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正交变换是一类特殊的线性变换，具有保向量长度正交变换是一类特殊的线性变换，具有保向量长度不变、几何外形不变的性质，在几何空间中被广泛运用。不变、几何外形不变的性质，在几何空间中被广泛运用。那么称那么称C C为正交矩阵。为正交矩阵。正交矩阵的性质：正交矩阵的性质：一、正交矩阵及性质一、正交矩阵及性质,TTCCC CI 正交矩阵：设矩阵正交矩阵：设矩阵C C为为n n阶方阵，假设满足阶方阵，假设满足 假设矩阵C为n阶正交矩阵，那么C*也是正交矩阵.假设矩阵假设矩阵C为为n阶正交矩阵，那么阶正交矩阵，那么|C|=1；假设矩阵假设矩阵C为为n阶正交矩阵，阶正交矩阵，那么那么C可逆，其逆可逆，其逆C-1=CT C是正交矩阵的充要条件是是正交矩阵的充要条件是C的列行向量组的列行向量组是规范正交向量组是规范正交向量组Page105,ch3-例例27 12,nC CCL也是正交矩阵；也是正交矩阵；11221212,XCY XCYXXY Y 时，假设假设A、B为正交矩阵，那么它们的乘积矩阵为正交矩阵，那么它们的乘积矩阵AB也是正交矩阵也是正交矩阵正交变换：设正交变换：设C为正交矩阵，为正交矩阵，X和和Y是欧氏空间是欧氏空间Rn中的中的n维向量，那么线性变换维向量，那么线性变换X=CY是是Rn上的正交变换上的正交变换等价：等价：线性变换线性变换X=CY为正交变换；为正交变换；在线性变换在线性变换X=CY下，向量的内积不变，即：下，向量的内积不变，即：线性变换线性变换X=CY把把Rn中的规范正交基变成规范正交基中的规范正交基变成规范正交基.(1)(2):(1,2),iiXCYi 12121212,TTTTXXXXCYCYYYC C 121212,TTYYY YEY Y (2)(3):12,n L 12,nCCC L 1,0,ijijijCCij 12,nCCC L由前面的定理可知，任一二次型均能经过一非退化的由前面的定理可知，任一二次型均能经过一非退化的线性变换将其化为规范形。线性变换将其化为规范形。问题：任一二次型能否经过正交变换将其化为规范形？问题：任一二次型能否经过正交变换将其化为规范形？(3)(1):12,n L 12,nCCC L 1122,nnBCCACCC LL三、用正交变换法化二次型为规范形三、用正交变换法化二次型为规范形注：正交变换不改动向量的内积，即不改动向量的长度，注：正交变换不改动向量的内积，即不改动向量的长度，从而也不改动曲线或曲面的外形。从而也不改动曲线或曲面的外形。112TnC ACCAC O成成立立.上述问题的等价描画：对于一实上述问题的等价描画：对于一实RnRn对称矩阵对称矩阵A,A,能否能否上式阐明用正交矩阵所得的矩阵合同即为矩阵的类似上式阐明用正交矩阵所得的矩阵合同即为矩阵的类似.列向量应该是列向量应该是A的的n个线性无关且规范正交的特征向量。个线性无关且规范正交的特征向量。实对称矩阵的性质：实对称矩阵的性质：定理：设定理：设A为为n阶实对称矩阵，那么有阶实对称矩阵，那么有(1)A的特征值全是实数；的特征值全是实数；找到一正交矩阵找到一正交矩阵C,C,使得使得故规范形应该由矩阵的特征值故规范形应该由矩阵的特征值决议，且正交矩阵决议，且正交矩阵C的的i(2)A的对应不同特征值的特征向量必正交的对应不同特征值的特征向量必正交.AXX ABA B g(1)(1)设设向量，那向量，那么么两边右乘两边右乘X,X,即即又因又因上述两式相减，上述两式相减，对上述等式先取转置，再取共轭，且有对上述等式先取转置，再取共轭，且有，故结论成立，故结论成立为实对称阵为实对称阵A A的特征值，的特征值，X X为对应为对应 的特征的特征故：故：,TTTTTX AXX AX ,TTX AXX X ,TTTX AXXXX X 0TX X 12,(2)(2)设设为实对称阵为实对称阵A A的两个不同特征值，的两个不同特征值，X1X1，X2X2为为对应对应12,的特征向量，那的特征向量，那么么 ,1,2iiiAXXi 又因又因 112121212122,TXXAXXXAXXAXXX 121212,0,0XXXX 故结论成立故结论成立.定理：对定理：对n n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A A，必存在正交矩阵，必存在正交矩阵C C，使，使112TnC ACCAC O成成立立.证明：利用数学归纳法证明：利用数学归纳法+规范正交向量组的性质规范正交向量组的性质详见课本详见课本179-180179-180证明过程。证明过程。注：实对称阵一定有注：实对称阵一定有n n个规范正交的特征向量。个规范正交的特征向量。上述定理的等价描画：上述定理的等价描画：定理主轴定理：实二次型定理主轴定理：实二次型TfX AX 必可由正交必可由正交变换变换XCY 化为规范形，即化为规范形，即2221122TnnfX AXyyy L12,n L其中，其中，为为A的特征值的特征值.基于上述结果，可归纳正交变换法化二次型为规范形基于上述结果，可归纳正交变换法化二次型为规范形的过程如下：的过程如下：用正交变换化二次型为规范形的详细步骤用正交变换化二次型为规范形的详细步骤;,.1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,.221nA 的的所所有有特特征征值值求求出出;,.321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,.4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,.52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 解解 1 1二次型的矩阵为二次型的矩阵为121314232434222222为标 fx xx xx xx xx xx x 化化准准形形.例例1 1、求一个正交变换、求一个正交变换X=PYX=PY，把二次型，把二次型0111101111011110A 1111111(1)111111 111111111111AE,的特征值：的特征值：求求由A2)EA0 0)1)(3()1()32()1(222 11110122102120001-+21111012021 得得A的特征值的特征值12,3,43,1 3当当时，特征向量为时，特征向量为3 11,1,1,1T 对其单位化对其单位化 111,1,1,12T 当当时，特征向量为时，特征向量为1 2341,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1TTT 4利用利用Schmidt正交化过程对上述向量正交化、单位化正交化过程对上述向量正交化、单位化 2341111,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1222TTT 故正交矩阵故正交矩阵 1234,TC 且满足且满足13111TC ACCAC 5作正交变换作正交变换X=CY,原二次型化为规范形原二次型化为规范形 222212341234,3fx xxxyyyy 例例2、假设二次型、假设二次型22123322fxx xax 可经过正交变换可经过正交变换X=CY化二次型为规范形化二次型为规范形2221232fybyy ,a b求参数求参数及所作的正交变换及所作的正交变换.2 0 00 0 10 1Aa 解：二次型的矩阵解：二次型的矩阵又因规范形为又因规范形为2221232,fybyy 故故A的特征值为的特征值为2,1b 利用性质：利用性质：2(1)()22(1)2btr AabA g g1,0ba 所以所以A的特征值为的特征值为2,1,1 123,两两相互正交，单位化得两两相互正交，单位化得令正交矩阵令正交矩阵C1001102211022C 2 当当 11,0,0T 20IA X 的根底解系的根底解系时，时，1 当当 20,1,1T 0IA X的根底解系的根底解系时，时，1 当当 30,1,1T 0IA X 的根底解系的根底解系时，时，11,0,0T 210,1,12T 310,1,12T 那么正交变换为那么正交变换为X=CY
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