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第五节几种重要的连续型分布,本节介绍三种连续型分布：均匀分布、指数分布和正态分布。其中均匀分布是最简单的，正态分布是最重要的。,一、 均匀分布,区间a , b上的均匀分布，记做XUa,b.,若 ，则称 X 服从,容易验证f(x)满足密度函数的两条性质：,（正定性）,（归一性）,均匀分布的分布函数:,均匀分布的期望和方差:,即X在a,b内任何子区间上取值的概率与子区间的长度成正比，而与子区间所处的位置无关.,均匀分布的特点：,均匀分布的应用场合:,如果试验是向某区间掷一个质点，X表示质点的坐标，则X服从均匀分布。具体如：,乘客等车时间；,在数值计算中，由于四舍五入所引起的误差。,不连续,连续,例1 设随机变量X服从区间(1,6)上的均匀分布，求一元二次方程 有实根的概率.,解,方程有实根.,当,时,所求概率为,二、 指数分布,若 X 的密度函数为,则称 X 服从 参数为的指数分布，,记作,， 0 为常数，,（正定性）,（归一性）,容易验证f(x)满足密度函数的两条性质：,当时,当时,指数分布的分布函数,不连续,连续,指数分布的期望和方差:,若,则,指数分布的应用场合,如“随机服务系统中的服务时间”；,“无线电元件的寿命”；,指数分布还常作为各种“寿命”分布的近似：,“动物的寿命”等。,例2 某元件的使用寿命X服从指数分布,其平均使用寿命为1000小时,求该元件使用1000小时没有坏的概率.,解:,EX=1000,例3上题中若发现该元件使用了500小时没有损坏,求它还可以继续使用1000小时的概率.,解,条件概率,例2 某元件的使用寿命X服从指数分布,其平均使用寿命为1000小时,求该元件使用1000小时没有坏的概率.,解:,EX=1000,所以，指数分布被称为“永远年轻”的分布。,即元件以前曾经无故障使用的时间，不影响它以后的使用寿命。,这种性质称为指数分布的“无记忆性”（无后效性）。,三、正态分布,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。德莫佛最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布。,德莫佛,高斯,若,其中 为常数且 ，则称 X 服从参数 为 , 2 的正态分布，记作 X N ( , 2 ).,1.正态分布的定义,可以证明,证明：,作变量代换,左边,泊松积分,显然,（正定性）,（归一性）,验证 f(x) 满足密度函数的两条性质：,2.正态分布的期望和方差,可以证明,证明：,作变量代换,左边,显然,（正定性）,（归一性）,验证 f(x) 满足密度函数的两条性质：,2.正态分布的期望和方差,3.正态分布的分布函数,无法直接求出,一般不用,4.标准正态分布,显然,标准正态分布的期望与方差为:,当 时, 正态分布 称为标准正态分布.,其分布函数记为 :,其密度函数记为 ：,1.可导性,.奇偶性,.凹凸性,.渐近性,.单调性, (x)的性质：,1. 可导性： (x) 具有各阶导数；,2. 奇偶性： (x) 为偶函数，其图形关于y轴对称，即,3. 单调性： (x)在 内单调递增，在 内单调递减，在x = 0 处取得最大值,4. 凹凸性： (x)在 和 内凹，在 内凸， 为其两拐点 ；,5. 渐近性： 为其水平渐近线，即,标准正态分布的计算,356页表3提供了标准正态分布的密度函数值表,例4 设 求,解,(1)密度函数值的计算,358页表4提供了标准正态分布的分布函数值表,当 时，,(2)分布函数值的计算,358页表4提供了标准正态分布的分布函数值表,(2)分布函数值的计算,当 时，,358页表4提供了标准正态分布的分布函数值表,(2)分布函数值的计算,例5 设 计算：,解,4.一般正态分布和标准正态分布的关系,设、 分别为一般正态分布和标准正态分布的密度函数；、 分别为一般正态分布和标准正态分布的分布函数。则有,密度函数标准化,分布函数标准化,随机变量标准化,(1),密度函数标准化,(2),作变量代换,分布函数标准化,(3),X N ( , 2),的分布函数为,随机变量标准化,上述三式分别称为将一般正态分布的密度函数标准化、分布函数标准化和随机变量标准化。在一般正态分布的计算中，可利用它们，然后查表解决问题。,例6 设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6),解,分布函数标准化,或:,随机变量标准化,例7 设随机变量X 服从正态分布已知求 和,解:,0.0360.5,即 ，不能从表中查到。,时,时,时,三种情况对应的面积可再做详细点,例7 设随机变量X 服从正态分布已知求 和,解:,0.0360.5,即 ，不能从表中查到。,P(X5.9)=0.758,联立,例8 设 ,分别求X取值于以下区间的概率：,解,随机变量标准化,例8 设 ,分别求X取值于以下区间的概率：,解,此例说明，服从正态分布的随机变量在区间 之外取值的可能性是很小的，这一性质称为规则，常用于质量管理中。,正态分布的应用场合,可用正态变量描述的实例非常之多：,各种测量的误差；,工厂产品的尺寸；,学生们的考试成绩；,人的身高、体重；,农作物的收获量；,德国马克,重要的连续型分布,Public E-mail: zhouxiaoyu_ 密码：shuxue,
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