线性方程与常数变易法

第二节 线性方程与常数变易法,一阶线性微分方程：,在 的区间上可以写成,(2.19)变为齐次方程,这类方程是分离变量方程，通解已经解决。,若 ，（2.19）变为一阶非齐次线性方程。那么,如何求解这类方程？,解？,解？,所以，主要讨论非齐次线性方程(2.19)通解的求法。通过分析，不难看出，(2.3)是(2.19)的特殊情形，两者既有联系又有差别。因此，可以设想它们的解之间也应该有某种联系而又有区别。于是，试图从方程(2.3)的通解(2.4)的形式去求出方程(2.19)的通解。显然，如果(2.4)中C恒保持为常数，它必不可能是(2.19)的通解。故，可以假想，在(2.4)中，将常数C看成x的待定函数C(x)，使它满足方程(2.19)，从而求出C(x)。 于是，令,两边微分得到：,即,整理：,积分得到：,原方程的通解：,注意：1、常数变易法的本质实际上是一种变量变换方法，通过变换（2.20）将原方程变为可分离变量方程。 2、常数变易方法的特点强调求解过程。,例7 求方程 的通解， 这里 为常数。,步骤：改写原方程为规范的一阶非齐次线性方程； 求对应齐次方程的通解； 应用常数变易法求原方程的通解为：,其中 为任意常数。,例2 求方程 的通解。,问题：原方程不是未知函数的线性方程，于 是设法改写原方程为非齐次线性方程。,步骤：改写原方程为规范的一阶非齐次线性方程； 求对应齐次方程的通解； 应用常数变易法求原方程的通解。,方法：利用自变量与因变量的对应关系。,一类特殊方程的求解：伯努利（Bernoulli）方程？,求解方法：利用变量变换可将伯努利方程化为线性方程。,变换：,注意：在 时，还有解,例5 黎卡堤（Riccati）方程,其中 是在区间 内的已知连续函数。,分析：方程（2.29）看起来很简单，但是早在1841年法国数学家刘维尔（Liouville）就已经证明了这个方程，在一般情况下，它的解是不能用初等函数的有限次积分以及有限次代数运算而得到。但是，在特殊情况下，可以求出黎卡堤方程的解来，即在知道黎卡堤方程的一个或几个特解的情况下，就可以求出黎卡堤方程的解来。 注：在这里“观察法”起到了很大的作用。,设 是黎卡堤方程（2.29）的一个已知解，则有,若令 ： ，其中 是新的未知函数，将它代入方程（2.29），并注意到恒等式（2.30），立刻得到关于 的伯努利方程:,再令 ，则方程（2.31）化为关于 的线性方程:,因此，如果知道黎卡堤方程的一个特解，那么它的通解通过两次求积得到。实际上，只要作代换,可将黎卡堤方程（2.29）化为关于v的线性方程（2.32），于是利用常数变易法找出线性方程（2.32）的通解，然后利用代换（2.33）便得到黎卡堤方程（2.29）的通解。,例6 求方程 的通解,解：分析：原方程是黎卡堤方程，于是就要用观察法找出一个特解来，并得到 是该方程的一个特解。,求解过程：1、作变换,2、代入原方程，则原方程化为线性方程：,由一阶非齐次线性方程的求解方法不难得到线性方程的通解为：,故原方程的通解为：,到目前为止，所介绍的可分离变量方程、齐次方程和线性方程都是利用初等积分求解的规范方程。在实际问题中出现的微分方程是多种多样的，如果能够找到适当地变量代换，把有关的微分方程化为上述规范方程之一，那么原来的微分方程的通解也就容易求出来了，这是初等积分法中最常用的方法。当然如何确定变量代换，是比较困难，且无通法可循。一般而言，主要根据每一个方程的特点去寻找，这就要靠在实践中多总结经验，才能够逐步达到熟能生巧的地步。,同时，通过黎卡堤方程的求解，还可以看出，初等积分法的局限性，即并非所有一阶方程都能使用这个方法求解。所以，在以后的讨论中，以二元函数的全微分为基础来介绍一阶微分方程的另一种求解方法：积分因子方法。,补充例题,证明题:一阶非齐次线性方程（1）的任意两解之差必为相应的齐次线性方程（2）的解。,作业：P48 1（1，2，4，5，7，16），2，7（1） 5（思考题）,Lorenz方程的图像,