资源描述
直线与圆的方程一、直线的方程 1、倾斜角：La，围 0 a p，若l / x轴或与x轴重合时，a=00。2、斜率： k=tanaa与k的关系：a=0k=0已知 L 上两点 P （x ,y ） 0 a1 1 1p2 k 0P （x ,y ）2 2 2a=p2k不存在k=y -y p2 1x -x 22 12 p k0当 x = x 时， a=900， k不存在。当 1 2k0 时， a=arctank， k0 时， a= p+arctank3、截距（略）曲线过原点 横纵截距都为 0。 4、直线方程的几种形式已知方程说明几种特殊位置的直线斜截式K、bY=kx+b不含 y 轴和行平 x 轴：y=0于 y 轴的直线点斜式两点式截距式P =(x ,y )1 1 1kP (x ,y )1 1 1P x ,y2( 2 2)a、by-y =k(x-x )1 1y -y x -x 1 = 1y -y x -x 2 1 2 1x y+ =1a b不含 y 轴和平行 y 轴：x=0 于 y 轴的直线不 含 坐 标 辆 和 平行于 x 轴：y=b 平 行 于 坐 标 轴的直线不含坐标轴、平 平行于 y 轴：x=a 行 于 坐 标 轴 和 过原点：y=kx过原点的直线一般式 Ax+by+c=0 A、B 不同时为 0两个重要结论：平面任何一条直线的方程都是关于 x、y 的二元一次方程。 任何一个关于 x、y 的二元一次方程都表示一条直线。5、直线系：（1）共点直线系方程：p （x ,y ）为定值，k 为参数 y-y =k（x-x ）0 0 0 0 0特别：y=kx+b，表示过（0、b）的直线系（不含 y 轴）（2）平行直线系：y=kx+b，k 为定值，b 为参数。AX+BY+入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系BX-AY+入=0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系（3）过 L ,L 交点的直线系 A x+B y+C +入（A X+B Y+C ）=0（不含 L2）1 2 1 1 1 2 2 26、三点共线的判定：AB +BC =AC，K =K ，AB BC写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。二、两直线的位置关系.1 20 1、平行重合L ：y=k x+b1 1 1L ：y=k x+b2 2 2 K =k 且 b b1 2 1 2K =k 且 b =b 1 2 1 2L ：A X+B Y+C =0 1 1 1 1L ：A X+B Y+C =0 2 2 2 2A B C 1 = 1 1A B C2 2 2A B C 1 = 1 = 1A B C2 2 2L 与 L 组成的方程组 1 2无解有无数多解相交K k12A B1 1A B2 2有唯一解垂直K1k2=-1A A +B B =0 1 2 1 2（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑）k -k2、L 到 L 的角为 0，则 tan q = 2 11 +k k 2 1k -kq3、夹角： tan= 2 11 +k k2 1（k k -1 1 2）4、点到直线距离： d =Ax +By +c0 0A 2 +B 2（已知点（p (x ,y )，L：AX+BY+C=0）0 0 0两行平线间距离：L =AX+BY+C =0 L ：AX+BY+C =01 1 2 2d =c -c1 2A +B22与 AX+BY+C=0 平行且距离为 d 的直线方程为 Ax+By+C d A 2 +B 2 = 与 AX+BY+C =0 和 AX+BY+C =0 平行且距离相等的直线方程是1 20AX +BY +C +C122=05、对称：（1）点关于点对称：p(x ,y )关于 M（x ,y ）的对称 P (2X -X1 1 0 01,2Y -Y0 1)（2）点关于线的对称：设 p(a、b)对称轴对称点p对称轴对称点pX 轴Y=-xp(a、-b) p (-b、-a)Y 轴y=xp (-a、b)p (b、a)X=m(m0)y=n(n0)p (2m -a、b )p (a、2n-b ).( )2 一般方法：程如图：(思路 1)设 P 点关于 L 的对称点为 P (x ,y ) 则 Kpp K =10 0 0 0 LP, P 中点满足 L 方 0解出 P (x ,y )0 0 0（思路 2）写出过 PL 的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P (x ,y )的坐标。 