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1.了解构成函数的要素；了解映射的概念. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单地应用.,1.函数与映射的概念,数集,集,合,任意,任意,唯一确,定,都有唯一确定,f：AB,f：AB,思考探究1 映射与函数有什么区别？,提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集.,2.函数的相关概念 (1)函数的三要素是 、 和 . (2)相等函数 如果两个函数的 和 完全一致，则这两 个函数相等.,定义域,值域,对应关系,定义域,对应关系,思考探究2 如果两个函数的定义域与值域相同，则它们是否为相等函数？,提示：不一定，如函数f(x)x和函数g(x)x的定义域和值域均为R，但两者显然不是同一函数.,3.函数的表示法 表示函数的常用方法有： 、 、 .,解析法,列表法,图象法,1.若对应关系f：AB是从集合A到集合B的一个映射，则下 面说法错误的是 () A.A中的每一个元素在集合B中都有对应元素 B.A中两个元素在B中的对应元素必定不同 C.B中两个元素若在A中有对应元素，则它们必定不同 D.B中的元素在A中可能没有对应元素,解析：根据映射的概念可知，A中两个元素可以和B中的同一个元素对应，即允许多对一，不允许一对多.,答案：B,2.如图所示，可表示函数yf(x)的图象的只可能是 (),解析：A、B、C选项中都有“一对二”情形，不符合函数定义中从集合A到集合B应为“一一对应”或“多对一对应”，只有D符合函数定义.故选D.,答案：D,3.下列各组函数是同一函数的是 (),A. y 与y1 B. y 与y C. y 与y2x1 D. y 与yx,解析：y 排除A； y 排除B； y 排除C.,答案：D,4.若f(x)x2bxc，且f(1)0，f(3)0，则f(1).,解析：f(x)x2bxc，f(1)0，f(3)0. 13b,13c. 即b4，c3. f(x)x24x3. f(1)1438.,答案：8,5.设函数f(x) ，若f(x)10，则x .,解析：当x0时，2x0，故不合题意； 当x0时，x2110， x3.,答案：3,对于映射f：AB的理解要抓住以下三点： 1.集合A、B及对应关系f是确定的，是一个整体，是一个 系统； 2.对应关系f具有方向性，即强调从集合A到集合B的对应， 它与从B到A的对应关系是不同的； 3.对于A中的任意元素a，在B中有唯一元素b与之相对应. 其要点在“任意”、“唯一”两词上.,已知映射f：AB.其中ABR，对应关系f：xyx22x，对于实数kB，在集合A中不存在元素与之相对应，则k的取值范围是 () A.k1B.k1 C.k1 D.k1,思路点拨A中不存在元素与k对应方程x22xk无解，利用判别式可以求k的范围.,课堂笔记由题意，方程x22xk无实数根，也就是x22xk0无实数根. (2)24k4(1k)0，k1. 当k1时，集合A中不存在元素与实数kB对应.,答案A,若15B，则在集合A中与之对应的元素x为何值？,解：15B，x22x15. 即x22x150解之得x3或x5.,求函数解析式的常用方法 1.配凑法：对f(g(x)的解析式进行配凑变形，使它能用g(x) 表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可； 2.换元法：设tg(x)，解出x，代入f(g(x)，得f(t)的解析式 即可； 3.待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般 形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；,4.赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式. 5.解方程组法：利用已给定的关系式，构造出一个新的关 系式，通过解关于f(x)的方程组求f(x).,特别警示函数的解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要说明函数的定义域.,(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式； (2)已知 ，求f(x)的解析式.,思路点拨,课堂笔记(1)设f(x)axb(a0)， 则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2b ax5ab， 即ax5ab2x17，不论x为何值都成立. 解得 f(x)2x7.,(2)法一：设t 1，则x(t1)2(t1). 代入原式有 f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21. f(x)x21(x1). 法二：x2 ( )22 11( 1)21， f( 1)( 1)21( 11)， 即f(x)x21(x1).,解：f(x)2f( )3x， 以 代x，则f( )2f(x)3 . 