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,第一章 计数原理 1.2.1 排 列,探究 在1.1节的例9中我们看到,用分步乘法计数原理解决这个问题时,因做了一些重复性工作而显得繁琐,能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢?(1分钟讨论),探究：,问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？,上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画,探究：,问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,分析：把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？,第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名，有3种选法.,第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法,根据分步计数原理：32=6 即共6种方法。,把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题就可以叙述为：,从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？,ab, ac, ba, bc, ca, cb,问题2从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 第步，确定百位上的数字，有4种方法 第步，确定十位上的数字，有3种方法 第步，确定个位上的数字，有2种方法 根据分步乘法计数原理，共有 43224 种不同的排法。如下图所示,有此可写出所有的三位数： 123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。,同样，问题可以归结为： 从个不同的元素a，b，c，d中任取个， 然后按照一定的顺序排成一列，共有多少 种不同的排列方法？,abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.,思考？上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？,(1)有顺序的 (2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等，,推广到一般 排列：一般的，从个不同的元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。,排列问题实际包含两个过程：,（1）先从n个不同元素中取出m个不同的元素。,（2）再把这m个不同元素按照一定的顺序排成一列。,注意：,1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。,2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。,3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。,4、mn时的排列叫选排列，mn时的排列叫全排列。,5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”。,例1、下列问题中哪些是排列问题？,（1）10名学生中抽2名学生开会,（2）10名学生中选2名做正、副组长,（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘,（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除,（5）20位同学互通一次电话,（6）20位同学互通一封信,（7）以圆上的10个点为端点作弦,（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线,（9）有10个车站，共需要多少种车票？,（10）安排5个学生为班里的5个班干部，每人一个职位？,哪些是全排列？,2、排列数：,从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示。,“排列”和“排列数”有什么区别和联系？,问题中是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为 ,问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为，已经算出,探究：从个不同元素中取出个元素的排列数是多少？，又各是多少？,（1）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1 （2）最后一个因数是nm1 （3）共有m个因数,观察排列数公式有何特征：,就是说，个不同元素全部取出的排列数， 等于正整数到的连乘积， 正整数到的连乘积，叫做的阶乘， 用!表示， 所以个不同元素的全排列数公式可以写成,个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，这时公式中的，即有,另外，我们规定0!1,排列数公式（2）：,说明：,1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。,2、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。,例2、解方程：,例3、求证：,例5、求 的值.,1计算：（1）,（2）,课堂练习,2从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地 上进行试验，有种不同的种植方法？,4信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能 打出不同的信号有（ ）,3从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛， 并排定他们的出场顺序，有种不同的方法？,排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）,小结,由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列,例3、某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？,解：14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列，因此，比赛的总场次是,例 4(1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？,= 543= 60,被选元素可重复选取，不是排列问题！,555= 125,“从5个不同元素中选出3并按顺序排列”,【例5】用0到9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？,特殊位置“百位”，特殊元素“0”,法1：,法2：,特殊位置优先安排,特殊元素优先考虑,法3：,正难则反（间接法）,对于有限制条件的排列问题，必须遵循“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”，并注意“合理分类，准确分步”，做到“不重不漏，步骤完整” ，适当考虑“正难则反” 。,变式：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？,有约束条件的排列问题,变式：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？,有约束条件的排列问题,
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