0 0 0PyLPx0（3）直线关于点对称L：AX+BY+C=0 关于点 P（X 、Y ）的对称直线0 0（4）直线关于直线对称l：A（2X -X）+B（2Y -Y）+C=00 0几种特殊位置的对称：已知曲线 f(x、y)=0关于 x 轴对称曲线是 f(x、-y)=0 关于 y=x 对称曲线是 f(y、x)=0关于 y 轴对称曲线是 f(-x、y)=0 关于 y= -x 对称曲线是 f(-y、-x)=0关于原点对称曲线是 f(-x、-y)=0 关于 x=a 对称曲线是 f(2a-x、y)=0关于 y=b 对称曲线是 f(x、2b-y)=0一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。三、简单的线性规划L Y不等式表示的区域O XAX+BY+C=0约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划，可行解，最优解。 要点：作图必须准确（建议稍画大一点）。线性约束条件必须考虑完整。先找可行域再找最优解。四、圆的方程1、圆的方程：标准方程 x -a+( y -b ) =r2，c（a、b）为圆心，r 为半径。一般方程： x 2 +y 2 +DX +EY +F =0，C D E - ,- ， 2 2 r =D 2 +E 2 -4 F2当 D2+E2-4F =0时，表示一个点。.当 D 2 +E 2 -4 F 0时，不表示任何图形。参数方程：qx =a +r cosy =b +r sin q q为参数以 A（X ，Y ），B（X ，Y ）为直径的两端点的圆的方程是1 1 2 2（X-X ）（X-X ）+（Y-Y ）（Y-Y ）=01 2 1 22、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离 d，然后与 r 比较大小。3、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离判定：联立方程组，消去一个未知量，得到一个一元二次方程 0 相交 0 相切、0 相离利用圆心 c(a、b)到直线 AX+BY+C=0 的距离 d 来确定：dr 相交、dr 相切 dr 相离（直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的 ）4、圆的切线：（1）过圆上一点的切线方程与圆 x2 +y 2 =r 2相切于点（x 、y ）的切线方程是1 1x x +y y =r 1 12与圆 ( x -a ) 2 +( y -b ) 2 =r 2相切于点（x 、y ）的切成方程1 1为： ( x -a )( x -a ) +( y -b )( y -b ) =r 1 12与圆 x2 +y 2+DX +EY +F =0相切于点（x 、y ）的切线是1 1x x +y y +D ( 1 1x +x y +y 1 ) +E ( 12 2) +F =0（ 2 ） 过 圆 外 一 点 切 线 方 程 的 求 法 ： 已 知 ： p (x ， y ) 是 圆0 0 0( x -a )2+( y -b )2=r2外一点( x -a ) 12+( y -b )12=r2设切点是 p (x 、y )解方程组1 1 1( x -a )( x -a ) +( y -b )( y -b ) 0 1 0 12=r2先求出 p 的坐标，再写切线的方程 1设切线是 y -y =k ( x -x00)即kx -y -kx +y =00 0再由ka -b -kx +y0k 2 +10=r，求出 k，再写出方程。（当 k 值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于 x 轴的切线）已知斜率的切线方程：设 5、圆与圆的位置关系y =kx +b（b 待定），利用圆心到 L 距离为 r，确定 b。.由圆心距进行判断、相交、相离（外离、含）、相切（外切、切） 6、圆系同心圆系： ( x -a )2 +( y -b ) 2 =r 2，（a、b 为常数，r 为参数）或： x 2 +y 2 +DX +EY +F =0（D、E 为常数，F 为参数）圆心在 x 轴： ( x -a )2 +y 2 =r 2圆心在 y 轴： x2 +( y -b ) 2 =r 2过原点的圆系方程 ( x -a ) 2 +( y -b ) 2 =a 2 +b 2过两圆 C 1: x2 +y 2+D X +E Y +F = 1 1 10和C : x22+y2+D X +E Y +F =02 2 2的交点的圆系方程为x 2 +y 2 +D X +E Y +F +入 ( x 2 +y 2 +D X +E Y +F =01 1 1 2 2 2入为参数（不含 C ），其中2若 C 与 C 相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。 