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2012年陕西省普通高等教育专升本招生考试（样题） 2012年陕西省普通高等教育专升本招生考试（样题）高等数学注意事项：全卷共10页，满分150分。考试时间150分钟。其中试题3页，用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上，答在试卷上的答案无效。一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选好的答案填在答题纸上题号所在的位置上。1. 是函数的 【 B 】A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 振荡间断点 D. 连续点2设函数, 则有 【 D 】A. 极大值 B. 极大值 C. 极小值 D. 极小值3. 设函数的导函数为, 则有一个原函数为 【 A 】A. B. C. D. 4. 不定积分 【 A 】A. B. C. D. 5. 无穷级数 【 B 】A. 当时, 为条件收敛 B. 当时, 为绝对收敛 C. 当时, 为绝对收敛 D. 当时, 为发散的二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题纸上题号所在的位置。6. 设函数, 则. 7. 极限.8. 已知，当时, 与是等价无穷小, 则常数.9. .10. 微分方程的通解为.三、计算题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分. 计算题要有计算过程.11求极限.解：12设参数方程确定了函数，求.解：因为 (4分)所以 (8分)13. 求函数的单调区间和极值.解： (3分)当时，; 当时，;当时, . 所以的单调增区间为;单调减区间为; (6分)在处取得极大值, 在处取得极小值 (8分) 14. 求不定积分.解： (2分) (6分) (8分)15. 设函数, 其中具有二阶连续偏导数, 二阶可导, 求和.解： (4分) (8分)16. 求空间曲线在点处的切线方程和法平面方程.解：曲线方程，对应点为 (2分)因为 ；所以 ； (4分)所求切线方程为 (6分)法平面方程为 即 (8分)17. 计算二重积分, 其中积分区域.解：法一 (4分) (8分)法二： 18. 计算对坐标的曲线积分, 其中是四个顶点分别为, , 和的正方形区域的正向边界.解：设，所围区域为，且：，由格林公式，得 (4分) (6分) (8分)19. 将函数展开为麦克劳林级数.解： (2分) (6分) (8分)20. 求微分方程的通解.解：原微分方程所对应齐次方程为，它的特征方程为特征根为 ，.于是所给方程对应的齐次方程的通解为 (3分)设非齐次方程的特解为 (5分)代入方程，得 解得 ，所求特解为 (6分)从而所求非齐次方程的通解为 (8分)四、证明题和应用题：本大题共2个小题, 每小题10分, 共20分。计算题要有计算过程, 证明题要有证明过程。21. 设函数在上的连续函数, 且 ,求证: ; 方程在内仅有一个实根.证明: (5分) 因为在上是单调增加函数, 所以方程在内最多只有一个根. 又 , (8分)根据零点定理, 方程在内至少有一个根. 综合以上可知, 方程在内仅有一个实根. (10分)22. 求抛物线及其在点和处的切线所围成的图形的面积.解：因为 (2分)所以曲线在处切线方程为 即 曲线在处切线方程为 即 (5分)因为两切线交点为 (6分)所以，所求面积为 (8分) (10分)6步步高专升本辅导班专用资料 翻印必究
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