数列综合复习(教师版)

数列综合复习一、数列的概念 知识清单1. 数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法.2. 数列的通项公式.3. 求数列通项公式的一个重要方法：对于任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是 例.（1）已知数列的前n项和公式，求的通项公式 ；例2.（1）已知数列的前n项和公式，求的通项公式 ； 例3.（1）已知数列，()，写出这个数列的前4项，并根据规律，写出这个数列的一个通项公式，并加以证明. （2）数列中，前n项和满足，求数列的通项公式. 二、等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。2、等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。3、等差中项的概念：定义：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中 ，成等差数列。4、等差数列的前和的求和公式：。5、等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是， 如：，；，；（3）在等差数列中，对任意，；（4）在等差数列中，若，且，则；（5）在等差数列中，若m+n=2p,则（6）连续n项的和仍成等差数列.特殊说明：设数列是等差数列，且公差为，（）若项数为偶数，设共有项，则奇偶； ；（）若项数为奇数，设共有项，则偶奇；。6、数列最值（1），时，有最大值；，时，有最小值；（2）最值的求法：若已知，可用二次函数最值的求法（）；若已知，则最值时的值（）可如下确定或。练习1设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2设是公差为正数的等差数列，若，则（ ）A B C D3若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A.13项B.12项C.11项D.10项4设数列an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A.1 B.2 C.4 D.65设Sn是等差数列an的前n项和，若，则A B C D6设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn。等比数列知识清单1等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，。（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为：。说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。3等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。4等比数列前n项和公式一般地，设等比数列的前n项和是，当时， 或；当q=1时，（错位相减法）。说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。5等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有； 于等比数列，若，则.若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，成等比数列。如下图所示：练习1在等比数列中,则 2和的等比中项为( ) . 3 在等比数列中，求，4在等比数列中,和是方程的两个根,则( ) 5. 在等比数列，已知，求.6（2006年辽宁卷）在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列，则等于（ ）A B C D7（2006年北京卷）设，则等于（ ）AB C D8（2009全国文，21）设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q；9（2005江苏3）在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5（ ）（A）33 （B）72 （C）84 （D）189四、数列通项与求和知识清单1数列求通项（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an= 。（2）求通项常用方法练习1、 已知数列满足，求数列的通项公式.2、已知数列，()，（1）求出这个数列的前4项；（2）求这个数列的通项公式。3、(1) 已知数列满足，求数列的通项；(2) 已知数列满足，求数列的通项。解：（1）由已知得，则 ，即是首项为3，公比为3 的等比数列，（2）由已知得，则 ， 即是首项为,公差为 的等差数列， 2、数列前n项和重要公式：1+2+n=n(n+1)；12+22+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2；等差数列中， 比数列中， 裂项相消求和 倒序相加求和分组求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 练习1：数列的前项和（1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列的通项公式吗？2.设函数,计算和_.答案：1004解析：由于.设,又,.S=1004.3、设数列的前n项和为Sn=2n2，求数列的通项公式；4、数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式 5、已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列6、已知等差数列满足，（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前n项和解：（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得故数列的通项公式为 5分 （II）设数列的前n项和为，即，故，所以，当时， ，所以 综上，数列的前n项和为 12分数列练习一：1：一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为（ ）A83 B108 C75 D632、一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为 。