数值计算方法的意义内容与方法.ppt

数 值 计 算 方 法,陈研 Tel:62732959 新学科综合楼 4-201,中国农业大学资源和环境学院 2005年9月,1 数值计算方法的意义、内容与方法,软件的核心就是算法。,20 世纪最伟大的科学技术发明-计算机,计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维智能；,计算机的发展和应用，已不仅仅是一种科学技术 现象，而且成了一种政治、军事、经济和社会现象；,没有软件的支持，超级计算机只是一堆废铁而已；,算法犹如乐谱， 软件犹如CD盘片， 而硬件如同CD唱机。,算法的研究和应用正是本课程的主题 ！,现代科学研究的三大支柱,计算数学,21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在” “数学无处不在”,21世纪信息社会对科技人才的要求： -会“用数学”解决实际问题 -会用计算机进行科学计算,建立数学模型,选取计算方法,编写上机程序,计算得出结果,科学计算解题过程,一、计算数学的产生和早期发展,计算数学是数学的一个古老的分支，虽然数学不仅仅 是计算，但推动数学产生和发展的最直接原因还是 计算问题。,二、二十世纪计算数学的发展,数值代数,最优化计算,数值逼近,计算几何,概率统计计算,蒙特卡罗方法,微分方程的数值解法,微分方程的反演问题,数值计算的主要内容,数值代数：方程求根、线性方程组求解、 特征值和特征向量的计算、 非线性方程组的求解；,数值逼近：插值、数值微分和积分、 最小二乘法；,微分方程数值解： 常微分方程数值解； 偏微分方程数值解： 差分法 有限元法 有限体积法,教材 数值计算方法 徐涛 编著 （吉林科学技术出版社）,参考书目 应用数值方法 使用MATLAB和C语言 Robert J.Schilling ,否则,S1 输入,S4 输出计算的结果,二、算法的优劣, 计算量小, 存贮量少, 逻辑结构简单,例：用行列式解法求解线性方程组: n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值， 总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。,n=20 需要运算多少次？,n=100?,一、 误差的背景介绍,1. 来源与分类,从实际问题中抽象出数学模型 模型误差,3 数值计算中的误差,例1:质量为m的物体，在重力作用下，自由下落， 其下落距离s 与时间t 的关系是：,（1.1）,其中 g 为重力加速度。,通过测量得到模型中参数的值 观测误差,求近似解 方法误差 (截断误差）,机器字长有限 舍入误差,用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位小数 来代替无穷小数或用位数较少的小数来代替位数较多 的有限小数，如：, = 3.1415926,x = 8.12345,四舍五入后,在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差 （包括初始数据的误差）对计算结果的影响！,二、绝对误差、相对误差和有效数字,1绝对误差与绝对误差限,例 2:若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长， 大约为1.45米，求1.45米的绝对误差。,1.45米的 绝对误差=？,不知道！,但实际问题往往可以估计出 不超过某个正数，即， ，则称 为绝对误差限，有了绝对误差限 就可以知道x范围为,即x落在 内。在应用上，常常采用下列 写法来刻划x*的精度。,2相对误差和相对误差限,（1.6）,定义2：设x是准确值，x*是近似值，称,满足,为近似值x的相对误差，相应地，若正数 ，,则称 为x的相对误差限。,3有效数字,则说x*近似表示x准确到小数后第n位，并从这第n位起 直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字， 并把有效数字的位数称为有效位数。,定义3：如果,（1.7）,由上述定义,有效数位为3位,有效数位为5位,有效数位为4位,误差的传播与积累,例3：蝴蝶效应 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！,NY,BJ,以上是一个病态问题,4 数值计算中应该注意的一些原则,1要使用数值稳定的算法,例4：求 （n = 0, 1, 2, , 8）的值。,解：由于,初值,递推公式,（1.8）,注意此公式精确成立,按 (1.8) 式就可以逐步算出,What happened?!,不稳定的算法 ！,由递推公式（1.8）可看出，In-1的误差扩大了5倍后传给In， 因而初值I0的误差对以后各步计算结果的影响，随着n的增大 愈来愈严重。这就造成I4的计算结果严重失真。,这就是误差传播所引起的危害 !,改变公式：,不妨设I9 I10，于是由,可求得I9 0.017，按公式（1.9）可逐次求得,（1.9）,I8 0.019 I7 0.021 I6 0.024 I8 0.028 I4 0.034 I3 0.043 I2 0.058 I1 0.088 I0 0.182,稳定的算法 ！,在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性会是一个非常重要的话题。,2要避免两个相似数相减,在数值计算中，两个相近的数作减法时有效数字会损失。,（1.10）,的值。当x = 1000，y 的准确值为0.01580,1、直接相减,2、将（1.10）改写为,则 y = 0.01581,例5: 求,类似地,2. 绝对值太小的数不宜作除数,例6：,如分母变为0.0011，也即分母只有0.0001的变化时,3. 避免大数吃小数,例7：用单精度计算 的根。,精确解为, 算法1：利用求根公式,在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成为： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010,算法2：先解出,注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。,例8：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算,4. 先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。,一般来说，计算机处理下列运算的速度为,1 + 2 + 3 + + 40 + 109,再利用,5.算法的递推性,计算机上使用的算法常采用递推化的形式，递推 化的基本思想是把一个复杂的计算过程归结为简单过程 的多次重复。这种重复在程序上表现为循环。递推化的 优点是简化结构和节省计算量。,多项式求值：给定的x 求下列n 次多项多的值。,解：1. 用一般算法，即直接求和法；,2. 逐项求和法；,3. 秦九韶方法；,例9：用秦和韶方法求多项式,在x = - 0.2的值。,解：,