复数单元教学设计

复数的概念单元教学设计安徽省无为第三中学 王代玉3.1.1 数系的扩充和复数的概念（人教版）一、单元教学内容，本单元是复数内容第一单元，是复数一章教学起始课，学生已经掌握了数系的 扩充及相应的运算规律。本单元主要内容是数系的三次扩充过程，复数的引入过 程，复数概念的知识二、单元教学目标知识与技能1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件 过程与方法1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律2、通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式情感态度与价值观1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用 2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法三、单元教学重点引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件四、单元教学难点虚数单位 i 的引进和复数的概念五、学生分析学生在本章之前已经学习了推理与证明的内容，有了一定的推理与证明能力， 并且对自然数扩充到实数及其有关运算规律有了较好的认识，知识铺垫较好，有 利于本节课运用类比思想对实数集进行扩充。六、教学方法及教学用具启发引导、类比探究并运用多媒体课件展示相关知识七、教学过程（一）问题引入大 家都知道，数，是数学中的基本概念，也是我们生活和科学技术时刻离不开的 语言和工具。前几天，老师遇到了这样一个与数有关的问题，大家看看该怎样解 决呢？问题 1：已知 x+y=3，xy 3，求 x 和 y 的值生（独立完成）：得出关于 x 的一元二次方程后，学生可能认为无解 。师：既然问题是要求出 x 和 y 的值，说明确实有这样的数存在。该怎么求呢？ 你 又是怎么想的呢？（留一定时间，让学生讨论）师：事实上在实数范围内 x 和 y 确实不存在？为什么会这样呢？假设 x 和 y 是 存 在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢？我们能不能解 决这个问题呢？1正如同学们所分析的，数的概念需要进一步发展，实数集需要扩充。这就是本 节课要研究的内容3.3.1 数系的扩充与复数的概念。设计意图： 发现问题，激发学生探究意识。（二）回顾数系的扩充历程应该如何进行数的扩充呢？到目前为止，大家已经知道，数系经历了三次 扩充，就让我们通过回忆，从中寻找数系扩充的方法。请大家以四人为一组合作探讨下面的问题。问题 2：数在不断的发展，到目前为止，经历了三次扩充，（1）回顾数从自然数发展到实数的三次扩充历程。（2 ）说明数集 N,Z,Q,R 的关系（2 ）分析每一次引入新数，扩大数系的原因。师：经过同学们的讨论，我们知道，数的这种发展一方面是生产生活的需要， 另一方面也是数学本身发展的需要。并能有效解决“数不够用”的问题。数与数之间的联系正是通过一些运算建立起来的， 如果没有运算，数不过是 一些孤立的符号，毫无意义， 接下来让我们从运算的角度，进一步讨论数的扩充。问题 3：集中，对于加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算来说，在以下四个数(1) 任意两个数运算所得的结果是否仍然属于这个数集。(2) 试着分析，引入负数，分数，无理数对于运算的影响。运加法减法乘法除法乘方开方算数集正整数集整数集有理数集实数集是是是是否是是是是是是是否否是是是是是是否否否否通过这个表格，我们看到，新的数集中，原有的运算律仍然适用， 同时引入 新数后，使得原来的某种不可以实施的运算变得可行了。通过不断的引入新数，数系逐步扩大到了实数系。师：现在，我们再看看以前是怎么解决“数不够用”的问题的。2原因 1自然数（N） 计数 盾原因 2规律1、实际需要、运算矛2 、引入新数解决问 题，运算保持，运算 律不变整数（Z） 具有相反意义的量 减法在 N 不能完全运算有理数（Q）测量，分配 除法在 Z 不能完全运算实数（R） 单位正方形对角线长 开平方在 Q 不能完全运算设计意图： 利用已有知识，引导学生找到探究的途径和方法，感受类比的思想方 法的作用。（三）类比，引入新数，将实数集扩充1、类比数系的扩充规律，引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法 生：引入新数，使得平方为负数师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不可能一下子 引入那么多，只要引入平方为多少就行呢？（引导学生找到-1，因为任何一个负数都可以写成正数与-1 的乘积）2、到目前为止，负数开偶次方的问题还没有解决，我们不妨先来研究负数开平方的问题，从运算的角度来说，也就是要解决方程在实数系中无解的问题。