由联立消去f( )得,f(x) x(x0). 故f(x) x(x0).,若将(2)中的条件改变“f(x)2f( )3x”，如何求解？,分段函数是指自变量x在不同取值范围内对应关系不同的函数，解决与分段函数有关的问题，最重要的就是逻辑划分思想，即将问题分段解决，还要熟练掌握研究分段函数性质(奇偶性、单调性)的一般方法.,特别警示分段函数的解析式虽然由几部分构成，但它 表示的是一个函数.,设函数f(x) 若f(4)f(0)，f(2)2，则关于x的方程f(x)x的解的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4,思路点拨,求b，c,求f(x)的解析式,解方程f(x)x,课堂笔记法一：若x0，f(x)x2bxc. f(4)f(0)，f(2)2， 解得 f(x) 当x0时，由f(x)x，得x24x2x， 解得x2，或x1； 当x0时，由f(x)x，得x2. 方程f(x)x有3个解.,法二：由f(4)f(0)且f(2) 2，可得f(x)x2bxc的对称轴是 x2，且顶点为(2，2)，于 是可得到f(x)的简图(如图所示).方程 f(x)x的解的个数就是函数图象y f(x)与yx的图象的交点的个数， 所以有3个解.,答案C,分段函数是高考的热点内容，以考查求分段函数的 函数值为主，属容易题，但09年山东高考将函数的周期性应用到求分段函数函数值的过程中，使试题难度 陡然增加，这也代表了一种新的考查方向.,考题印证 (2009山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x) 则f(2 009)的值为 () A.1 B.0 C.1 D.2,【解析】x0时，f(x)f(x1)f(x2)， 又f(x1)f(x)f(x1)， 两式相加得f(x1)f(x2)，即f(x3)f(x)， 故f(x6)f(x3)f(x)，故函数周期为6. f(2 009)f(63345)f(5)f(1)log221.,【答案】C,自主体验 已知符号函数sgnx,则不等式(x1)sgnx2的 解集为.,解析：当x0时，sgnx1. 由(x1)sgnx2得x1. 当x0时，sgnx0. 不等式(x1)sgnx2解集为. 当x0时，sgn1， 由不等式(x1)sgnx2得x3. 综上可知不等式(x1)sgnx2的解集为x|x3或x1.,答案：x|x3或x1,1.已知f：xsinx是集合A(A0,2)到集合B0， 的一个映射，则集合A中的元素个数最多有 () A.4个B.5个 C.6个 D.7个,解析：A0,2，由sinx0得x0，2；由sinx ，得x ， ，A中最多有5个元素.,答案：B,2.(2010枣庄模拟)已知函数f(x) ，那么 ff( )的值为 () A.9 B. C.9 D.,解析：由于ff( )f(log2 )f(2)32 .,答案：B,3.若f(x)对任意实数x恒有2f(x)f(x)3x1，则f(x) () A.x1 B.x1 C.2x1 D.3x3,解析：2f(x)f(x)3x1， 用x代x得，2f(x)f(x)3x1， 2得，3f(x)3x3， f(x)x1.,答案：B,解析：f(x)x22xa， f(bx)b2x22bxa9x26x2. 则 a2，b3. f(x)x22x2， 则f(axb)f(2x3)(2x3)22(2x3)2 4x28x5.,4.已知函数f(x)x22xa，f(bx)9x26x2，其中 xR，a，b为常数，则f(axb).,答案：4x28x5,5.已知函数f(x)满足f(ab)f(a)f(b)且f(2)p，f(3)q， 则f(36).,解析：f(36)f(6)f(6)2f(23)2f(2)f(3) 2(pq).,答案：2(pq),6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)x2x)f(x)x2x. (1)若f(2)3，求f(1)；又若f(0)a，求f(a)； (2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)x0，求函数f(x)的 解析式.,解：(1)因为对任意xR有 f(f(x)x2x)f(x)x2x， 所以f(f(2)222)f(2)222， 又f(2)3，从而f(1)1. 又f(0)a，则f(a020)a020， 即f(a)a.,(2)因为对任意xR，有f(f(x)x2x)f(x)x2x， 又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)x0， 故对任意xR，有f(x)x2xx0. 在上式中令xx0，有f(x0) x0 x0. 又因为f(x0)x0，所以x0 0， 故x00或x01.,若x00，则f(x)x2x，但方程x2xx有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x00. 若x01，则有f(x)x2x1， 易验证该函数满足题设条件. 综上，函数f(x)的解析式为f(x)x2x1.,
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