北师大版九年级上册 第一章 单元练习题《特殊的平行四边形》

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根单元练习题：特殊的平行四边形一选择题1下列说法中错误的是（ ）A平行四边形的对边相等B菱形的对角线平分一组对角C对角线互相垂直的四边形是菱形D矩形的对角线互相平分2如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列说法正确的是（ ）A若 ABBC，则ABCD 是菱形B若 ACBD，则ABCD 是正方形C若 ACBD，则ABCD 是矩形D若 ABAD，则ABCD 是正方形3如图，菱形 ABCD 对角线 AO4cm，BO3cm，则菱形高 DE 长为（ ）A5cmB10cmC4.8cmD9.6cm4如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若测得 AB 的长为 2.6km， 则 M，C 两点间的距离为（ ）A0.8kmB1.2kmC1.3kmD5.2km1 / 20知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根5已知平行四边形 ABCD，下列条件中，能判定这个平行四边形为菱形的是（ ）AABBACCACBDDACBD6如图， ABCD 中的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 EF 在 BD 上，且 BEDF，连接 AE，EC， CF，FA，下列条件能判定四边形 AECF 为矩形的是（ ）ABEEOBEO ACCACBEDAEAF7已知矩形的对角线长为 10，两邻边之比为 3：4，则矩形的面积为（ ）A50 B48 C24 D128如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AD3，AOD60，则 AB 的长为（ ）A3 B2 C3 D69如图，在菱形 ABCD 中，CEAB 于点 E，E 点恰好为 AB 的中点，则菱形 ABCD 的较大内角 度数为（ ）A100 B120 C135 D15010如图，在正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，且 BEBC，则ACE（ ）A20.5 B30.5 C21.5 D22.511如图，四边形 ABCD 是矩形，BDC 的平分线交 AB 的延长线于点 E，若 AD4，AE10，2 / 20知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根则 AB 的长为（ ）A4.2 B4.5 C5.2 D5.512如图，在矩形 ABCD 中，AB2，AD1，E 为 AB 的中点，F 为 EC 上一动点，P 为 DF 中 点，连接 PB，则 PB 的最小值是（ ）A2B4 C D2二填空题13如果菱形的边长为 17，一条对角线长为 30，那么另一条对角线长为 14如图，正方形 ABCD 的边长为 5，点 E 在 CD 上，DE2，BAE 的平分线交 BC 于点 F， 则 CF 的长为 15如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 P 为 AD 边上的一点，过点 P分别作 PEAC 于点 E，作 PFBD 于点 F若 PE+PF5，则正方形 ABCD 的面积为 16如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，对角线 AC、BD 相交于点 O，AE 平分BAC 交 BD 于点 E，则 BE 的长为 3 / 20知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根17如图，已知正方形 ABCD，点 M 是边 BA 延长线上的动点（不与点 A 重合），且 AMAB， CBE 由DAM 平移得到，若过点 E 作 EHAC，H 为垂足，则有以下结论：点 M 位置变化，使得DHC60时，2BEDM；无论点 M 运动到何处，都有 DMHM；在点 M 的运动过程中，四边形 CEMD 可能成为菱形；无论点 M 运动到何处，CHM 一定大于 135以上结论正确的有 （把所有正确结论的序号都填上）三解答题18如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，AB 的中点 （1）求证：ABEADF；（2）若 BE ，C60，求菱形 ABCD 的面积4 / 20知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根19如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AEBC 交 CB 延长线于 E，CFAE 交 AD 延长线于点 F（1）求证：四边形 AECF 是矩形；（2）连接 OE，若 AD5，BE3，求线段 OE 的长20如图，已知四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形，且 ABCE，连接 BG，DE （1）求证：BGDE；（2）连接 BD，若 CGBD，BGBD，求BDE 的度数21已知正方形 ABCD，点 F 是射线 DC 上一动点（不与 C、D 重合）连接 AF 并延长交直线 BC 于点 E，交 BD 于 H，连接 CH在 EF 上取一点 G，使ECGDAH（1）若点 F 在边 CD 上，如图 1，求证：CHCG求证：GFC 是等腰三角形（2）取 DF 中点 M，连接 MG若 MG3，正方形边长为 4，则 BE 5 / 20知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根22如图，在 R ABC 中，ACB90，B60，D 为 AB 边的中点，连接 DC 过 D 作 DE DC 交 AC 于点 E（1）求EDA 的度数；（2）如图 2，F 为 BC 边上一点，连接 DF，过 D 作 DGDF 交 AC 于点 G，请判断线段 CF 与 EG 的数量关系，并说明理由23已知，矩形 ABCD 中，AB4cm，BC8cm，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD、BC 于点 E、F，垂足为O（1）如图 1，连接 AF、CE求证：四边形 AFCE 为菱形（2）如图 1，求 AF 的长（3）如图 2，动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，沿AFB 