傅里叶变换与拉普拉斯变换区别演讲稿

这个演讲分为三部分进行展开。在介绍两者区别之前，首先将给大家带来的是两种变换的背景以及两种变换的给我们带来的便利。最后进入到正题，两种变换之间的差别。第一部分 两种变换的背景。首先是傅里叶变换的背景。这个背景想必大家在高数课，电分课和之前的信号与系统课 上已经阅读过了，那么在这里大家可以稍稍再重温一遍。接下来是拉普拉斯变换的背景。 大家一定没有想到，拉普拉斯变换并不是由拉 普拉斯发明的，而是由这为Heaviside先生发明的。拉普拉斯对这项变换的贡献是进行了严 密的数学定义，确定其可行性后进行了推广。因此这项变换被称为拉普拉斯变换。说一句额外的话，在准备内容时，我本指望能像傅里叶变换一样，找到有关拉普拉斯变 换发展的波澜历史，却因拉普拉斯变换并不是被其发明者命名，所以有关Heaviside先生如 何得到这种变换的资料少之又少，而拉普拉斯对其定义的过程相对来说又很枯燥，并没有什 么值得记载的故事，因此大家可以从刚刚这段说明中看出拉普拉斯的发展历史只是草草陈述 这也告诉我们，做事一定要完备，知识一定要渊博，否则发现了什么却忘记对其进行推广， 或者知道要去推广却因数学功底不足而无法给出严格定义以及证明，流芳百世的机会也只能 拱手让人。因为现实生活中的信号多为因果信号，因此在此考虑拉普拉斯的现实意义，引入拉普拉 斯单边变换。下述有关拉普拉斯变换的讨论均基于拉普拉斯单边变换。第二部分 两种变换带来的便利。首先是傅里叶变换带给我们的方便。求解线性电路有了通法。面对三角函数信号，以及 电容电感这类原件，时域中求解电路状态变得十分困难。但通过电分的学习，我们掌握了频 域解法。又通过傅里叶变换，我们可以将任何信号变成虚指数或者说三角函数形式，对于线 性系统，我们可以依次求解这些三角函数分量作用时的电路状态，再加和。所以只要是线性 系统我们都可以求解！我们能够从一个不随时间变换的空间中观察函数或者信号。傅里叶就是通往这个世界的 大门，把时域信号转换至频域。在这个域中，时间不是变量，频率才是变量。并且在这个域 中，人们可以方便地观察不同频率的信号分量。其次是拉普拉斯变换带给我们的便利。其实这两项优点是同一项，求解微分方程十分便利。 大家可以回想一下学习高数时，用经典法求解常系数微分方程时的痛苦。现在拉普拉斯变换 将微分方程统统化成简单的多项式方程，并且把用于求解特解的初值自动引入，可谓是十分 便利。面是最后一部分 两种变换之间的区别首先是两种变换后得到的信号从频域角度来看是否直观。以这个信号为例，利用matlab对其进行傅里叶展开。这幅图是其幅度频谱。(在黑板上1 f f (t)=j s F(jro)ejd 写出傅里叶展开的2兀)从这张图以及相位频谱，各位就可以描述加和得到，所以从频域上出F(加)的表达式。又知道，f (t)即由一系列的 我们可以直观看出不同频率的各个三角函数分量。这一点是拉普拉斯变换所不能企及的。这也是为什么傅里叶变换多用于针对信号的分析和处理，主要是频谱分析。第二个方面是求解微分方程的简易性差别一方面是可以将时域内的微分与积分的运算转换为乘法与除法的运算，将微分积分方程转 换为代数方程，从而使计算量大大减少。这一点个大家都十分清楚，在许多书中也给出了证 明。另一方面是可以将初始状态包含到微分方程中直接求解。主要利用的就是时域微分性质 这里，我查阅许多资料与书籍发现都没有这个性质的证明，只是告诉我们如何使用，但这里 我们需要从最本质的地方探究傅里叶与拉普拉斯在求解微分方程简易程度上的差别，因此课 后通过推导，在这里给出证明：证明 根据甌变换的定义和分部积分公式L 广)=匚八甘= nt)e-a+sf(t)e-5tdt=心)-/(0)而傅里叶的时域微分性质如下：罠时域微分性质证明=圭匸F仙)Me问血ff(t) e F(cu)j(u = (uF(a)即Pf(D = j 曲3)可以看到一个包含了初始状态，一个并没有。最后一个就是拉普拉斯变换相比傅里叶变换可以对更多函数进行变换，这也是我们最后一个 也是最显著的一个区别。我们稍后再谈。综上，可以发现拉普拉斯变换在求解微分方程上更占优势我们来到了最后一个差别，也是最本质的差别，处理的函数范围不同。 在查阅了高等数学教材后，得到了数学上对傅里叶变换成立的收敛定理，如下：1函数f(x)在每个有限区间上可积；2 存在数 M0,当 |x|nM 时，f(x)单调，且limf(x)=O。那么对于一些函数，例如eatu(a0),无法满足上述收敛定理，因此不存在傅里叶变换 下面是利用matlab进行求解的过程，可以看到，对于eTt这个函数，无法求解出其傅里叶 变换。与此同时，一些函数并不满足绝对可积条件，从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。 虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数，使分 析计算较为麻烦。以斜坡信号tu(t)为例，对其用matlab进行求解，可以看到包含了 dirac函数，也就是冲激函 数。因此我们在信号后乘上一个衰减速度十分快的衰减因子e，使得信号容易满足绝对可积条件，而得到的变换式也即拉普拉斯变换式好的，接下来让我们看看同样的函数，使用拉普拉斯变换看会得到什么样的结果。对于 eA3t*u(t)，得到了 1/ (s-3)；对于 tu (t),得到了 1/sA20傅里叶变换与拉普拉斯变换广泛应用于工程实际问题中,不仅仅在数学领域有着应用，在测 试技术及控制工程领域应用更为广泛，搞清两者的应用特点，对将来会频繁使用这两种变换 的我们极其重要。希望本文指出的一些方面能给各位带来一些启发以及想法，在未来给各位 带来些许帮助。谢谢大家！