1 2类型一：圆的方程例 1 求过两点A(1 , 4) 、B (3 , 2)且圆心在直线 y =0 上的圆的标准方程并判断点P (2 , 4)与圆的关系例 2 求半径为 4，与圆 x2 +y 2-4 x -2 y -4 =0相切，且和直线 y =0 相切的圆的方程例 3 求经过点A(0 , 5)，且与直线x -2 y =0和2 x +y =0都相切的圆的方程例 4、 设圆满足：(1)截 y 轴所得弦长为 2；(2)被 x 轴分成两段弧，其弧长的比为 3 :1 ，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线l：x -2 y =0的距离最小的圆的方程类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程.例 5 已知圆 O ： x2 +y 2=4，求过点P (2，4)与圆O相切的切线例 6 两圆 C ： x 2 +y 2 +D x +E y +F =0 与 C ： x 2 +y 2 +D x +E y +F =01 1 1 1 2 2 2 2相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程例 7、过圆 x2 +y 2=1外一点M (2,3)，作这个圆的两条切线 MA 、 MB ，切点分别是 A 、B，求直线AB的方程。例 8、求直线l : 3 x -y -6 =0 被圆 C : x 2 +y 2 -2 x -4 y =0截得的弦AB的长.例 9、直线3 x +y -2 3 =0截圆 x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为例 10、求两圆 x2+y2-x +y -2=0和x2 +y 2=5的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例 11、已知直线3 x +y -2 3 =0和圆 x2+y2=4，判断此直线与已知圆的位置关系.例 12、若直线y =x +m与曲线 y =4 -x2有且只有一个公共点，数m的取值围.例 13 圆 ( x -3) 2 +( y -3) 2 =9上到直线3x +4 y -11 =0的距离为 1 的点有几个？.( )例 14、判断圆 C1: x2 +y 2 +2 x -6 y -26 =0 与圆 C : x 2 +y 22-4 x +2 y +4 =0的位置关系，例 15：圆 x 2 +y 2 -2 x =0和圆x 2 +y 2 +4 y =0的公切线共有条。类型六：圆中的对称问题例 16、圆 x 2 +y 2 -2 x -6 y +9 =0关于直线2 x +y +5 =0对称的圆的方程是例 17自点A -3，3 发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线y所在的直线与圆 C：x2 +y 2-4 x -4 y +7=0相切（1）求光线 （2）光线自l 和反射光线所在的直线方程 A 到切点所经过的路程MA CNG O BxA类型七：圆中的最值问题图例 18：圆 x2+y2-4 x -4 y -10=0上的点到直线x +y -14 =0的最大距离与最小距离的差是例 19 (1)已知圆 O ：(x -3) 21+( y -4) 2=1，P ( x , y) 为圆 O 上的动点，求d =x2 +y 2的最大、最小值.2 (2)已知圆 O ：(x +2) 22+y2=1，P ( x , y)为圆上任一点求y -2x -1的最大、最小值，求x -2 y的最大、最小值例 20：已知A( -2,0)，B (2,0)，点 P 在圆 ( x -3) 2 +( y -4) 2 =4上运动，则PA + PB的最小值是.类型八：轨迹问题例 21、基础训练：已知点M与两个定点O (0,0)，A(3,0)1的距离的比为 ，求点 2M的轨迹方程.例 22、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是（4，3），端点 A 在圆 ( x +1) 2 +y 2 =4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.例 23 如图所示，已知圆 O： x 2 +y 2 =4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y =2上运动，过 B 做圆 O 的切线，切点为 C ，求 DABC 垂心 H 的轨迹类型九：圆的综合应用.例 24、 已知圆 x2 +y 2+x -6 y +m =0与直线x +2 y -3 =0 相交于 P 、 Q 两点， O 为原点，且 OP OQ ，数 m 的值例 25、已知对于圆 x2 +( y -1) 2=1上任一点P ( x , y)，不等式x +y +m 0恒成立，数m的取值围例 26 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地的运费的 3 倍已知A、B两地距离为 10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线、曲线外的居民应如何选择购货地点.
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