连续型随机变量知识讲座

2.3 连续型随机变量连续型随机变量定义 设 X 是随机变量,若存在一个非负 可积函数 f(x),使得xttfxFxd)()(其中F(x)是它的分布函数则称 X 是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数(p.d.f.)，简称为密度函数或概率密度连续型随机变量的概念连续型随机变量的概念48-10-550.020.040.060.08xf(x)xF(x)分布函数与密度函数 几何意义)(xfy 49p.d.f.f(x)的性质的性质q 0)(xfq 1)(d)(Fxxf常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，q 在 f(x)的连续点处，)()(xFxff(x)描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率50 xxFxxFxFx)()(lim)(0000 xxxXxPx)(lim000)(0 xfxttfxFxd)()(积分不是Cauchy 积分，而是Lesbesgue 意义下的积分，所得的变上限的函数是绝对连续的，因此几乎处处可导)()(000 xxXxPxxf线段质量长度密度51注意:对于连续型随机变量X,P(X=a)=0其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值)()(0aXxaPaXPaxaxxfd)(axaxxxfaXPd)(lim)(0000)(aXP命题命题 连续随机变量取任一常数的概率为零强调强调 概率为概率为0(1)的事件未必不发生的事件未必不发生(发生发生)(aX)(aXxa0 x事实上52对于连续型随机变量 X)(bXaP)(bXaP)(bXaP)(bXaP)()(aFbFbxf(x)-10-550.020.040.060.08abaxxfd)(53)()()(bFbXPbXP)(1)()(aFaXPaXPxf(x)-10-550.020.040.060.08a54例例1 1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连续随机变量,其密度函数为其他,01000,)(2xxcxf(1)求常数 c (3)已知一设备装有3个这样的电子管,每个电子管能否正常工作相互独立,求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.)200015001700(XXP(2)计算55解解(1)令1dd)(10002xxcxxfc=1000)200015001700(XXP(2)20001500,1700(XXP)20001500(XP)20001500(XP)17001500(XP170015002d1000 xx200015002d1000 xx51461.4706.0512456(3)设A 表示一个电子管的寿命小于1500小时)15000()(XPAP31d1000150010002xx设在使用的最初1500小时三个电子管中损坏的个数为 Y31,3 B943231)1()1(2133CPYP57例例2 2 设为使 f(x)成为某随机变量 X 在解解 由 0)(0)(2cbxaxxhxf),(上的密度函数，系数 a,b,c 必须且只需12)()(cbxaxxf满足什么条件？axhbaxxh2)(,2)(当)(02)(0 xhaxha 有最小值abcxh4/)(2min58另外由04/2abc当且仅当 时0)(2cbxaxxh142)()(212bacdxcbxaxdxxf得.4422bac所以系数 a,b,c 必须且只需满足下列条件,0a,04/2abc.4422bac59作业作业 P83 习题二习题二16 1860(1)均匀分布均匀分布常见的连续性随机变量的分布常见的连续性随机变量的分布若 X 的密度函数为其他,0,1)(bxaabxf则称 X 服从区间(a,b)上的均匀分布均匀分布或称),(baUX X 服从参数为 a,b的均匀分布均匀分布.记作61X 的分布函数为1,0abaxbxbxaax,xttfxFd)()(62xf(x)abxF(x)ba63,),(),(badcxabdXcPd1)(dcabcd即 X 落在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.进行大量数值计算时,若在小数点后第k 位进行四舍五入,则产生的误差可以看作服从 的随机变量kkU1021,1021应用场合应用场合64例例3 3 秒表最小刻度值为0.01秒.若计时精度是取最近的刻度值,求使用该表计时产生的随机误差X 的概率密度,并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率.005.0005.0UX解解 X 等可能地取得区间005.0005.0其他,0005.0,100)(xxf8.0100)004.0(004.0004.0dxXP所以上的任一值，则65(2)指数分布指数分布若 X 的密度函数为其他,00,)(xexfx则称 X 服从 参数为的指数分布)(EX记作X 的分布函数为0,10,0)(xexxFx 0 为常数661xF(x)0 xf(x)067对于任意的 0 a b,babaxeeaFbFxebXaP)()(d)(应用场合应用场合 用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命 指数分布常作为各种“寿命”分布的近似68若 X(),则故又把指数分布称为故又把指数分布称为“永远年轻永远年轻”的分布的分布)()(tXPsXtsXP指数分布的“无记忆性无记忆性”事实上)()()(),()(sXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP)()(1)(1)(1)(1)(tXPeeesFtsFsXPtsXPtsts命题69解解(1)()(tTPtFT0),(10,0ttTPt)0)()(tNPtTPtteet!0)(0例例4 4 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)(t),求(1)相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布;(2)设备已正常运行小时的情况下,再正常(3)运行 10 小时的概率.700,10,0)(tettFt0,0,0)(tettft即)(ET)8108()818(TTPTTP10)10(eTP(2)由指数分布的“无记忆性”71(3)正态分布正态分布若X 的密度函数为xexfx222)(21)(则称 X 服从参数为 ,2 的正态分布记作 X N(,2),为常数，0 亦称高斯(Gauss)分布72N(-3,1.2)-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3373f(x)的性质的性质：q 图形关于直线 x=对称,即在 x=时,f(x)取得最大值21在 x=时,曲线 y=f(x)在对应的点处有拐点曲线 y=f(x)以 x 轴为渐近线曲线 y=f(x)的图形呈单峰状f(+x)=f(-x)7421)()(1)()(XPFFXP-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.375q f(x)的两个参数：的两个参数：位置参数即固定 ,对于不同的 ,对应的 f(x)的形状不变化，只是位置不同 形状参数固定 ，对于不同的，f(x)的形状不同.