量可以表示为其余向量的线性组合，则称该向量组线性相关,否则称该向量组线性无关。,二、向量组的线性相关性,1. 线性相关的定义,向量组,是线性相关的,规定：由一个向量组成的向量组线性相关当且仅当它是零向量,两个n 维向量a = (a1, a2, , an) 与b =(b1, b2, , bn) 线性相关的充要条件是：,含有零向量的向量组一定线性相关,对应分量成比例.,向量组,是线性相关的,对向量组T : a1, a2, an , 若存在T 的部分组线性相关，则向量组T 一定线性相关。,向量组,也是线性相关的,若向量组T 线性无关，则T 的任一部分组必线性无关。,作业：P891(1),3(2),矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数,(克莱姆法则)如果线性方程组:,的系数行列式,则此线性方程组有唯一解，并且其解可表示为,推论. 如果齐次线性方程组的系数行列式,则它只有零解,如果齐次线性方程组,有非零解,则它的系数行列式必为零。,方程组是否有解？,向量 是否能用 线性表示？,给定向量组 a1, a2, am(m 2), 如果向量组中至少存在一个向量可以表示为其余向量的线性组合，则称该向量组线性相关,否则称该向量组线性无关。,两个n 维向量a = (a1, a2, , an) 与b =(b1, b2, , bn) 线性相关的充要条件是：,含有零向量的向量组一定线性相关,对应分量成比例.,对向量组T : a1, a2, an , 若存在T 的部分组线性相关，则向量组T 一定线性相关。,若向量组T 线性无关，则T 的任一部分组必线性无关。,（1）向量组T 线性相关的充要条件是：,2. 向量组的线性相关性的判定定理,定理4.2. 设T:a1, a2, am是由m 个n 维的向量组成的向量组，则下列结论成立,（2）向量组T线性无关的充要条件是：,如果 k1a1+k2a2+kmam= 0, 则 k1=k2=km=0.,存在一组不全为零的数k1，k2,，km, 使 k1a1+k2a2+kmam=0;,（2）是（1）的逆否命题。,例4.7.证明：n 维单位坐标向量e1 , e2 , , en 线性无关。,证:,设有一组数,例4.8.,设向量组,线性无关，且,证明向量组,也线性无关。,证：,设有一组数 x1, x2, x3 使,因向量组,线性无关，所以,即,由于此方程组的系数行列式,故方程组只有零解x1 = x2 = x3 = 0，所以向量组,线性无关。,例4.9. 已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，证明： a1+a2, a2+a3, a3+a1 也线性无关.,且表示式是唯一的。,推论: 设向量组,线性无关，而,线性相关，则向量,必能由向量组,线性表示，,向量组,设向量组,线性相关,向量组,线性无关,能由,线性表出；,不能由,线性表出.,证明：(1),(2),解: 设,于是我们得到关于,的方程组:,解方程组得：,线性无关,注:未知数的个数由向量的个数决定,方程的个数由向量的维数决定,方程的系数矩阵由向量构成，每一列是一个向量.,是 n 维列向量组，矩阵,齐次线性方程组 AX = 0 有非零解;,线性相关;,齐次线性方程组 AX = 0 只有零解;,线性无关;,存在一组不全为零的数x1，x2,，xm, 使 x1a1+x2a2+xmam=0,的系数矩阵为,A的秩：,齐次线性方程组,方程的秩小于未知数的个数m，则方程组有非零解。,方程的秩等于未知数的个数m，则方程组只有零解；,（3）R(A) m.,定理4.3. 设,是 n 维列向量组，矩阵,则下列命题等价:,（2）线性方程组 AX = 0 有非零解;,（1）,线性相关;,由定理4.3知，可以通过判断以由向量组组成的矩阵为系数矩阵的线性方程组是否有非零解来得知向量组是否线性相关。,线性方程组 AX = 0 有非零解,线性方程组 AX = 0 只有零解,若向量的个数与向量的维数相同，相应的系数矩阵为方阵，判定线性方程组是否只有零解可用克莱姆法则。于是：,推论1. 设A=(a1,a2,an)是n维列向量组，则a1,a2,an线性相关的充要条件是|A|=0,推论1.设A=(a1,a2,an)是n维列向量组，则a1,a2,an线性无关的充要条件是|A| 0,例4.11. 证明：n 维单位坐标向量e1 , e2 , , en 线性无关。,证：,n 维单位坐标向量组构成如下的矩阵：,它是 n 阶单位矩阵。由 | E | 0，知此向量组线性无关。,已知,是否线性相关？,问：向量组,例4.12.,故向量组,线性无关。,（3）R(A) m.,定理4.3. 设,是 n 维列向量组，矩阵,则下列命题等价:,（2）线性方程组 AX = 0 有非零解;,（1）,线性相关;,由定理4.3知，还可以通过判断由向量组组成的矩阵的秩与向量组中向量的个数之间的大小来得知向量组是否线性相关。,R(A) m,R(A)=m,推论2. 若一向量组中，向量的个数比该向量组的维数大，则该向量组一定线性相关,已知,是否线性相关？,问：向量组,例4.12.,线性无关。