微积分x13-2二重积分的计算方法

13.2 二重积分的计算方法,一、利用直角坐标计算二重积分,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,则面积元素为,已知平行截面面积 的立体的体积,注：二重积分转变为二次积分的 推导过程借助于几何直观，略去 了分析证明过程。,用平面x=x0截立体，截得A(x0). 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,注意D的特殊之处。,定理13-1（基本定理） 函数f(x,y)在闭矩形区域D:,可积,若每一个,若每一个,d c,a b,如果积分区域为：,如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,X型,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,如果积分区域为：,Y型,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,对非X、Y型区域,解,积分区域如图,解,积分区域如图,(1). 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,例3计算下列二重积分,解,解,X-型,（4）. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,解,（6）. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,解,令y-x=u,交换积分次序,令u=-t,O 1 x,y 1,例7,解,先去掉绝对值符号，如图,o 1 x,o 1 x,例6,证,利用二重积分计算空间立体体积,例1.,解,所求立体可以看成是一个 曲顶柱体，它的曲顶为,底为,例2. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,解: 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,二、利用极坐标系计算二重积分,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,解,解,解,解,例5 求由球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ax所围立体的体积。,解：,x,y,o,解, D=2D1,例7,解,三、二重积分的换元法,例1,解,例2,解,