二项式定理知识点总结

_1)(叶尸+ 1)crPr旳r!r! (w r)!C：、二项式定理:a bn c0an C；an 1bCnkanC：bn( n N )等号右边的多项式叫做 a b n的二项展开式,其中各项的系数Cnk (k 0,1,2,3n)叫做二项式系数。对二项式定理的理解:(1)二项展开式有n 1项(2)项加(3)的解决带来方便。在定理中假设 a 1, b x，则1n0 n 1X CnXCnXk n kCnXC：xn (n N )(4)要注意二项式定理的双向功能:方面可将二项式a b n展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式字母a按降幕排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幕排列，从第一项开始，次数由 0逐1到n 二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立，通过对 a, b取不同的特殊值，可为某些问题合并成二项式 a b、二项展开式的通项:n kTk 1 Cn a b vn二项展开式的通项Tk 1 Cna b (k 0,1,2,3 n)是二项展开式的第k 1项，它体现了二项展开式的项数、 系数、 次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项(如含指定幕的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有广泛应用对通项 Tk 1 C：an kbk (k 0,1,2,3 n)的理解：(1) 字母b的次数和组合数的上标相同(2) a与b的次数之和为n(3)在通项公式中共含有 a,b, n,k,Tki这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素例 1. Cn 3C； 9Cn3A. 4n Bo 3 4n3n 1c；等于(),n n,441Co1D.-33例2. (1 )求(12x)7的展开式的第四项的系数1 93(2)求(x -)9的展开式中X3的系数及二项式系数*X(1)求多项式(可 a2an)n的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。三、二项展开式系数的性质: 对 称性：在二 项展开式中，与首末两端“等距离”的两项 的二项 式系数 相等，即C0CnX1Cnn1,C2cn2CnC；1 增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。n如果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：Cn max Cf ；n 1n 1如果二项式的幕指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即C max Cn2Cn2 二项展开式的各项二项数的和等于2n，令a 1, b 1即C0 CnC： (1 1)n 2n ；奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令a 1 , b 1即C Cc；C；2n1例题：写出(x y)11的展开式中：(1) 二项式系数最大的项；(2) 项的系数绝对值最大的项；(3) 项的系数最大的项和系数最小的项;(4) 二项式系数的和；(5) 各项系数的和四、多项式的展开式及展开式中的特定项1例题：求多项式（X22）3的展开式x（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。例题：求（1 x）2 （1 x）5的展开式中X3的系数例题：（1）如果在24 x的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。(2) 求31 2 的展开式的常数项。xl【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定727例题：已知（1 2x）a0 a1x a2x L a7x，求。(3) | ao | | a1 | L | a71 .（1）a1 a2 L a7 ；（ 2） a1 a3 a5 a7 ；六、二项式定理的应用：1、二项式定理还应用与以下几方面：（1）进行近似计算（2）证明某些整除性问题或求余数（3）证明有关的等式和不等式。如证明：2n 2n n2、各种问题的常用处理方法（1）近似计算的处理方法当n不是很大，| x|比较小时可以用展开式的前几项求例题：（1.05）的计算结果精确到 0.01的近似值是A. 1.23B. 1.24C. 1.333,n N 取 2n 1,n1的展开式中的四项即可。(1x）n的近似值。( )D. 1.34（2）整除性问题或求余数的处理方法 解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式 用二项式定理处理整除问题，通常把幕的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式，再利用二项式定理展开,这里的k通常为 1若k为其他数，则需对幕的底数 k再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项） 一、二项就可以了bq r，其中b为除数，r为 要注意余数 的范围，对给定的整数a,b（b 0），有确定的一对整数 q和r，满足a余数，r 0, b，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数例题：求201363除以7所得的余数例题：若n为奇数，则7n C：7n1 C：7n2C： 17被9除得的余数是（）A. 0 Bo 2Co 7D.81例题：当n N且n1,求证2（1丄）n 3n【思维点拨】 这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定综合测试、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求2.A.3 10的展开式中,x6的系数为27C：0B.27C；0C.9C0D.9C；0已知a b0,b4a,a b n的展开式按a的降幕排列,其中第n项与第n+1项相等，那么正整数 n等于A. 4B.C.10D.113 .已知（.a的展开式的第三项与第二项的系数的比为11 : 2,贝U n 是()A. 10B. 11C. 12D. 134. 5310被8除的余数是A. 1B. 2C. 3D. 75.(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是A. 1.23B. 1.24C. 1.33D. 1.34、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果6 .二项式A. 1B. 2C. 3D. 4n2JX 厶 (n N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是 vx11则展开式的x2项的系数是7 .设(3x32、n+x )展开式的各项系数之和为t，其1二项式系数之和为h,若 t+h=2 72,()A.12B. 1C.2D. 38.在(12x x)6的展开式中x5的系数为( )A. 4B. 5C.6D. 79.(証 ?)n展开式中所有奇数项系数之和等于1024,则所有项的系数中最大的值是( )A. 40B. 10C. 40D. 4511 .二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为乙且系数最大的一项的值为5，则x在0 , 2n 内的值为2A. 或一63B.或6 6C.或33( )A. 330B. 462C. 680D. 79010. (.X 1)4(x51)的展开式中，4x的系数为()12 .在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中，含x4项的系数是等差数列an=3n 5的A.第2项B.第11项C.第20项D.第24项13. （x2 ）9展开式中X9的系数是 .2x14 若 2x . 3 ao aixa4X4，则 ao a2ai a2 的值为32 n15 若（x X ）的展开式中只有第 6项的系数最大，则展开式中的常数项是16 .对于二项式（1-x） 1999，有下列四个命题:展开式中000 = C19991000999x 展开式中非常数项的系数和是1; 展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项； 当x=2000时，（1-x） 1999除以2000的余数是1.其中正确命题的序号是.（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分 74分.17 . （12分）若（対； 走）n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.vx（1）求n的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？1 18 . （12分）已知（丄2x）n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项式系数最大的项的系数.419.（12分）是否存在等差数列an，使a1C0a2cna3c2an1cnn2n对任意nN*都成立？若存在,求出数列an的通项公式；若不存在，请说明理由.20 . （12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增加率为 1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到 1亩）？21. （12分）设f（x）=（1+x）m+（1+x）n（m、n N ）,若其展开式中，关于x的一次项系数为11,试问：m、n取何值时,f（x）的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值22 . （14分）规定C：x（1m，其中xR,m是正整数，且C；1，这是组合数（n、m是正m!整数，且m 0，当x为何值时，（C：）2取得最小值?(3) 组合数的两个性质;cmn mcn cnm cnm1mcn 1是否都能推广到 cm (x R, m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能, 则说明理由