,是否线性相关？,例4.13.请问向量组,解：,R(A) 34,故向量组线性相关.,推论3. 设m 个n 维向量组a1,a2,am 线性无关，则在,每个向量ai上添加s 个分量后，所得的m个n+s 维向量组,b1,b2,bm仍线性无关。,是否线性相关？,例4.14.请问向量组,是否线性相关？,故a1,a2,a3线性无关.,，R(B) R(A)=3,故b1,b2,b3线性无关.,线性无关，故R(A)=m。添加分量相当于对矩阵添加几个行向量，是不减少矩阵的秩，故R(B) R(A)=m.,向量组线性相关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1, a2, , am 线性相关 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m 1 个向量线性表示（定义） 存在不全为零的实数 k1, k2, , km ，使得 k1a1 + k2a2 + + kmam = 0（零向量）. m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解(方程组) 矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数 m.（秩）,4.3 向量组的秩,一、向量组的极大线性无关组与秩,(2) 向量组T 中任意r+1个向量(如果存在的话)都线性相关，,定义4.5. 若向量组T 中存在由r 个向量组成的向量组T0:,满足,(1) 向量组T0:,线性无关；,则称向量组T0:,是向量组T 的一个极大,1.向量组的极大线性无关组,线性无关组。,向量组的极大线性无关组的定义中的第二条可以替换为：,(2/) 向量组T 中任意一个向量都可以被 线性表出。,由定义知，若T本身线性无关，则T的极大线性无关组就是它本身。,例4.15. 求向量组,极大线性无关组。,首先a1线性无关；因为a1， a2对应分量不成比例，所以a1 、a2线性无关；因为,解：,所以a1 ,a2 ,a3线性相关；,又因为,所以a1 ,a2 ,a4线性无关.,于是a1 ，a2 ，a4是该向量组的一个极大线性无关组.,由于a1 ,a2 ,a3线性相关，故a1 ,a2 ,a3 , a4线性相关，,类似可得：a2 ，a3 ，a4也是该向量组的极大线性无关组.,由此例可见，一个向量组的极大线性无关组可以是不唯一的，但我们发现其极大线性无关组中所含向量的个数是相同的。一般地，有,定理4.4. 向量组的极大线性无关组所含的向量个数唯一，即一个向量组若有多个不同的极大线性无关组，则它们包含的向量个数相同,定义4.6.一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为该向量组的秩,2. 向量组的秩,作业：P89-905,7.,由例4.14 看到，用定义来求一个向量组的秩是一件很麻烦的事情，相比之下，我们用初等变换的方式求出一个矩阵的秩的方法则简单得多。,如果可以借助求矩阵的秩的方式求向量组的秩，那么无疑可以减少计算量。既然向量与矩阵有如此密切的联系，那么向量组的秩与矩阵的秩也一定有非同寻常的关系。,定义：矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩； 矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩.,二 、矩阵的秩与向量组的秩的关系,问题：矩阵的行秩、列秩与矩阵的秩之间有何关系？,为了回答上面的问题，我们需要一个重要结论：,定理4.5. 矩阵的行初等变换不改变矩阵列向量组之间的线性关系,的任意部分组,对,(1tn),若有,则必有,反之，若观察到,则必有,换言之，,线性相关(线性无关),线性相关(线性无关),定理4.5. 的意思如何理解？,设 mn矩阵,经过行初等变换化为,矩阵,于是存在可逆矩阵P,使得B=PA,即,对任意的t(1tn)个列向量ak1,ak2,akt，,证明：,需证明,只需证明：,且,线性无关组；并且，若,若mn矩阵,则,由定理4.5知,b1,b2,b3,b4,b5的极大线性无关组是什么？,b1,b2,b3,b4,b5的极大线性无关组是b1,b2,b4 .,b3,b5用极大线性无关组b1,b2,b4 如何线性表出？,关于向量组a1,a2,a3,a4,a5的有什么结论？,a1，a2，a4为向量组的一个极大无关组，且有,其中b1,b2,b4是单位向量.,b1, , b5的构成一个行最简形。,例4.15.设向量组,（1）求向量组的秩； （2）求向量组的一个极大线性无关组； （3）把其余向量表示成极大线性无关组的线性 组合.,由于矩阵的行初等变换不改变矩阵列向量组之间的线性关系，故对矩阵进行行初等变换变为行最简形，对其讨论极大无关组。,解：构造矩阵得：,故a1，a2，a4为向量组的一个极大无关组，其秩为3，即矩阵的列秩为3。,非零行的非零首元所在的列为1,2,4列。,由于1,2,4列是三个单位向量，故其他各列可由1,2,4列线性表出：,注意：矩阵的秩是非零行的行数，也是3，也就是矩阵的秩等于它的列秩。