像大家说的，我们可以仿照前面的做法，引入一种新数，法国数学家笛卡尔 给这些数起名叫虚数，即 “虚的数”与“实数”相对应这是因为最开始研究这 种新数是在 16 世纪，而那个时候人们没能发现什么事物可以支持这样的数。如果引入虚数，负数可以开方了，那么就有意义了。我们希望，引入虚数后，原来在实数集中给出的运算规则仍能适用。例如，在引入虚数后，我们希望能把表示成的形式。实际上任何一个负数的平方根都可以表示成一个实数与的乘积的形式，因此，意大利数学家邦贝利提出可以把看作虚数单位。负数、分数和无理数引入时，都相应的带来了一种新的记号，那么对于虚数， 用一种什么样的记号来表示呢？现在我们规定：（1）；（2） 。使用 来表示这个数，是伟大的数学家欧拉在 1777 年，双目失明以后凭借着超乎寻常的意志和毅力，仍然不放弃对科学问题的思索与追求的结果，从而让虚3数有了一个特征性的记号。从此，也就不在使用表示虚数单位了，而是 了。那么 ，这种表示方法既简洁又有特点。3、探究复数的一般形式：首先，我们有：（1）（2）i 与实数可以做运算、并且运算律不变师：我们不妨把 i 添加到实数集里面成为一个新的集合 A，根据 i 的性质，我们拿 两个实数 a 和 b 与 i 任意的做加法、乘法运算，可以得到哪些数呢？生：说出各种表达形式（引导学生观察得到以上这些数都可以看成 的形式）师：于是我们得到复数的定义：形如 的数，我们把它们叫做复 数，其中 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部。用字母 z 表示，其中 a 叫做复数 的实部， b 叫做复数的虚部，i 称为虚数单位，所有复数所成的集合叫做复数集， 记为 C（请生用描述法写出复数集 C），那么，我们现在就把实数集扩充到了复数 集了，而负数也就可以开平方了，至此，我们有 N，Z， Q，R，C 。师给出几个简单复数形式的判断并指出它的实部和虚部各是什么？总结：实部和虚部都是实数；通常把一个复数化简到形式 才可以进 行判断。4、复数的应用：复数在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用，复 数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，是进一步学习数学的基 础。设计意图：通过数学史介绍和数系扩充过程教学，以展示知识的形成过程，解 决学生知其所以然的问题，让学生学到探究问题的思路，锻炼学生的思维品质， 形成学生的研究技能，达到数学文化的教育功能。（四）复数的分类师：既然实数集是复数集的真子集，那么复数 z=a+bi 在什么条件下退化为实数呢？ （引出复数的分类）例 1 实数 m 分别取什么值时，复数 zm+1(m-1)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚 数？分析：因为 mR，所以 m+1，m-1 都是实数，由复数 zabi 是实、虚数、纯 虚数与零的条件可以确定实数 m 的值.总结：（1）前提是 m 为实数，否则必须化成 的形式（2） 实数与虚数组成了复数，那么这种形式，什么时候表示实数，什么时候表示虚数呢？练习 1.判断下列各数哪些是实数、虚数、纯虚数，并指出它们各自的实部和虚 部。4练习 2当 取何实数时，复数是：（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4） 零以上由学生板演。设计意图：通过例题及练习教学，达到及时巩固所学知识的目的，克服遗忘障 碍。（五）复数相等的充要条件问 1： 什么时候等于 0？（注意引导学生将 0 写成 0+0i 的形式，由 此得出两个复数相等的充要条件）问 2：如何根据第一问推导出两个复数 a+bi 与 c+di 相等的充要条件？总结：两个复数相等的充要条件：a,b,c,d 为实数， 例 2 已知 yi+3(x+yi)=12 其中，x,yR，求 x 与 y，分析：因为 x，yR，所以由两个复数相等的定义，可列出关于 x，y 的方程组， 解这个方程组，可求出 x ，y 的值总结：复数相等的充要条件可以把复数相等的问题转化为求方程组的解的问题， 是一种转化的思想。设计意图： 由简到繁的设计教学，符合学生认知规律。（六）课堂小结1、由于实际的需要，我们总结数的三次扩充过程的规律，运用类比的方法， 我们引进了新的数 i，并将实数集扩充到了复数集，认识到了复数的代数形式 z=a+bi，并讨论了复数的分类及复数相等的充要条件，并且利用相等的条件把复数 问题转化为方程组的解的问题 ，通过这堂课的学习你有哪些收获？2、那么，复数究竟是什么东西呢？能不能像实数一样在现实中找到它的影子 呢？别急，我们的探索脚步并不会停止下去，这是我们下次将要探索的内容。（七）课后作业1、习题 3.1 A 组第 1、2 题2、课后探究复数能不能比较大小，为什么？（可查资料）板书设计：3.1.1 数系的扩充与复数的概念一 虚数1 虚数单位2 虚数的表示形式二 复数1 概念：形如 2 性质：的数， 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部。5