变化的磁场和电场

变化的磁场和电场结构框图基本要求1. 掌握和熟练应用法拉第电磁感应定律。2. 理解动生电动势和感生电动势产生的机理，能进行基本计算。3. 理解自感和互感现象及规律，会进行简单情况下的自感和互感系数4. 理解磁能密度的概念，会计算对称场分布的磁场能量。5. 理解涡旋 （感生电场） 和位移电流的概念。6. 理解麦克斯韦方程的积分形式的物理意义。内容提要1. 法拉第电磁感应定律2. 动生电动势与感生电动势3. 自感和互感4. 磁场的能量5. 位移电流6. 麦克斯韦方程组学习重点1. 法拉第电磁感应定律及应用。2. 动生电动势与感生电动势产生的机制及其计算。3. 涡旋电场和位移电流。4. 磁场能量与能量密度。5. 麦克斯韦方程。难点辨析1.法拉第电磁感应定律中负号的意义任一回路L所围的面积有两个法向，计算穿过回路的通量时，应首先确定回路所围面积，通常人，代入为选定一个绕行正向，由此正向用右手螺旋法则确定回路的法线方向，并计算，若算得则占的指向与绕行正向相同，反之,的指向与绕行正向相反，如图10-1 所示。而这样得出的结论与楞次定律的要求是一致的。换句话说，法拉第电磁感应定律中的负号是楞 次定律的要求。SlO-la圈 L4Lb2.区分电动势、电压和电势差电动势是非静电力移动单位正电荷所做的功，与积分路径有关而静电场中的电势差与积分路径无关回路中两点间的电压FE pE紳其中，乜可以是，也可以是。显然，在静电场中电压与电势差是相同的，而在涡旋电场存在时，电压v 2是对特定的路径而言，且由于涡旋电场为非保守场，所以对不同的路径，两点间的电压 是不同的。由以上讨论可知，电动势、电压和电势差是三个不同的概念。3. 如何确定回路中电动势的指向?一种方法是由法拉第电磁感应定律，只要选定绕行正向，就能由算得的的符号，判定的指向。第二种方法，在一段运动导体中的动生电动势的指向，应是正电荷的受力方向，只要判定vxB的方 向，即可判定 的指向。第三种方法，在涡旋电场中，的指向就应是的指向。第四种方法，不论是动生电动势还是感生电动势，均可先计算的大小然后再由楞次定律判断的指向。4. 感应电动势只能存在于导体中吗?不一定。由电动势的定义和法拉第电磁感应定律均可推知，感应电动势的存在只取决于空间有无磁通量的变化或有无非静电性场强，而不取决于空间是否有导体存在，即在没有导体的空间，也会有感应电动 势存在。例1如图10-4所示，金属杆AOC以恒定速度M在均匀磁场$中垂直于磁场方向运动，已知门广* - T，求杆中的动生电动势。解： 金属棒在磁场中运动，切割磁感应线，产生的动生电动势为金属杆分成两段，可以分别计算产生的动生电动势。AO 段运动过程中不切割磁感应线，不产生动生电动势。OC 段中产生的动生电动势为其方向为由 O 指向 C。金属杆中的总动能电动势为其方向由 O 指向 C。例2求长度为L的金属杆在均匀磁场 目中绕平行于磁场方向的定轴转动时的动生电动势。 已知杆相对于均匀磁场 迟的方位角为H ,杆的角速度为由，转向如图10-5所示。解：如图10-6所示，在距O点为l处的山线元中的动生电动势为d=(yxB) div = ayl sm 3的方向沿着杆指向上端。例 3 如图 10-7(a) 所示，载有电流 I 的长直导线附近，放一导体半圆环 MeN 与长直导线共面，且端点 妙的连线与长直导线垂直。半圆环的半径为b环心O与导线相距a。设半圆环以速度卩 平行导线平 移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及两端的电压解：根据动生电动势为计算简单，可引入一条辅助线MN,构成闭合回路恥川加，如图10-7(b)所示，闭合回路总电动势2?r a-bE T负号表示 阿的方向与X轴相反。加二弊血今 方向氐 a-ba + b a-b例4有一金属棒AB,长为l,处于长直导线所产生的磁场中，长直导线中通有直流电流I,金属棒以V速度 在磁场中运动，当金属棒的位置及运动速度为如下两种情况时，求金属棒中产生的感应电动势的大 小和方向。