高等数学-函数的极限少课时

,第一章,一、自变量趋于有限值时函数的极限,第三节,自变量变化过程的六种形式:,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容 :,函数的极限,一、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,引例. 测量正方形面积.,面积为A ),边长为,(真值:,边长,面积,直接观测值,间接观测值,任给精度 ,要求,确定直接观测值精度 :,定义1 . 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,即,当,时, 有,若,记作,几何解释:,例1. 证明,证:,故,对任意的,当,时 ,因此,总有,例2. 证明,证:,欲使,取,则当,时, 必有,因此,只要,例3. 证明,证:,故,取,当,时, 必有,因此,左极限与右极限,左极限 :,当,时, 有,右极限 :,当,时, 有,定理 3 .,例5. 给定函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解: 利用定理 3 .,因为,显然,所以,不存在 .,定义2 . 设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,A 为函数,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,例6. 证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,只要,直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .,两种特殊情况 :,当,时, 有,当,时, 有,几何意义 :,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,内容小结,1. 函数极限的,或,定义及应用,2. 函数极限的性质:,左右极限等价定理,思考与练习,1. 若极限,存在,2. 设函数,且,存在, 则,是否一定有,第四节,？,