和CDE 各边匀速运动一周即点 P 自 AFBA 停止，点 Q 自 CDEC 停止在运动过程中，点 P 的速度为每秒 1cm，设运动时间为 t 秒问在运动的过程中，以 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能， 请求出运动时间 t 和点 Q 的速度；若不可能，请说明理由若点 Q 的速度为每秒 0.8cm，当 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求 t 的值6 / 20知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根参考答案一选择题1解：A平行四边形的对边相等，正确，不符合题意；B菱形的对角线平分一组对角，正确，不符合题意；C对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，符合题意；D矩形的对角线互相平分，正确，不符合题意故选：C2解：A、错误，有一个角为 90的平行四边形是矩形B、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C、正确，对角线相等的平行四边形是矩形；D、错误，一组邻边相等的平行四边形是菱形；故选：C3解：四边形 ABCD 是菱形，ACBD，AC2OA24cm8cm，BD2BO23cm6cm，在 AOB 中，由勾股定理得：AB菱形 ABCD 的面积 ACBDABDE， 即 865DE，解得：DE4.8（cm），故选：C4解：在 RtACB 中，点 M 是 AB 的中点，CM AB 2.61.3（km），故选：C5解：A、四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，A+B180，AB，AB90，7 / 20 5（cm），知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根平行四边形 ABCD 是矩形；故选项 A 不符合题意；B、四边形 ABCD 是平行四边形，AC；故选项 B 不符合题意；C、四边形 ABCD 是平行四边形，ACBD，平行四边形 ABCD1 矩形；故选项 C 不符合题意；D、四边形 ABCD 是平行四边形，ACBD，平行四边形 ABCD 是菱形；故选项 D 符合题意；故选：D6解：四边形 ABCD 是平行四边形，OAOC AC，OBOD，BEDF，OBBEODDF，即 OEOF，四边形 AECF 是平行四边形，A、BEEO 时，不能判定四边形 AECF 为矩形；故选项 A 不符合题意；B、EO AC 时，EFAC，四边形 AECF 为矩形；故选项 B 符合题意；C、ACBE 时，四边形 AECF 为菱形；故选项 C 不符合题意；D、AEAF 时，四边形 AECF 为菱形；故选项 D 不符合题意；故选：B7解：矩形的两邻边之比为 3：4，设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，对角线长为 10，（3x）2+（4x）2102，解得：x2，矩形的两邻边长分别为：6，8；矩形的面积为：6848 故选：B8解：四边形 AABCD 是矩形，DAB90，OAODOB，8 / 20知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根AOD60，AOD 是等边三角形，OAODAD3，BD2OD6，AB故选：C3 9解：连接 AC，如图：四边形 ABCD 是菱形，ABBC，BADBCD，BD，ADBC， BAD+B180，CEAB，点 E 是 AB 中点，BCACAB，ABC 是等边三角形，B60，D60，BADBCD120；即菱形 ABCD 的较大内角度数为 120； 故选：B10解：设 AC 与 BD 交于点 O，在四边形 ABCD 中，EOC90，1245 BEBC，3ECB67.5ACEOCE9039067.522.5 故选：D9 / 20知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根11解：如图，四边形 ABCD 是矩形，CDAB，1E又BDC 的平分线交 AB 的延长线于点 E，12，2EBEBDAE10，BDBE10AB在 直 角 ABD 中 ， AD 4 ， BD 10 AB ， 则 由 勾 股 定 理 知 ： AB AB4.2故选：A12解：如图：当点 F 与点 C 重合时，点 P 在 P 处，CP DP ，1 1 1当点 F 与点 E 重合时，点 P 在 P 处，EP DP ，2 2 210 / 20知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根P P CE 且 P P CE1 2 1 2当点 F 在 EC 上除点 C、E 的位置处时，有 DPFP 由中位线定理可知：P PCE 且 P P CF1 1点 P 的运动轨迹是线段 P P ，1 2当 BPP P 时，PB 取得最小值1 2矩形 ABCD 中，AB2，AD1，E 为 AB 的中点，CBE、ADE、BCP 为等腰直角三角形，CP 11 1ADECDECP B45，DEC901DP P 902 1DP P 451 2P P B90，即 BP P P ，2 1 1 1 2BP 的最小值为 BP 的长1在等腰直角 BCP 中，CP BC11 1BP 1PB 的最小值是故选：C二填空题（共 5 小题）13解：在菱形 ABCD 中，AB17，BD30， 对角线互相垂直平分，AOB90，BO15，在 AOB 中，AOAC2AO16即另一条对角线长为 16， 故答案为：16 8，14解：延长 CD 到 N，使 DNBF，连接 AN，如图所示：11 / 20知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根四边形 ABCD 是正方形，ABAD，BADABFADN90，在ABF 和ADN 中，ABFADN（SAS），BAFDAN，NAF90，EAN90FAE，N90DAN90BAF， BAFFAE，EANN，AEEN，故答案为：7 ，15解：在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ACBD，AOCOBODO，EAP45，PEAC，AEP 是等腰直角三角形，PEAE，PFBD，四边形 OEPF 是矩形，12 / 20知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根PFOE，PE+PFAE+OEOA5，AOD，S4正方形 