(1)如图10-8(a)所示，金属棒与长直导线垂直，并处于同一平面内，金属棒A端距长直导线的距离为 a,金属棒平行于长直导线运动。(2)如图10-8(b)所示，金属棒与长直导线夹角为”，并处于同一平面内，金属棒A端距长直导线的n垂直距离为a,金属棒垂直于长直导线运动(运动过程中，保持角不变)。解：长直导线在其周围空间产生的磁场为非均匀磁场，金属棒在此非均匀磁场中运动，切割磁感应线 产生动生电动势，由于金属棒各处的磁感应强度的大小不同，方向相同，因而所产生的动生电动势的大小 不同，方向相同。当金属棒放置的位置及运动方向不同时，产生的动生电动势大小、方向也不同。(1)建立如图10-8(c)的坐标系，长直导线产生的磁场在金属棒所处区域垂直纸面向内，其大小为2岔A x在金属棒AB上取一线段元，方向与x轴方向一致，它在磁场中运动时产生的动生电动势为= (y xB) dxfl(4 TVR(v x 5)(4 -r-其中，应为线段元所在处的磁感应强度，由于与应垂直，且与* 方向相反,故有= -Bv dx= -*x整个金属棒上产生的动生电动势为动生电动势的方向与金属棒内的非静电场方向一致，即为E=(VX 的方向，从B指向A。计 算结果中的负号表明动生电动势的方向与X轴反向。此题也可用法拉第定律求解，如图i0-8(d)所示，设想存在一个矩形回路ABCEf , AB二=b , 当占后 以速度m运动时，穿过此回路的磁通量发生变化，设回路的正绕向为顺时针方向，则此回路的正 法向与$ 方向一致，穿过此回路的磁通量为当月棒运动时，b随时间变化，设一血， 发生变化，则有2tt a dZ 2?r a号与前面得到的结果一致。式中负号表明回路上的感应电动势与设定的正绕向相反，即方向为逆时针方向，所以出山棒中方向由B指向A。(2)在金属棒上取一线段元汕，如图10-8(e)所示，金属棒运动过程中，在汕中产生的动生电动势为= (v x dZ此时的方向与J Jn不一致，两者成角，则= vB d? cos 8 =&扣cm 8卫其中山月棒中的总感应电动势为_ r_A5 COS d X14启1 L+卅2tsx sin Q=丛胞应訂+皿盼诃2?ra + vt电动势的方向由决定，即从A指向B。例5如图10-9(a)所示，一长直导线中通有直流电流I,旁边有一与它共面的矩形线圈，长为l,宽为，线圈共有N匝，以速度v离开直导线。求线圈中的感应电动势的大小和方向。解：长直导线中通有直流电流，在其周围空间形成一稳恒的非均匀磁场，矩形线圈运动时，穿过线圈的磁通量发生变化，产生感应电动势。由法拉第定律计算。设t时刻线圈运动到图10-9(b)所示位置。线圈处于非均匀磁场中，距直导线垂直距离x远处的磁感B =应强度大小为其方向垂直纸面向内。由此磁场分布特点，在线圈中取如图10-9(b)所示的小面积元，距长直导线距离为x。线I-1 T圈正法向垂直纸面向内，与此相应的感生电流的方向为顺时针方向。由于足够小，可以近似认为该面积元内的必是均匀的，则该面积元的磁通量为t 时刻通过线圈中的总磁通量为线圈内的感应电动势为=-NUN a+vt (a + v)v - (Z? +v)v2?r b + vt(a +v/)2且曲遊(11、2?r+ 讥 b + vij因为a 也所滋 ，感应电动势为顺时针方向。图no例6如图 10-10 所示，一内外半径分别为的均匀带电平面圆环，电荷面密度为其中心有一半径为 r 的导体小环二者同心共面如图。设带电圆环以变角速度绕垂直于环面的中心轴旋转，导体小环中的感应电流 I 等于多少?方向如何（已知小环的电阻为应）?解：带电平面圆环的旋转相当于圆环中通有电流i,在尽与 耳之间取半径为应、宽度为*丘的环带，环带内有电流d在圆心O点处产生的磁场由于整个带电环面旋转，在中心产生的磁感应强度的大小为 = 3如由（& -尽）选逆时针为小环回路的正方向，则小环中迪0方向：当时，与选定的正方向相反。当时，与选定的正方向相同。例7 一均匀密绕的长直螺线管半径为，长为。