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,第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三重积分,第九章,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,例如,下列“乘,中值定理.,在有界闭域 上连续,则存在,使得,V 为 的,体积,积和式” 极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、三重积分的计算,1. 利用直角坐标计算三重积分,方法1 . 投影法 (“先一后二”),方法2 . 截面法 (“先二后一”),方法3 . 三次积分法,先假设连续函数,并将它看作某物体,通过计算该物体的质量引出下列各计算,最后, 推广到一般可积函数的积分计算.,的密度函数 ,方法:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法1. 投影法 (“先一后二” ),该物体的质量为,细长柱体微元的质量为,微元线密度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法2. 截面法 (“先二后一”),为底, d z 为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,面密度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,投影法,方法3. 三次积分法,设区域,利用投影法结果 ,把二重积分化成二次积分即得:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当被积函数在积分域上变号时, 因为,均为非负函数,根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,小结: 三重积分的计算方法,方法1. “先一后二”,方法2. “先二后一”,方法3. “三次积分”,具体计算时应根据,三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中 为三个坐标,例1. 计算三重积分,所围成的闭区域 .,解:,面及平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算三重积分,解:,用“先二后一 ”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 利用柱坐标计算三重积分,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为,因此,其中,适用范围:,1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;,2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中为由,例3. 计算三重积分,所围,解: 在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,所围成 .,与平面,其中由抛物面,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 利用球坐标计算三重积分,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如图所示, 在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,适用范围:,1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 计算三重积分,解: 在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.求曲面,所围立体体积.,解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,利用对称性, 所求立体体积为,yoz面对称, 并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于 xoz,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁, 或,* 说明:,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:,对应雅可比行列式为,变量可分离.,围成 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 将,用三次积分表示,其中由,所,提示:,思考与练习,六个平面,围成 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设,计算,提示: 利用对称性,原式 =,奇函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 设由锥面,和球面,所围成 , 计算,提示:,利用对称性,用球坐标,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P106 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); 10 (2) ; 11 (1),(4),第四节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1. 计算,所围成.,其中 由,分析：若用“先二后一”, 则有,计算较繁!,采用“三次积分”较好.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所围,故可,思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便?,表为,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 计算,其中,解:,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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