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平 面 向 量 复 习,表示,运算,实数与向量的积,向量加法与减法,向量的数量积,平行四边形法则,向量平行的充要条件,平面向量的基本定理,三 角 形 法 则,向量的三种表示,一、向量的相关概念:1)定义,（1）零向量：,（2）单位向量：,（3）平行向量：,（4）相等向量：,（5）相反向量：,2)重要概念：,3)向量的表示,4)向量的模（长度）,二、向量的运算,1）加法：两个法则 坐标表示 减法: 法则 坐标表示 运算律,2)实数与向量 a 的积,3)平面向量的数量积：,(1)两向量的交角定义,(2)平面向量数量积的定义,(4)平面向量数量积的几何意义,(3)a在b上的投影,(5)平面向量数量积的运算律,(6)平面向量数量积的性质,求距离,垂直的充要条件,求夹角,三、平面向量之间关系,向量平行(共线)充要条件的两种形式:,向量垂直充要条件的两种形式:,（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的坐标相等.,四、平面向量的基本定理,注:满足什么条件的向量可作为基底?,向量定义：,既有大小又有方向的量叫向量。,重要概念：,（1）零向量：,长度为0的向量，记作0.,（2）单位向量：,长度为1个单位长度的向量.,（3）平行向量：,也叫共线向量，方向相同或相反 的非零向量.,（4）相等向量：,长度相等且方向相同的向量.,（5）相反向量：,长度相等且方向相反的向量.,几何表示,: 有向线段,向量的表示,字母表示,坐标表示,: (x，y),若 A(x1,y1), B(x2,y2),则 AB =,(x2 x1 , y2 y1),向量的模（长度）,1. 设 a = ( x , y ),则,2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则,平 面 向 量 复 习,1.向量的加法运算,A,B,C,AB+BC=,三角形法则,O,A,B,C,OA+OB=,平行四边形法则,重要结论：AB+BC+CA=,0,AC,OC,向量的坐标运算,设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2) 则有如下运算规则 a+b=(x1+x2,y1+y2) a-b=(x1-x2,y1-y2) a=(x1, y1) ab=x1x2+y1y2,平 面 向 量 复 习,2.向量的减法运算,1）减法法则：,O,A,B,OAOB =,2）坐标运算:,若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ),则a b=,3.加法减法运算率,a+b=b+a,（a+b)+c=a+(b+c),1）交换律：,2）结合律：,BA,(x1 x2 , y1 y2),平 面 向 量 复 习,实数与向量 a 的积,定义：,坐标运算：,其实质就是向量的伸长或缩短！,a是一个,向量.,它的长度 |a| =,| |a|；,它的方向,(1) 当0时,a 的方向,与a方向相同；,(2) 当0时,a 的方向,与a方向相反.,若a = (x , y), 则a =, (x , y),= ( x , y),1、平面向量的数量积 （1）a与b的夹角：,（2）向量夹角的范围：,（3）向量垂直：,00 ，1800,共同的起点,（4）两个非零向量的数量积：,规定：零向量与任一向量的数量积为0,a b = |a| |b| cos,几何意义：,数量积 a b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cos的乘积。,5、数量积的运算律：,交换律：,对数乘的结合律：,分配律：,注意：,数量积不满足结合律,平面向量数量积的重要性质,（1）e a = a e =| a | cos （2）a b的充要条件是 a b =0 (3) 当 a与b同向时， a b = |a | | b | ; 当 a 与b 反向时，a b = - |a | | b | 特别地：a a=| a | 2 或 | a | = （4）cos= （5）| ab | | a | | b |,ab为非零向量，e为单位向量,向量垂直充要条件的两种形式:,二、平面向量之间关系,向量平行(共线)充要条件的两种形式:,三、平面向量的基本定理,如果 是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向 量 ，有且只有一对实数 使,例题一： 在下列命题中正确的是 （A）若| a| |b |,则ab (B)若| a| = |b |,则a=b （C） 若a=b，则ab (D)若ab,则a与b 就不是共线向量 例题二： 对于命题1平行向量一定相等，2不相等的向量一定不平行，3共线向量一定相等，4相等向量一定共线，5平行向量的方向相同或相反，其中正确的命题是？,
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