若 1 2 则212121比x=2 所对应的拐点更靠近直线 x=附近值的概率更大.x=1 所对应的拐点前者取 76Showfn1,fn3大小-6-5-4-3-2-10.10.20.30.40.5几何意义 大小与曲线陡峭程度成反比数据意义 大小与数据分散程度成正比77正态变量的条件 若随机变量 X 受众多相互独立的随机因素影响 每一因素的影响都是微小的 且这些正、负影响可以叠加则称 X 为正态随机变量78可用正态变量描述的实例极多：各种测量的误差；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；学生的考试成绩；79一种重要的正态分布一种重要的正态分布xexx2221)(是偶函数，分布函数记为xtexxtd21)(22其值有专门的表供查.标准正态分布N(0,1)密度函数5.0)0(-3-2-11230.10.20.30.4)(1)(xx1)(2)|(|aaXP81-xx)(1)(xx1)(2)|(|aaXP-3-2-11230.10.20.30.482对一般的正态分布：X N(,2)其分布函数xttexFd21)(222)(作变量代换tsxxF)(abaFbFbXaP)()()(aaFaXP1)(1)(83例例5 5 设 X N(1,4),求 P(0 X 1.6)解解210216.1)6.10(XP5.03.0 5.01 3.06915.01 6179.03094.0P380 附表384例例6 6 已知),2(2NX且 P(2 X 4)=0.3,求 P(X 0).解一解一20)0(XP212224)42(XP)0(23.08.022.0)0(XP85解二解二 图解法0.22.0)0(XP由图-22460.050.10.150.20.386例例 3 原理设 X N(,2),求)3|(|XP解解)33()3|(|XPXP33 33 13219987.029974.0一次试验中,X 落入区间(-3,+3)的概率为 0.9974,而超出此区间可能性很小由3 原理知，1)(3,0)(3bbaa时时当87标准正态分布的上 分位数 z设 X N(0,1),0 3故至少要进行 4 次独立测量才能满足要求.90作业作业 P 84 习题二习题二 22 24 26 2791第第 6 6 周周 问问 题题 上海某年有 9万名高中毕业生参加高考,结果有5.4万名被各类高校录取.考试满分为600分，540分以上有2025人,360分以下有13500人.试估计高校录取最低分.92在高为 h 的 ABC 中任取一点M,点 M 到 AB 的距离为随机变量X,如何求其密度函数 f(x)？ABCh.M 思考题题 附录附录 93949、静夜四无邻，荒居旧业贫。22.10.622.10.6Thursday,October 06,202210、雨中黄叶树，灯下白头人。10:41:1410:41:1410:4110/6/2022 10:41:14 AM11、以我独沈久，愧君相见频。22.10.610:41:1410:41Oct-226-Oct-2212、故人江海别，几度隔山川。10:41:1410:41:1410:41Thursday,October 06,202213、乍见翻疑梦，相悲各问年。22.10.622.10.610:41:1410:41:14October 6,202214、他乡生白发，旧国见青山。2022年10月6日星期四上午10时41分14秒10:41:1422.10.615、比不了得就不比，得不到的就不要。2022年10月上午10时41分22.10.610:41October 6,202216、行动出成果，工作出财富。2022年10月6日星期四10时41分14秒10:41:146 October 202217、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。上午10时41分14秒上午10时41分10:41:1422.10.69、没有失败，只有暂时停止成功！。22.10.622.10.6Thursday,October 06,202210、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。10:41:1410:41:1410:4110/6/2022 10:41:14 AM11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。22.10.610:41:1410:41Oct-226-Oct-2212、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。10:41:1410:41:1410:41Thursday,October 06,202213、不知香积寺，数里入云峰。22.10.622.10.610:41:1410:41:14October 6,202214、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2022年10月6日星期四上午10时41分14秒10:41:1422.10.615、楚塞三湘接，荆门九派通。2022年10月上午10时41分22.10.610:41October 6,202216、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。2022年10月6日星期四10时41分14秒10:41:146 October 202217、空山新雨后，天气晚来秋。上午10时41分14秒上午10时41分10:41:1422.10.69、杨柳散和风，青山澹吾虑。22.10.622.10.6Thursday,October 06,202210、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。10:41:1410:41:1410:4110/6/2022 10:41:14 AM11、越是没有本领的就越加自命不凡。22.10.610:41:1410:41Oct-226-Oct-2212、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。10:41:1410:41:1410:41Thursday,October 06,202213、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。22.10.622.10.610:41:1410:41:14October 6,202214、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2022年10月6日星期四上午10时41分14秒10:41:1422.10.615、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。2022年10月上午10时41分22.10.610:41October 6,202216、业余生活要有意义，不要越轨。2022年10月6日星期四10时41分14秒10:41:146 October 202217、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。上午10时41分14秒上午10时41分10:41:1422.10.6MOMODA POWERPOINTLorem 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