概率统计：第三章 二维随机变量(第一,二节)

第三章 二维随机变量 引入二维随机变量目的、用处: 在第二章中,我们讨论了用一个随机变量描述试验结果以及随机变量的概率分布问题.但在实际和理论研究中,有许多随机试验,仅用一个随机变量描述不够用.需要引入二维、三维、维随机变量描述其规律性.例如,对平面上的点目标进行射击,弹着点的位置需要用横坐标和纵坐标才能确定.由于和的取值都是随着试验结果而变化.因此和都是随机变量, 弹着点的位置是.又如空中飞行的飞机(其重心)需要用三个随机变量才能确定它的位置.等等.因此需要考虑多个随机变量及其取值规律问题.定义:设试验的样本空间为,而是定义在上的随机变量,把个随机变量构成的有序随机变量组称为维随机变量(或维随机向量);对任意实数，函数称为维随机变量的分布函数或称为个随机变量的联合分布函数.第一节 随机向量与联合分布一. 定义和基本性质定义1 设试验的样本空间为,而是定义在上的两个随机变量.称由这两个随机变量组成的向量为二维随机变量或二维随机向量.例如 掷两颗骰子,观察出现的点数.设为第一颗骰子出现的点数, 为第二颗骰子出现的点数,为定义在 上的两个随机变量, 为二维随机变量,它描述了掷两颗骰子出现的点数情况.对任意实数,随机事件有概率. 定义2 设为二维随机变量, 对任意实数,二元函数,称为二维随机变量的分布函数, 或称为随机变量和的联合分布函数.记，则 分布函数的性质：的定义域，；（1），且 ， ；（2）对或对单调不减，即 ，（由及概率的单调性）， ；（3）对或对右连续，即有 ， ；（4）对任意实数有 ，事实上 ， .可以证明:凡满足上述性质的二元函数必定是某个二维随机变量的分布函数.例1 设二维随机变量的分布函数为,(1) 确定常数;(2) 求.解(1) 利用分布函数的性质, ,由的任意性得, , ,由的任意性得, 从而 ,;(2) . 例2设二维随机变量的分布函数为 ,(1) 确定常数;(2) 求.解 (1) 利用分布函数的性质,由的任意性,得 ,所以 ;(2) . 二. 二维离散型随机变量定义3 若二维随机变量的所有取值为有限对或可列对,则称是离散型随机变量.记称它为二维离散型随机变量的(概率)分布律,或称为和的联合(概率)分布律.分布律的表示法:(1)公式法,(2)列表法.例如 随机变量的分布律为YX 12-110二维离散型随机变量的(概率)分布律具有下列基本性质:(1) (2) .利用分布律可计算概率定理 设的分布律为则随机点落在平面上任一区域内的概率为,其中和式是对所有使的求和;特别有 . 例1 甲、乙两盒内均有3只晶体管,其中甲盒内有1只正品,2只次品; 乙盒内有2只正品,1只次品.第一次从甲盒内随机取出2只管子放入乙盒内; 第二次从乙盒内随机取出2只管子.以分别表示第一、二次取出的正品管子的数目.试求的分布律以及其中. 解 根据题意知,的可能取值为0,1;的可能取值为0,1,2.因此, 的可能取值为(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2).是离散型随机变量.表示从甲盒内取出2只次品管子放入乙盒内,此时乙盒内有2只正品,3只次品,利用乘法公式可得 ,表示从甲盒内取出1只正品和1只次品管子放入乙盒内,此时乙盒内有3只正品,2只次品,利用乘法公式可得 ,于是得的分布律为YX01 201 .例2 某射手在射击中,每次击中目标的概率为,射击进行到第二次击中目标为止,表示第一次击中目标时所进行的射击次数, 表示第二次击中目标时所进行的射击次数,试求二维随机变量的分布律. 解 设第次射击时击中目标, 根据题意,且相互独立,所以的分布律为 , ; .例3 接连不断地掷一颗匀称的骰子,直到出现点数大于2为止, 以表示掷骰子的次数.以表示最后一次掷出的点数.求二维随机变量的分布律.解 依题意知, 的可能取值为;的可能取值为3,4,5,6 设第次掷时出1点或2点,第次掷时出点,则,“掷骰子次,最后一次掷出点,前次掷出1点或2点” ,(各次掷骰子出现的点数相互独立)于是的分布律为 , ,.(例如 )三. 二维连续型随机变量 定义4 设二维随机变量的分布函数为,若有非负可积函数,使得对任意实数,恒有 ,则称是二维连续型随机变量,称函数为连续型随机变量的概率密度, 或称为随机变量和的联合概率密度.的概率密度具有下列基本性质: (1) , ;(2) . 反之,可以证明,若二元函数满足上面两条基本性质,那么它一定是某个二维随机变量的概率密度. 显然,如果概率密度在点处连续,则有 .利用概率密度计算概率 定理 设的概率密度为,则有 (1),(2)设为平面上任一区域, .例3 设二维随机变量具有概率密度 ,(1)确定常数;(2)求分布函数;(3)求解（1）由概率密度的性质 ，即得 ；（2） ，（A）当时， ，（B）当时 ，（C）当或时，对有， 于是得所求分布函数 ；（3）设， .四. 常用的二维连续型随机变量有下面两种:(1)均匀分布若随机变量概率密度为 ,其中为有界区域的面积.则称在区域上服从均匀分布.记为.(2)二维正态分布若随机变量概率密度为 其中均为常数,且,则称随机变量服从参数为的二维正态分布,记作 .上述五个参数的意义将在第五章中说明.第二节 边沿分布函数(或边缘分布函数)概念:设随机变量的分布函数为,分量的分布函数记为,称为关于的边沿分布函数; 分量的分布函数记为,称为关于的边沿分布函数. 边沿分布函数的计算公式: , . 已知联合分布函数,可以计算出边沿分布函数;但由的分布函数,一般无法确定联合分布函数. 例1设二维随机变量的分布函数为 ,求关于和关于的边沿分布函数.解 关于的边沿分布函数 ;关于的边沿分布函数 .