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矩阵与变换,高中数学 选修,江苏教育学院数学系 章飞 Z,1 主要内容与意义 2 具体内容解析 3 教学建议,1 主要内容与意义（为什么）,内容： 通过几何变换讨论二阶方阵的乘法及性质、矩阵的逆和矩阵的特征向量，并以变换和影射的观点理解解现行方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。 意义： 主要立足于几何（为什么下放矩阵）； 通过几何变换讨论二阶矩阵（具体）、理解矩阵； 为高等数学打基础。,2 具体内容解析（学什么）,1引入二阶矩阵 2二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换 3变换的复合二阶方阵的乘法 4逆矩阵与二阶行列式 5二阶矩阵与二元一次方程组 6变换的不变量 7矩阵的应用 8完成一个学习总结报告。,2.1 引入二阶矩阵,2.2 二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换,（1）以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。 矩阵与向量乘法： 映射的观点： 变换的观点,=,矩阵-几何变换的代数表示,几何代数化-向量 平面几何变换 : 二阶矩阵乘向量,矩阵-一个几何变换(将原点对应到原点的),（2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线，即证明A(1+2)=1A+2A。,（3）通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。,伸压变换,反射变换,切变变换,旋转变换,投影变换,2. 3变换的复合二阶方阵的乘法,（1）通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。,的变换过程(先旋转后压缩):,（2）通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律。,的变换过程(先旋转后压缩):,的变换过程(先压缩后旋转):,（3）验证二阶方阵乘法满足结合律。 （4）通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律。,2.4逆矩阵与二阶行列式,（1）通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在。,逆变换与逆矩阵,伸压变换之逆为伸压变换,逆变换与逆矩阵,反射变换之逆为反射变换 压伸变换之逆为压伸变换 旋转变换之逆为旋转变换 切边变换之逆为切变变换,（2）会证明逆矩阵的唯一性和 (AB)-1=B-1A-1 等简单性质，并了解其在变换中的意义。,两矩阵之积之逆的几何意义,先旋转再压缩,先拉伸后旋转,（3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。,2.5 二阶矩阵与二元一次方程组,（1）能用变换与映射的观点认识解方程组的意义。,线性方程组的矩阵形式 求解线性方程组即为：求一个向量，它由已知变换变为一个已知向量。,（2）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。 （3）会通过具体的系数矩阵，从几何上说明方程组解的存在性，唯一性。,2. 6 变换的不变量,（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换上说明特征向量的意义。,矩阵的特征向量是在变换下“基本”不变的量,特征值与特征向量的意义,矩阵 特征根1的特征向量为 ，特征根-1的特征向量为,矩阵只改变其特征向量的长度不改变其方向,（2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。,2.7 矩阵的应用,（1）利用矩阵A的特征值、特征向量给出An简单的表示，并能用它来解决一个实际问题。 （2）初步了解三阶或高阶矩阵。 （3）了解矩阵的应用。,2.8 完成一个学习总结报告,报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题的整体思路、结构和内容的理解，对数学变换思想的认识。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，对矩阵变换及其应用做进一步探讨。（3）对本专题学习的感受、体会。,3 教学建议（如何教学）,1定位：与大学教学相区别： 大学:代数的运算对象,主要研究运算性质;线性方程组与线性空间的表示方法. 课程标准:通过几何变换对几何图形的作用体会矩阵的几何作用,从直观上认识矩阵的意义. 2序 3建议： 突出矩阵的几何意义，从直观到抽象（矩阵、矩阵运算及其性质、矩阵的特征值与特征向量） 概念建构的合理性和必要性（矩阵运算） 从具体到一般（具体例子入手） 用实例展示矩阵应用广泛性 运用信息技术,谢谢大家， 加强联系与合作！,
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