,矩阵的列秩是就是非零行的非零首元的个数，每行只有一个非零首元，故非零行非零首元的个数就是非零行的行数，从而矩阵的列秩等于矩阵的秩。,1,2,4列是三个单位向量，且这三列正好是非零行的非零首元所在的列。,定理4.6. 矩阵的秩等于它的行秩，也等于它的列秩。,A的列秩= A的秩= A的行秩.,求向量组的秩以及最大无关组的方法：,将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换，变换为行阶梯形矩阵，求出其秩,找出极大线性无关组 ；进一步化为行最简形，把其他向量表示成极大无关组的线性组合。,作业：P89-905,7,8.,例4.16：已知 试求向量组 a1, a2, a3 的极大无关组,并将其他向量用极大线性无关组表示 解： 可见 a1, a2 是向量组 a1, a2, a3 的一个极大线性无关组 且 a3 = 2a1+ a2 ,(2) 向量组T 中任意r+1个向量(如果存在的话)都线性相关，,极大线性无关组：若向量组T 中存在由r 个向量组成的向量组T0:,满足,(1) 向量组T0:,线性无关；,则称向量组T0:,是向量组T 的一个极大,线性无关组。,秩：一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为该向量组的秩,(2/) 向量组T 中任意一个向量都可以被 线性表出。,定理4.6.,A的列秩= A的秩= A的行秩.,求向量组的秩以及最大无关组的方法：,将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换，变换为行阶梯形矩阵，求出其秩,找出极大线性无关组 ；进一步化为行最简形，把其他向量表示成极大无关组的线性组合。,4.5 线性方程组的解的结构,问题：什么是线性方程组的解的结构？ 所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系 当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构,一、齐次线性方程组AX=0 解的性质,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（4.1）,则上述方程组（4.1）可写成向量方程,若,满足方程AX=0 ，或者说x1是方程的解,则x1称为方程组(4.1)的解向量.,（4.2）,齐次线性方程组 AX=0 解的性质,（1）若 为AX=0 的解，则,也是 AX=0 的解.,证明:,（2）若 为AX=0的解， k为实数，则 也是AX=0的解,证明:,定义4.7. 我们称齐次线性方程组的一组解 1, 2, , s为该方程组的一个基础解系，若满足: （1） 1, 2, , s 线性无关； （2）该齐次线性方程组的任意一个解都可以由 1, 2, , s线性表示,由定义知，齐次线性方程组的基础解系实际上就是该方程组解向量组的一个极大线性无关组,如何求AX=0的基础解系呢？,定理4.7.,3线性方程组AmnX=0 基础解系的求法.,设齐次线性方程组(4.1)的系数矩阵的秩R(A)=rn,则该方程组必存在基础解系，并且基础解系中所含的解向量的个数即为自由未知量的个数n-r.,当R(A) = n时，方程组只有零解； 特别地，当m=n时，若|A|0，方程组只有零解； 当R(A) n时，方程组有无穷多个非零解。 特别地，当m=n时，若|A| = 0, 方程组有无穷个非零解。,例4.17.,求齐次线性方程组,解:,对系数矩阵A 施行初等行变换变为行最简形矩阵：,的基础解系.,得与原方程组同解的方程组为：,即,系数矩阵的秩为2，自由未知量的个数为4-2.,任意一个解均可表示为:,称齐次线性方程组的一组解 1, 2, s为该方程组的一个基础解系，若满足: （1） 1, 2, , s 线性无关； （2）该齐次线性方程组的任意一个解都可以由 1, 2, , s线性表示,通解为:,从而 为一个基础解系。,基础解系中所含的解向量的个数即为自由未知量的个数.,设R(A) =r n ， n 元齐次线性方程组 AX = 0 的通解为x = k1x1 + k2x2 + + kn-rxn-r，,求解齐次线性方程组,解：,例4.18.,系数矩阵的秩为3，自由未知量的个数为4-3=1.,即得同解方程组：,得到通解：,其中k 是任意常数.,基础解系为：,自由未知量的个数即为基础解系所含解向量的个数1.,求解齐次线性方程组,例4.19.,解：,注：根据方程具体情况，化成能解出解的形式，并非一定是最简形。,得到通解：,基础解系为：,1.非齐次线性方程组解的性质,二、非齐次线性方程组的解的结构,性质. 若 h1, h2 是非齐次线性方程组 AX = b 的解，则 h1 h2 是对应的齐次线性方程组 AX = 0 的解 证明： A(h1 h2 ) = Ah1 Ah2 = b b = 0 性质. 