微分方程第五节常系数线性方程

- 1 -,第五节 常系数线性方程,常系数齐次线性方程通解的求法 常系数非齐次线性方程的通解求法 欧拉方程,- 2 -,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,其中,为常数。,常系数齐次线性方程,常系数非齐次线性方程,其中,为常数。,- 3 -,一 常系数齐次线性方程通解的求法,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1. 当,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,( r 为待定常数 ),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,时,- 4 -,2. 当,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x ,因此原方程的通解为,则得,时,- 5 -,3. 当,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,时,- 6 -,例1,求下列微分方程的通解。,解,(1),特征方程为,特征根为,微分方程通解为,(2),特征方程为,特征根为,微分方程通解为,- 7 -,例2,求解微分方程初始值问题,解,特征方程为,特征根为,微分方程通解为,所求解为,- 8 -,若特征方程含k重复根,若特征方程含k重实根r ,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:,则其通解中必含对应项,- 9 -,例3,的通解.,解:,特征根:,因此原方程通解为,例4,解:,特征根 :,原方程通解:,(不难看出, 原方程有特解,特征方程,特征方程:,- 10 -,例5,解:,即,其根为,方程通解 :,特征方程:,- 11 -,例6,为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .,解: 根据给定的特解知特征方程有根 :,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,- 12 -,二 常系数非齐次线性方程通解的求法,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,- 13 -, 为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式 .,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,1,- 14 -,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解形式为,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,- 15 -,例7,写出下列微分方程特解的形式,(1),解,由于对应的齐次方程的特征方程,的根,所以,不是特征方程,的根，,因此,因此特解形式为,(2),解,由于对应的齐次方程的特征方程,的根,所以,是特征方程的单根，,此,因此特解形式为,因,- 16 -,(3),解,由于对应的齐次方程的特征方程,的根,所以,是特征方程的二重根，,此,因此特解形式为,因,(4),解,对应的特征方程,特征根为,所以,是特征方程的三重根，,此,因此特解形式为,因,- 17 -,例8,求微分方程,的通解。,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程通解为,不是特征根，,因此,因此设微分方程特解为,代入原方程得,比较系数可知,因此,原方程通解为,- 18 -,例9,求微分方程,的通解。,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程通解为,不是特征根，,因此,因此设微分方程特解为,代入原方程消去,比较系数可知,因此,原方程通解为,得,- 19 -,例10,求微分方程,的通解。,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程通解为,是单特征根，,因此,因此设微分方程特解为,代入原方程消去,比较系数可知,因此,原方程通解为,得,- 20 -,例11,求微分方程,的通解。,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程通解为,是单特征根，,因此,因此设微分方程特解为,代入原方程消去,所以,得,(1),(2),求,的特解。,所以,的特解为,- 21 -,原方程通解为,(3),求,的特解。,不是特征根，,因此,设微分方程特解为,代入原方程得,比较系数得,所以,的特解为,(4),- 22 -,例12,设,二阶导数连续，,且,曲线积分,与路径,无关，,求,解,由于曲线积分与路径无关，,所以,因此,满足微分方程,特征方程,特征根,- 23 -,对应的齐次方程通解为,设非齐次方程的特解为,代入方程得,因此方程通解为,由于,所以,- 24 -,2,为实数，,分别为l ，n 次多项式。,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,- 25 -,例13,写出下列微分方程的特解形式。,(1),解,特征方程,特征根,不是特征根，,所以,所以,因此,(2),解,特征方程,特征根,是单特征根，,所以,所以,因此,- 26 -,(3),解,特征方程,特征根,是二重特征根，,所以,所以,因此,- 27 -,例14,的一个特解 .,解:,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数 , 得,于是求得一个特解,本题,- 28 -,例15,的通解 .,解,特征方程为,特征根,不是特征根，,所以,所以,所以对应的齐次方程的通解为,故设特解为,代入方程得,所以,通解为,- 29 -,例16,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为,- 30 -,三 欧拉方程,n 阶欧拉方程的一般形式为,则,- 31 -,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,- 32 -,例17,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程,- 33 -, 的通解为,换回原变量, 得原方程通解为,设特解:,代入确定系数, 得,- 34 -,例18,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入 解得 A = 1,所求通解为,