Ch07 生产函数

Ch07 生产函数前面，我们分析了消费者的选择问题，并由此导出了向下倾斜的需求曲线。在Ch 6-8，我们将考察商品的生产与供给。这些活动是由厂商来完成的。厂商是通过协调，将要素投入转化为商品（产出）的组织。一、厂商理论的总体思路厂商的目的是寻求利润最大化，但是在这一过程中，它要面临两个约束：一是技术约束，二是市场约束。其中，p、v和w可能受到企业的产量q以及要素投入数量k和l的影响，这取决于产品市场和要数市场的结构。我们将技术约束表述为生产函数，它描述了要素投入与商品产出之间的实物关系。厂商的市场约束表现在两个方面：要素市场约束与产品市场的约束。前者是厂商在要素市场上竞争，以取得生产中所使用的要素（比如资本、劳动），后者是厂商在产品市场竞争，以将生产的东西（也叫“产出”）卖出去。下面，我们首先考察技术约束问题。然后，我们利用生产函数的概念来讨论厂商的生产成本。假定厂商的产出目标给定，分析它怎样以尽可能低的成本来生产这些产出（如何生产）。通过这一分析，我们可以得到厂商的成本函数。最后，我们在此基础上，研究厂商的供给决策，也就是研究厂商如何根据产品市场的状况，来决定生产多少产出，以实现其利润的最大化。二、生产函数：在技术上最有效率的投入与产出之间的对应关系。广义的技术：包括狭义的技术（如生产工艺等）、管理等。在这里，企业是一个“黑箱”。企业内部的复杂的生产组织过程被抽象掉了。三、仅一种生产要素可变1边际产量控制其它要素投入的数量保持不变，考察其中一种要素投入的数量改变对产量的影响。；2边际产量递减； 边际产量递减规律：（1）当可变要素极少时，由于专业分工和团队协作，边际报酬递增；（2）当可变要素的投入超过某一点之后，固定要素（比如工厂规模）的限制作用开始体现，当固定要素承载越来越多的可变要素时，产出的增加越来越少。“大跃进”时期罕见的“密植”，导致边际产量不仅递减，而且为负。二阶偏导数： ？3边际产量曲线和总产量曲线四、多种要素可变实际上，并非“所有”要素皆可变。比如企业家才能。无论工厂的规模怎么变，老总只能有一个。所以，严格地说，应该是“in the long run, there are more factors can be changed”。这是一个比较模糊的概念，有人反对（比如张五常）。但是，并不是说只要存在不可变得要素，就不能采用下面的分析方法，因为在一定的规模范围内，那些不变要素可能并不会产生约束影响。比如，我们用CEO的最长工作时间来表示其精力或能力（t=16），加入他有效管理1个单位的企业规模（可以理解为1个工厂）需要1个小时的时间，那么，只要企业规模（比如可以用k和l的数理来衡量）没有超过16个小时，企业规模的扩大就不会受到CEO精力或能力地约束。这种情况下，我们就可以忽略这种不变要素的影响，从而将其按所有要素皆可变化的情形来对待。1等产量曲线各要素之间可能互相替代：对于生产技术的两个假定：单调性：实际上是假设所有的生产要素都可以自由处置。但是，对于劳动这类要素此假设未必合适。 等产量曲线向右下方倾斜，而且离原点越远，所对应的产量越高。凸性：假设对于要素组合或生产技术可以任意分割和组合，分割组合以后的产量至少和分割前的一样高。 等产量曲线凸向原点。 2边际技术替代率（RTS or TRS，technical rate of substitution）和边际产量（1）RTS生产函数的一个重要特征是它以一种投入替代另一种投入的难易程度。例如，当产量保持不变的时候，以资本替代劳动是不是相对容易呢？。其中，的下标表示用l替代k。（2）RTS和边际产量对全微分，得，于是有（3）RTS递减凸性技术 等产量曲线凸向原点 RTS递减3替代弹性（elasticity of substitution）生产函数的一个重要特征是它以一种投入替代另一种投入的难易程度。例如，当产量保持不变的时候，以资本替代劳动是不是相对容易呢？两种要素之间的替代弹性是指在产出水平保持不变的情况下，由两种要素之间的边际技术替代率（RTS，或者MRTS）1% 的变化所导致的投入比例变化的百分比。替代弹性越大，则替代越容易进行；替代弹性为零则意味着无法进行替代。沿着同一条等产量线，我们假设技术替代率（RTS）将随着资本/劳动比率（k/l）的下降而下降。如果RTS不随着k/l的变化而变化，我们可以认为替代是容易的，因为两种投入的边际生产力比率不随投入组合的变化而变化。相反，如果RTS随k/l的变化而大幅度变化，我们认为替代是困难的，因为投入组合的一个较小变动将对投入的相对产出率具有较大的影响。 4规模报酬（1）定义：对于，：规模报酬不变：；简单复制。规模报酬递增：；更好的分工协作。规模报酬递减：；有隐性的固定要素。（2）欧拉定理规模报酬不变的一次齐次生产函数具有很多便利的特点。设生产函数为一次齐次生产函数，则可以写成紧凑形式（intensive form）欧拉定理： 一般形式的欧拉定理：对于k次其次的函数，根据，其中，对t求偏导数得到令，得到 五、几种常用的生产函数1线性生产（完全替代）函数两种投入要素可以互相替代且技术替代率保持固定。表示等产量线的生产函数等产量线是向右下方倾斜的直线，2列昂惕夫（完全互补）生产函数在这种技术中，两种要素不可互相替代，而且保持一定的互补比例。（用铁锹挖洞）表示等产量线的生产函数等产量线是“L”形的曲线。3柯布-道格拉斯（C-D）生产函数由具有可变技术系数的柯布-道格拉斯生产函数来描述。在这种技术中两种投入要素不仅可以互相替代，而且替代比率不断发生变化。C-D生产函数，与效用函数不同，生产函数与不能作单调变换。其原因是效用函数表示偏好，而偏好是一种序数关系，效用的数值没有实际意义；而生产技术是一种基数关系，产量的数值具有严格的意义。4不变替代弹性生产函数（CES生产函数），这一生产函数的替代弹性为常数，而且根据值的不同其可以转化为线性、柯布道格拉斯和列昂惕夫生产函数。对于CES来说，由于 取对数可以得到： 运用对数微分定义：CES生产函数包含了三种技术（当取不同值时）：当=1时，趋于完全具有替代弹性，因此是线性生产函数：当时，趋于完全无替代弹性，因此是列昂惕夫生产函数： 证明：case1 。型。取对数得如果，则，；如果，则，因此，。当时，具有单位替代弹性，因此是柯布道格拉斯生产函数： 证明：型。取对数得。六、技术进步干中学（Learning by doing）、R&D、模仿等皆可导致技术进步。如果将生产函数表示为，且，则该技术呈现出随时间递增的特征。 阅读文献：Bartelsman Eric J and Doms Mark, (2000), “Understanding productivity: lessons from longitudinal microdata”, Journal of Economic literature, 569-594小艾尔弗雷德钱德勒，规模与范围：工业资本主义的原动力，第2章，华夏出版社，2006 或者：企业规模经济与范围经济：工业资本主义的原动力，中国社会科学出版社，1999年6