若 h* 是非齐次线性方程组 AX = b 的解,x 是对应的齐次线性方程组 AX = 0 的解，则 x + h* 还是 AX = b 的解 证明： A(x + h* ) = Ax + Ah* = 0 + b = b ,齐次线性方程组AX=0有基础解系，非齐次线性方程组有没有基础解系呢？,若 h1, h2 是非齐次线性方程组 AX = b 的解，那么 h1 + h2 是不是该非齐次线性方程组的解呢？,不是！,只有齐次线性方程组AX=0才有基础解系的概念，非齐次线性方程组没有基础解系的概念！,若 h* 是 AX = b 的一个解， 设R(A) =r n ， n 元齐次线性方程组 AX = 0 的通解为x = c1x1 + c2x2 + + cn-rxn-r， 则 AX = b 的通解为： x = c1x1 + c2x2 + + cn-rxn-r +h*,AX = b 的特解,AX = 0 的通解,以上我们讨论的是当线性方程组 AX = b 有解时，其解的性质，问题是该方程组是不是一定有解呢？,如果不是，什么时候无解，什么时候有解？,证明：,b可由A的列向量组a1 ,a2 ,an线性表出,设方程组AX=b的系数矩阵A的秩为r, 设r个列向量ak1,ak2,akr是它的一个极大无关组。,向量组ak1,ak2,akr,b 与向量组a1,a2,ar的秩相等,非齐次线性方程组AX=b有解的充要条件是：,系数矩阵A 的秩等于增广矩阵的秩，即,定理4.8,b可由A的列向量组ak1 ,ak2 ,akr线性表出,向量组a1,a2,an,b 与向量组a1,a2,an的秩相等,方程AX=b有解,线性方程组的解的判定：,包含 n 个未知数的齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) n 包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 AX = b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A, b)，并且 当R(A) = R(A, b) = n 时，方程组有唯一解； 当R(A) = R(A, b) n 时，方程组有无限多个解,若方程的未知数的个数等于方程的个数，则 |A|0时，方程组有唯一解； |A|=0时，当R(A) = R(A, b) 时，方程组有无限多个解，当R(A) R(A, b) 时，方程无解。,例4.20.求解下列非齐次线性方程组,解法一： （1）因为增广矩阵,初等,行变换,R(A)=R(A)=3(未知数的个数), 故方程有唯一解：,解： 因为增广矩阵,R(A)=R(A)=24,故方程有无穷多解。,即为：,原方程组的同解方程组为：,得到原方程组的通解：,(k1,k2为任意常数),取x2=k1,x4=k2，,令k1=k2=0即得原方程组的一个特解：,解： （3）因为增广矩阵,初等,行变换,同解方程组为：,因为2=R(A) R(A, b)=3 ，故方程无解。,这个例子对应着三种情况：,(i) 当,方程组有唯一解；,(ii)当,方程组有无穷多解。,时，,时，,下面总结一下求解非齐次线性方程组的方法。,() 当,时，方程组无解;,非齐次线性方程组的通解的求法：,（1）对系数矩阵A的增广矩阵进行初等行变换，将其化为阶梯阵，,（2）分别求出系数矩阵、增广矩阵的秩，若两者不等则方程无解；若两者相等，则把增广矩阵化为最简形矩阵，就可以写出其通解。,4.6 n维向量空间,定义4.8. 设 V 是 n 维向量的集合，如果 集合 V 非空， 集合 V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭，,若 a V, b V，则a + b V. （对加法封闭） 若 a V, l R，则 l a V .（对乘数封闭） 那么就称集合 V 为向量空间,定义4.9. 设有向量空间 V ，如果在 V 中能选出 r 个向量a1, a2, ,ar，满足 a1, a2, , ar 线性无关； V 中任意一个向量都能由 a1, a2, , ar 线性表示； 那么称向量组 a1, a2, , ar 是向量空间 V 的一个 基数 r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维 向量空间,由齐次线性方程组解的两个性质可知， 的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的解空间一般记作,解空间N(A)的一个极大线性无关组，就是AX=0的基础解系.,解空间 解空间的基 解空间的维数,AX = 0 的解的集合 基础解系 n R(A),解向量组 解向量组的最大无关组 解向量组的秩,定义4.10. 设a1,a2,an是数域F上线性空间Vn的一组基,任取aVn,则a可由a1,a2,an唯一地线性表示,即存在唯一的一组数x1,x2,xnF,使得,则称有序数组,为向量a在基,下的坐标.,例:4.21.求向量 在基 ， 以及 下的坐标。,解:设,故a 在基b1 , b2 , b3 下的坐标为(1,1,1).,P9118,请写出理由，如果是基的话，请求出向量 在此基下的坐标。,作业：P90-919,13(1), 15,