专题三,乘法公式和因式分解的公式法

一。乘法公式(1）平方差公式(完整)专题三,乘法公式和因式分解的公式法乘法公式和因式分解的公式法( a +b )( a -b ) =a 2 -b 2 ；（2）完全平方公式( a b )2=a22 ab +b 2 （3）立方和公式 （4）立方差公式( a +b )( a ( a -b )( a22-ab +b+ab +b22) =a) =a33+b-b33；（5）三数和平方公式( a +b +c ) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2(ab +bc +ac ) ；(6）两数和立方公式( a +b )3=a3+3a2b +3ab2+b 3 ；(7)两数差立方公式( a -b )3=a3-3a2b +3ab2-b3二因式分解的公式法（1）平方差公式a2-b2( a +b )( a -b) ；（2)完全平方公式 （3）立方和公式a 2 2 ab +b 2( a b ) 2 a 3 +b 3( a +b )( a2 -ab +b 2 ) ；(4）立方差公式a3-b3( a -b )( a2+ab +b 2 ) ；（5）三数和平方公式a2+b2+c2+2( ab +bc +ac )( a +b +c )2；（6）两数和立方公式 （7）两数差立方公式三典型例题a 3 +3a2 b +3ab 2 +b 3( a +b ) 3 ; a 3 -3a2 b +3ab 2 -b 3( a -b ) 3 例 1计算： ( x +1)(x -1)(x2-x +1)(x2+x +1) 例 2 已知 a +b +c =4 ， ab +bc +ac =4 ,求 a 2 +b 2 +c 2 的值练 习1填空：1 1 1 1 （1） a 2 - b2 =( b + a )9 4 2 3( ）;(2） (4 m + ) 2 =16m2 +4 m +() ；（3） ( a +2b -c )2=a2+4b2+c2+() 2选择题：（1)若 x21+ mx +k2是一个完全平方式，则 k 等于 （ ）(A） m21 1 1 （B） m 2 (C） m 2 （D) m4 3 162（2）不论 a， b 为何实数， a2+b2-2 a -4b +8 的值（ ）例 3（A）总是正数 (B）总是负数（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 分解因式:(完整)专题三,乘法公式和因式分解的公式法（1) a5b -ab ; (2) a4( m +n ) -b4( m +n ) 。例 4 分解因式:(1) 8 +x3（2) 0.125 -27b3例 5 分解因式：（1) 3a3b -81b4（2) a7-ab6例 6。 若 x 3 +y 3 =27 ，x 2 -xy +y 2 =9 ，求 x 2 +y 2 的值。例 7. 已知： w2 +w+1=0 ,求 w2001的值。四练习题1、代数式 x481，x29，x26x9 的公因式为（ ）A、x+3 B、（x+3）2 C、x3 D、x2+92、若 9x2mxy16y2是一个完全平方式，则 m=（ ）A、12 B、24 C、12 D、241 13、若 x 2 +ax -b 分解成 - ( x -4)( x +7) ，则 a、b 的值为（ ）2 23 3A、3 或 28 B、3 和28 C、 和 14 D、 和142 24、下列变形是因式分解的是（ )A、x2+x1=（x+1)（x1)+x, B、（3a2b2）2=9a46a2b2b41C、x41=（x2+1）(x+1）（x1）, D、3x2+3x=3x2（1+ )x5、若 81k x4=（9+ 4x2）（3+2x)（32x）,则 k 的值为（ ）A、1 B、4 C、8 D、166、下列多项式不能用完全平方公式分解的是( ）1 2A、 a2+ abb2 B、a26a36 C、4x2+12xy9y2 D、x2+x 9 37、在有理数范围内把 y9y 分解因式,设结果中因式的个数为 n，则 n=（ ）， A、3， B、4 C、5 D、68、下列多项式不含因式 a+b 的是( ）A、a22abb2 B、a2b2 C、a2+b2 D、（a+b）49、下列分解因式错误的是（ ）A、4x212xy+9y2=(2x+3y)2,B、3x2y+6xy2+3y3=3y（x2+2xy+y2）=3y（x+y）2C、5x2125y4=5（xy2）(x+y2） D、81x2+y2=（9xy）(9x+y)10、下列分解因式正确的是( )A、(x3）2y2=x26x+9y2， B、a29b2=（a+9b)（a9b）C、4x61=（2x3+1）（2x31）, D、2xyx2y2=（xy）214 (完整)专题三,乘法公式和因式分解的公式法11：分解因式： ( m +n)2-4( m -n )2； ( m -n )2-12( m -n ) +36 42 xy -49 x 2 -19y2 24 a 2 b 2 -6( a 2 +b 2 ) 212。分解因式： ( m -2 n )2-6(2 n -m)( m +n ) +9( m +n )2. a4-8a2b2+16b4; ( m 2 +2 m) 2 +2( m 2 +2 m) +1. a 4 -14 a 2 b3 +49b6 9(2 a -b )2-6(2 a -b ) +11 113.已知 a +b =2 ，求 a 2 +ab + b 2 的值。2 214.