ABCD50故答案为：5016解：如图，过点 E 作 EHAB 于 H四边形 ABCD 是正方形，ABBCCDAD2，BDAC2EA 平分BAO，EHAB，EOAC，EHEO，设 EHEOa，则 BE，ODOB ，a，a+a ，解得 a2，BEa22故答案为：2217解：如图，连接 DH，HM由题可得，AMBE，ABEMAD，四边形 ABCD 是正方形，EHAC，EMAD，AHE90，MEHDAH45EAH， EHAH，MEHDAH（SAS），MHEDHA，MHDH，MHDAHE90，DHM 是等腰直角三角形， DM 2HM，故正确；当DHC60时，ADH604515，13 / 20知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根ADM451530，RtADM 中，DM2AM，即 DM2BE，故正确；CDEM，ECDM，四边形 CEMD 是平行四边形，DMAD，ADCD，DMCD，四边形 CEMD 不可能是菱形，故错误，点 M 是边 BA 延长线上的动点（不与点 A 重合），且 AMAB，AHMBAC45，CHM135，故正确；由上可得正确结论的序号为故答案为三解答题（共 6 小题）18（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，ABAD，点 E，F 分别是边 AD，AB 的中点， AFAE，在ABE 和ADF 中，ABEADF（SAS）；（2）解：连接 BD，如图：四边形 ABCD 是菱形，ABAD，AC60，ABD 是等边三角形，点 E 是边 AD 的中点，14 / 20知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根BEAD，ABE30，AEBE1，AB2AE2，ADAB2，菱形 ABCD 的面积ADBE2 2 19（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，ADBC，即 AFEC，CFAE，四边形 AECF 是平行四边形，AEBC，平行四边形 AECF 是矩形；（2）解：如图所示：四边形 ABCD 为菱形，四边形 AECF 为矩形，且 BE3，AD5OAOC，ABBCAD5DFEB3，AEC90，AEAC4，CEBC+BE8， 4 ，OAOC，AEC90，OEOC AC 4 2 20（1）证明：四边形 ABCD 和四边形 CEFG 为正方形， BCDC，CGCE，BCDGCE90，15 / 20知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根BCGDCE，BCGDCE（SAS），BGDE；（2）连接 BE，CGBD，DCGBDC45，BCGBCD+DCG90+45135GCE90，BCE360BCGGCE36013590135，BCGBCECGCE，BCBC，BCGBCE（SAS），BGBE由（1）可知 BGDE，BDBEDE，BDE 为等边三角形，BDE6021（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，ADBCDB45，DADC，在DAH 和DCH 中，DAHDCH（SAS），DAHDCHECGDAH，ECGDCHECG+FCGFCE90，DCH+FCG90，CHCG；在 ADF 中，DFA+DAF90，16 / 20知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根由得DCH+FCG90，DAHDCH；DFAFCG，又DFACFG，CFGFCG，GFGC，GFC 是等腰三角形；（2）如图，当点 F 在线段 CD 上时，连接 DEGFCGCF，GEC+GFC90，GCF+GCE90， GCEGEC，EGGCFG，FGGE，FMMD，DE2MG6，在 DCE 中，CE 2 ，BEBC+CE4+2 如图，当点 F 在线段 DC 的延长线上时，连接 DE同法可知 GM 是DEC 的中位线， DE2GM6，17 / 20知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根在 DCE 中，CEBEBCCE431综上所述，BE 的长为 4+ 2 ，或 4 22（1）解：如图 1，在 ABC 中，ACB90，B60， A30，D 为 AB 边的中点，CDBDAD，BCD 是等边三角形，ACDA30，CDE90，CED60，EDA30；（2）解：如图 2，在 CDE 中，ACD30，tan30， ，FDGCDE90，FDCGDE，FCDGED60，FCDGED，FC ，GE18 / 20知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根23（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，AEOCFO，AC 的垂直平分线 EF，AOOC，ACEF，在AEO 和CFO 中 ，AEOCFO（AAS），OEOF，OAOC，四边形 AECF 是平行四边形，ACEF，平行四边形 AECF 是菱形；（2）解：设 AFacm，四边形 AECF 是菱形，AFCFacm，BC8cm，BF（8a）cm，在 ABF 中，由勾股定理得：42+（8a）2a2， a5，即 AF5cm；19 / 20知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根（3）解：在运动过程中，以 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形，只有当 P 运动到 B 点，Q 运动到 D 点时，以 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩 形，P 点运动的时间是：（5+3）18，Q 的速度是：480.5，即 Q 的速度是 0.5cm/s；分为三种情况：第一、P 在 AF 上，P 的速度是 1cm/s，而 Q 的速度是 0.8cm/s，Q 只能在 CD 上，此时当 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形不是平行四边形；第二、当 P 在 BF 上时，Q 在 DE 上，如图，AQ8（0.8t4），CP5+（t5），8（0.8t4）5+（t5），t ，第三情况：当 P 在 AB 上时，Q 在 DE 或 CE 上，此时当 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形不 是平行四边形；即 t 20 / 20