资源描述
1、已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点.（）求证：DE平面PFB；（）已知二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积. 解：（）因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，所以,所以，为平行四边形, .2分得，.3分又因为平面PFB，且平面PFB,.4分 所以DE平面PFB.5分（）如图，以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PD=a, 可得如下点的坐标： P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0) 则有： .6分 因为PD底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为，.7分设平面PFB的一个法向量为，则可得 即 令x=1,得，所以.9分 由已知，二面角P-BF-C的余弦值为，所以得: ,.10分 解得a =2.11分 因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为.13分2、如图，在四棱锥中，底面是棱形，平面，分别为，的中点（）证明：直线平面；（）证明：平面平面； （）当，且时，求直线与平面所成角的大小 （）证明：如图，取中点，连结、，因为 为的中点，所以 ，且，因为 为边的中点，所以 且，所以 ，且，所以 四边形是平行四边形，所以 ，又因为，平面，所以直线 5分（）证明：如图，连结，相交于点，因为，所以因为四边形是菱形，所以又，所以又平面，所以平面平面 10分（）解：如图，连结，因为，所以是在平面上的射影，所以是直线与平面所成的角设，由，可知，所以在中，即直线与平面所成的角为. 14分3、如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点（）求证：/平面；（）求证：平面；（）求二面角的大小（）证明：，分别是线段，的中点，/ 2分又平面，平面，/平面 4分（）解：为的中点，且， ， 又底面，底面 ， 又四边形为正方形， 又 ， 平面 7分 又平面 ， 8分 又 ， 平面 9分（）平面，平面，平面平面，平面，平面平面，平面，分别是线段，的中点，/，平面平面，平面， 10分就是二面角的平面角 12分在中，所以二面角的大小为. 14分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，,，. 2分（）证明：，,平面，且平面， 4分 /平面. 5分（）解：， ， 6分 8分，又， 平面. 9分（）设平面的法向量为, 因为，则取 12分又因为平面的法向量为所以 13分所以二面角的大小为 14分4、（西城）w在四棱锥中，侧面底面，为中点，底面是直角梯形，=90,，.（I）求证：平面；（II）求证：平面；（III）设为侧棱上一点，试确定的值，使得二面角为45.17、解：（）取的中点，连结，因为为中点，所以，且，在梯形中，所以，四边形为平行四边形，所以， 2分ABCDEPyxzQF平面，平面，所以平面. 4分（）平面底面，所以平面，所以.5分如图，以为原点建立空间直角坐标系.则6分，所以，8分又由平面，可得，所以平面.9分（）平面的法向量为，10分，所以，11分设平面的法向量为，由，得所以，所以，12分所以，13分注意到，得. 14分 5、如图，在三棱柱中，侧面底面ABC，且为AC中点。（I） 证明：平面ABC；（II） 求直线与平面所成角的正弦值；（III） 在上是否存在一点E，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置。解：（）证明：因为，且O为AC的中点， 所以.1分 又由题意可知，平面平面，交线为，且平面， 所以平面.4分（）如图，以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.由题意可知，又所以得:则有： 6分 设平面的一个法向量为，则有 ，令，得 所以. 7分 . 9分 因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以. （）设 11分即，得所以得 12分 令平面，得 ， 13分 即得即存在这样的点E，E为的中点. 14分6、已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，（）求这个组合体的表面积；（）若组合体的底部几何体记为，其中为正方形.（i）求证：；（ii）设点为棱上一点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.()=. 4分()（i）长方体 又是边长为8的正方形. 9分（ii）建立直角坐标系，则, 为平面的法向量. 137如图，已知菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥.（）若点是棱的中点，求证:平面；（）求二面角的余弦值；（）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论.M（）证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点.又点是棱的中点，所以是的中位线，. 1分因为平面,平面,所以平面. 3分ABCODxyzM（）解：由题意，因为，所以，. 4分又因为菱形，所以，.建立空间直角坐标系，如图所示.所以 6分设平面的法向量为，则有即：令，则，所以. 7分因为,所以平面. 平面的法向量与平行，所以平面的法向量为. 8分，因为二面角是锐角，所以二面角的余弦值为. 9分（）解：因为是线段上一个动点，设，则，所以， 10分则，由得，即，11分解得或， 12分所以点的坐标为或. 13分（也可以答是线段的三等分点，或）8如图，棱柱ABCD的所有棱长都为2， ，侧棱与底面ABCD的所成角为60，平面ABCD，为的中点（）证明：BD；（）证明：平面；（）求二面角DC的余弦值解：（I）棱柱ABCD的所有棱长都为2， 四边形ABCD为菱形， . .1分又平面ABCD, 平面ABCD， . .2分又，平面，平面， .3分平面， BD. .4分（）连结四边形ABCD为菱形， 是的中点. . 5分 又点F为的中点， 在中， .6分 平面，平面 平面 .8分 （III）以为坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 侧棱与底面ABCD的所成角为60，平面ABCD ，在中，可得在中，.得 .10分设平面的法向量为可设 .11分又平面 所以，平面的法向量为 .12分,二面角DC为锐角，故二面角DC的余弦值是 . .14分9、正的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角 （）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； （）求二面角的余弦值； （）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论.解：法一：（I）如图：在ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF/AB，又AB平面DEF，EF平面DEF.AB平面DEF. （II）ADCD，BDCD ADB是二面角ACDB的平面角ADBD AD平面BCD取CD的中点M，这时EMAD EM平面BCD过M作MNDF于点N，连结EN，则ENDFMNE是二面角EDFC的平面角6分在RtEMN中，EM=1，MN=tanMNE=，cosMNE= 8分（）在线段BC上存在点P，使APDE10分证明如下：在线段BC上取点P。使，过P作PQCD与点Q，PQ平面ACD 在等边ADE中，DAQ=30AQDEAPDE13分法二：（）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，4分y平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为则 即所以二面角EDFC的余弦值为 8分（）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为设12分所以在线段BC上存在点P，使APDE 14分另解：设又 12分把所以在线段BC上存在点P使APDE .13分 14
展开阅读全文