单位长度匝数为n导线中通有电Z = Zn sin，试求:(1)螺线管内外涡旋电场 用疋的分布表达式?(2)套在螺线管外且与螺线管同轴、半径为2的一个细塑料环中的感生电动势。解：由题设条件L R，可把螺线管视为无限长，磁场限制在管内，且是均匀的。B =阳込 sin mt管内变化的磁场在其周围空间激发涡旋电场。由磁场的分布可知，涡旋电场的电场线是以轴线为中心的一系列同心圆。在管内绕轴线作半径为r的圆形环路（截面如图10-11所示）。设环路正向为顺时针方向。从螺管上电流分布的对称性可以断定，环上各点的涡旋电场圧1大小应相等，方向沿环路的切向。由上式有类似地，在管外做圆形环路，有（2） 细塑料环虽然没处于磁场中，但其所在区域存在涡旋电场，所以塑料环中产生感生电动势，由法拉第定律有= 一曲（= 一昭附同?3厶2?匚恥也可按感生电动势的定义计算乓=# E黑 dZ = J dZ = 2欣2应2=2诫空I込讨论 细塑料环中有无感生电流?塑料环中没有可以自由移动的电荷，所以不会产生感应电流。但感应电动势是存在的。如果换成金属环，环中就会产生感应电流。例 8 长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的矩边平行。矩形线圈的边长分别为 a 、 b ，它Z = Zn sin cot到直导线的距离为c,如图10-12所示。当矩形线圈中通有电流卩时，求直导线中的感应电动势。解：求感应电动势的一般方法是先计算通过回路的磁通量，然后将对时间求导，即得感应 电动势。但此题中，长直导线只能视为一无限大的闭合线圈的一部分，无法计算穿过它的磁通量，因而不 易用此法求解。我们换一种方法，先计算直导线与矩形线圈的互感系数，再计算互感电动势即为所求。先求长直导线和矩形线圈的互感系数。设长直导线中通有电流1,其周围磁场分布为2 JETH_右H严在线圈平面上距长直导线r处取面积元，由1激发的磁场穿过心用的磁通量为则穿过矩形线圈的磁通量为由互感系数的定义有，两者的互感系数耐二畧込士厶 2?r c7 = A sin ait当矩形线圈中通有电流时，长直导线中产生的感应电动势为与=_皿空=_如理In 土找沁 df2?ra例9如图10-13所示，有一弯成应角的金属框架OCD, 一导线ab(ab垂直于。)以恒定速度v在 金属框架上滑动，设v垂直于ab向右。已知磁场的方向垂直向外，分别求下列情况框架内的感应电动势 闫的变化规律(设=时= )。(1) 磁场均匀分布，且B不随时间改变。B - A;xcos(2) 非均匀的变化的磁场。解：(1)导线ab在均匀磁场中运动，产生的动生电动势即为框架中的感应电动势。设t时刻导线abab =1 =处于x位置。，则该时刻ab导线中产生的动生电动势大小为 = Svl = Bvx tg3= B tg(x =诃)其方向由a指向b,框架内的电动势应为顺时针方向。(2) 当磁场作非均匀变化时，此时框架中既产生动生电动势，又产生感生电动势，可应用法拉第定律 计算总的感应电动势。取回路OabO,设逆时针方向为正，取如图的小面积元时刻穿过的磁通量为&=BdS = cos g Bd f 二烤cos tg G d 则 t 时刻穿过回路 ObaO 的磁通量为由法拉第定律有，回路中的感应电动势为号0,贝临 ：0,则乓若2!的方向与所设正绕方向一致，若，的方向与所设正绕方向相反。例10如图10-14所示，一矩形截面的螺绕环，总匝数为N,几何尺寸如图，求它的自感系数。解法1： 设螺绕环中电流为I,由于对称性，磁场只集中在螺绕环内，且磁感应线为同心圆。在螺绕环内，做以环心为中心、4以r为半径的圆形安培环路 &从电流分布可见，在环路上各点B的大小相等，方向沿环路切向，由安培环路定理知取截面元dS=kdr，如图 10-14所示，通过该面元的磁通量为穿过一匝线圈的磁通量为则穿过螺绕环的磁通链数2?r D2由自感系数的定义有L旦込任I 2历解法2：设电流I是随时间变化的，则由I所激发的磁场也是变化的，因而螺绕环线圈上有感应电动势，由法拉第定律有此电动势即为自感电动势，由自感电动势的定义得