3、等比数列的各项为正数，且（ ） A12 B10 C8 D2+4：设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A1 B.2 C.4 D.85、在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则A 33 B 72 C 84 D 1896：已知是等差数列，其中，公差。（1）求数列的通项公式，并作出它的图像；（2）数列从哪一项开始小于0？（3）求数列前项和的最大值，并求出对应的值7、已知是各项不为零的等差数列，其中，公差，若,求数列前项和的最大值8、在等差数列中，求的最大值9、已知数列和，设，求数列的前项和10、（2011全国1文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）求数列的前n项和11设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 .12、已知数列的通项公式为，求前项的和；13、已知数列的通项公式为，求前项的和14、已知数列的通项公式为，设，求数列练习二：1（11重庆文）在等比数列an中，a28，a164，则公比q为（A）2（B）3（C）4（D）82（10重庆理）若等差数列的前三项和且，则等于（ ）A3 B.4 C. 5 D. 63设为公比q1的等比数列，若和是方程的两根，则_.4（09北京理）设等差数列的公差不为0，若是与的等比中项，则（）24685等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=(A)9(B)10(C)11(D)126.等差数列an的前n项和为Sn，若（A）12（B）18（C）24（D）427（全国2文）已知数列的通项，则其前项和 8（07全国1理）等比数列的前项和为，已知，成等差数列，则的公比为 9已知是等差数列，其前10项和，则其公差（）0已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（）32111已知是等差数列，其前5项和，则其公差12设等差数列的前项和为，若，则（ ）A63B45C36D27数列练习三：1已知等差数列的前项和为，若，则2在等比数列（）中，若，则该数列的前10项和为（ ）ABCD3（09北京理）已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）A2B3C4D54（07广东理）已知数列的前项和，第项满足，则 A B C. D5已知数列的前项和，则其通项 ；若它的第项满足v，则 6数列的前项和为，若，则等于（ ）A1BCD7等比数列中，则等于（）8若数列的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项9若数列的前项和，则此数列的通项公式为10等差数列的前项和为若（A）12（B）10（C）8（D）611设等差数列的前项和为，若，则（ ）A63B45C36D2712数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值；（II）求的通项公式13. 等比数列的前n 项和为，已知,成等差数列（1）求的公比q；（2）求3，求 解：（）依题意有 由于 ，故 又，从而 （）由已知可得 故 从而 14. 设数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，.()求数列an的通项公式；()若数列bn满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列bn的通项公式；()设cn=n(3-bn)，求数列cn的前n项和Tn.解：()n=1时，a1+S1=a1+a1=2a1=1 Sn=2-an即an+Sn=2 an+1+Sn+1=2两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0即an+1-an+an+1=0故有2an+1=anan0 (nN*)所以，数列an为首项a1=1，公比为的等比数列.an=(nN*)()bn+1=bn+an(n=1，2，3，)bn+1-bn=()n-1 得b2-b1=1b3-b2=b4-b3=()2bn-bn-1=()n-2(n=2，3，) 将这n-1个等式相加，得bn-b1=1+又b1=1，bn=3-2()n-1(n=1，2，3，)()cn=n(3-bn)=2n()n-1 Tn=2()0+2()+3()2+(n-1)()n-2+n()n-1 而 Tn=2()+2()2+3()3+(n-1) -得：Tn=8-(8+4n)(n=1，2，3，) 15. 已知数列中，且对时有（）设数列满足，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（）记，求数列的前n项和（） 证明：由条件，得，则即，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列 ，所以两边同除以，可得于是为以首项，为公差的等差数列所以（），令，则而 ，令Tn，则2Tn ，得Tn，Tn16. 已知点满足：，且已知 （1）求过点的直线的方程； （2）判断点与直线的位置关系，并证明你的结论；解：（1）由，得： 显然直线的方程为 （2）由，得： 点，猜想点在直线上，以下用数学归纳法证明： 当n2时，点 假设当时，点，即 当时， 点 综上，点17、=, =,（1）求证：为等差数列； (2) 若,问是否存在, 对于任意（），不等式成立.解（1） 为等差数列 （2） 18.设数列的前项和为，。（1）求证：数列为等差数列，并分别求出、的表达式；（2）设数列的前n项和为，求证：；又易知单调递增，故，得19. 数列：满足() 设，求证是等比数列；() 求数列的通项公式; （）设,数列的前项和为,求证: 解：()由得，即， 是以为公比的等比数列 () 又即 ，故（）又20.设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；解：（）当时，又 数列成等比数列，其首项，公比是（）由（）知 = 又当当