已知 x -y =1 ， xy =2 ，求 x 3 y -2 x 2 y 2 +xy 3 的值.15。 已知 x 和 y 满足方程组3x +2 y =4 6 x -4 y =3，求代数式 9x2-4 y 2 的值。16.分解因式：（1) a 3 +1； （2） 4 x4-13 x 2 +9 ； （3)8a3b3；17因式分解下列各式:(1） x3-1（2)a3 +8b3（3）x6-y618把下列各式分解因式：（1） a 3 +27（2) 8 -m3（3） -27 x3 +8（4) -1 1p3 - q8 643（5) 8x3y3-1125(6）1 1 x3 y 3 + c216 273(完整)专题三,乘法公式和因式分解的公式法19把下列各式分解因式: （1） xy 3 +x 4(2） xn +3 -x n y3(3） a2( m +n )3-a2b3(4) y2( x2-2 x)3+y21公式法常用的乘法公式： 1 平方差公式：;2 和完全平方公式： ；3 差完全平方公式： ；4 ( a +b +c )2=;5 a3+b3=（立方和公式)；6 a3-b3=(立方差公式）。由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因 式分解2分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式 ,主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项 式，如 ma +mb +na +nb 既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此,可以先将多项式分组处理这种利 用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组常见题型：（1)分组后能提取公因式； (2)分组后能直接运用公式3十字相乘法（1) x2+( p +q ) x +pq 型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：二次项系数是 1;常数项是两个数之积； 一次项系 数是常数项的两个因数之和 x 2 +( p +q ) x +pq =x 2 +px +qx +pq =x( x +p) +q ( x +p) =( x +p)( x +q ) , x 2 +( p +q ) x +pq =( x +p)( x +q )a ca c1 1a c2 2(完整)专题三,乘法公式和因式分解的公式法运用这个公式,可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式(2）一般二次三项式 ax 2 +bx +c 型的因式分解由 a a x1 22+( a c +a c ) x +c c =( a x +c )(a x +c ) 我们发现，二次项系数 a 分解成 a a ，常数项 c 分解成 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2c c ，把 a , a , c , c 写成 ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 a c +a c ，如果它正好等于 ax 2 +bx +c 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1的一次项系数 b ，那么 ax 2 +bx +c 就可以分解成 ( a x +c )( a x +c ) ，其中 a , c 位于上一行， a , c 位于下一1 1 2 2 1 1 2 2行这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项 式能否用十字相乘法分解4其它因式分解的方法还有： （1）配方法； (2）拆、添项法【习题演练】例 1（提取公因式法及公式法）分解因式：（1) 3a3b -81b4 ； （2） a 7 -ab 6例 2分解因式：（1） ab( c 2 -d 2 ) -( a 2 -b 2 ) cd（2） 2 x2 +4 xy +2 y 2 -8 z 2例 3把下列各式因式分解：（1) x2+5 x -24 ； (2) x2-2 x -15 ；(3） x2+xy -6 y2(4） ( x2+x )2-8( x2+x ) +12例 4把下列各式因式分解：（1） 12 x2-5 x -2 ; （2) 5 x2+6 xy -8 y 2 。例 5 分解因式 x3-3 x2+4【巩固练习】1把下列各式分解因式：（1） ab ( c 2 -d 2 ) +cd ( a 2 -b 2 ) ； （2） x 2 -4 mx +8mn -4 n2 ;(完整)专题三,乘法公式和因式分解的公式法（3） x 4 +64 ； (4) x 3 -11x 2 +31x -21 ；（5) x3 -4 xy 2 -2 x 2 y +8 y3 .2已知 a +b =23, ab =2 ,求代数式 a 2 b +2 a 2 b 2 +ab 2 的值3现给出三个多项式,1 1 1 x 2 +x -1 ， x 2 +3 x +1 , x2 2 22-x ，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解。4已知 a +b +c =0 ，求证： a3+a2c +b2c -abc +b3=0