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第六章 假设检验 （Hypothesis Testing）,1 假设检验的基本概念,假设检验的任务 对总体的分布提出假设 或对总体分布中的未知参数提出假设 用样本观测值对假设的“真”或“伪”作出 判断,检验中的假设 原假设 记作 通常由正常情况下应有的状态或 应取的数值给出 备择假设 记作 通常由与原假设相悖的状态或取 值、检验者希望由样本观测值获得支 持的现象给出,例如： 拟通过检验确定某天生产的产品的合格率。设合格率为 p 正常情况下，该产品的合格率是0.9 若这天生产过程中没有特殊情况，则 可以设,若抽验30件，发现5件次品，则检验者 有理由怀疑合格率达不到0.9。把检验者 的怀疑体现在备择假设中。可以设,注意,原假设与备择假设的地位不对等： 是受保护的，没有足够的理由不能 否定 ； 拒绝 是有说服力的，而接受 仅是 没有足够理由否定 。,3. 假设检验的方法及原理 1）反证法 为了判断 是否真，先假设 真。在 此假设下如果出现不合理结果，则否定 真；若未出现不合理结果，则可认为 真。,例如，检验 假设 成立，则 作为 的估计， 应该接近于0，但是，用样本观测值计算 得到 远远大于0，则可以认为 原假设 不真，从而拒绝 。,2）小概率原理 亦称实际推断原理，认为“小概率事件” 在一次试验中几乎不可能发生”。 若一次抽样得到的结果提示小概率事 件发生，则认为这样的结果是“不合理结 果”。,例如，检验 若合格率达到 0.90，则抽验100件产品 仅有60件合格是一个几乎不可能发生的 事件。然而，样本观测值显示这个事件 发生了，因此有理由认为原假设 不真,4. 对总体分布中的参数提假设并检验 的有关概念 1）双侧检验与单侧检验 双侧检验 单侧检验,2）检验方法 （1）根据已知条件提出原假设 和备择 假设 ； （2）构造统计量 并在 成立的条件 下确定统计量 的分布；,（3）根据备择假设 构造小概率事件 使得 通常 由临界值确定使小概率事件发生的 的取值范围，称其为拒绝域，记作 R （Rejection Region）,（4）计算由样本观测值得到的统计量的 值。 若统计量值属于拒绝域，则拒绝原 假设 ； 若统计量值不属于拒绝域，则接受 原假设 。,假设检验的错误 由样本对总体状况作出判断，实质是 用部分推断整体，因而可能出现两类错 误。 1）弃真错误（第一类错误） 即 正确，但检验结果拒绝了 犯弃真错误的概率是,2）采伪错误（第二类错误） 即 不正确，但检验结果不能否定 犯采伪错误的概率是 P 接受 不真 =,注意,1）“弃真”或“采伪”都以原假设 为参照 真，检验结果拒绝 ，犯弃真错误 伪，检验结果接受 ，犯采伪错误 真，检验结果拒绝 ，犯采伪错误 伪，检验结果接受 ，犯弃真错误,2）样本容量给定时， 减小会使 增 大，反之亦然； 若要 和 都小，则应增加样本容 量。 称只控制犯弃真错误概率的检验为“显著性检验”； 称 为显著性水平,2 单个正态总体参数的检验,设总体 是总体 的样本。样本均值和样本方差 分别为,1. 已知，检验 根据已知条件（正态总体、方差已 知、检验 ），可以构造统计量 如果原假设 成立，则 作为 的估计，Z 的值应该在 原点附近。双侧检验时，Z 的值过大或 过小即可认为原假设 不成立。,检验程序 （1）提出假设 （2）构造统计量 成立的条件下,（3）给定 确定临界值 拒绝域R （4）计算统计量值 若Z的值属于R，则拒绝 ； 否则，接受 。,例1（习题六第1题）设某种切割机切割 的每段金属棒长度 ，正 常状态下 ，现从一批产品中随机 抽取15根，测量结果如下（单位：cm）： 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 问显著性水平 下能否认为切割机 处于正常工作状态？,解 因为 =0.15（cm）已知，由样本 观测值计算得到 提出假设 成立时统计量 拒绝域,因为 所以接受 ，即 下可以认为 机器处于正常工作状态。,例2 （习题六第9题）设总体 是 的样本，检验 给出判别规则：显著性水平 下 当 时拒绝 。试确定常数 C。,解 =3已知，提出假设 成立时统计量 由 得到 所以 下 C =1.176 时拒绝 。,2. 未知，检验 检验程序 （1）提出假设 （2）构造统计量 成立的条件下,（3）给定 确定临界值 拒绝域R （4）计算统计量值 若 T 的值属于R，则拒绝 ； 否则，接受 。,3. 检验 检验程序 （1）提出假设 （2）构造统计量 成立的条件下,（3）给定 确定临界值 拒绝域R （4）计算统计量值 若 T 的值属于R，则拒绝 ； 否则，接受 。,例3 （习题六第3题）设某种建筑材料每 平方米的抗压力 ，合格产 品要求平均抗压力 不低于500（kg）, 标准差 不大于5.5（kg）。现随机抽验 5件测试，记第 i 件的抗压力为 计算得到 问显著性水平 下（1）能否认为 不大于5.5(kg)？（2）能否认为 不低 于500(kg)？,解 计算得到 （1） 成立时统计量 拒绝域,因为 所以接受 ，即 下可以认为标 准差 不大于5.5(kg)。,（2） 成立时统计量 因为 所以拒绝 ，即 下认为平均抗压 力 低于500(kg)。,注意,在检验问题中，接受或拒绝原假设 与显著性水平 有关。上例中，若 则拒绝域是 ，统计量 T 的 值不属于拒绝域，从而可以接受 。 实际问题中，可以根据检验问题的重 要性设定显著性水平 。,练习,1. 下列说法正确的是 假设检验是以小概率事件原理为依据的； B. 假设检验的结果总是正确的； 对同一总体同一统计假设用不同样本进行检验结果总是相同的； D. 由样本观测值即能判定原假设是否正确,2. 下列说法错误的是 A. 原假设 “伪”接受了 ，犯了采伪错误； B. 原假设 “真”接受了备择假设 ，犯了弃真错误； C. 备择假设 “伪”接受了 ，犯了采伪错误； D. 备择假设 “真”接受了原假设 ，犯了采伪错误,3. 总体方差已知检验 ： = 时下列情形中接受 可能性大的是 A. 样本容量n 大 B. 样本容量n小 C. 显著性水平 小 D. 显著性水平 大,4. 设总体X N（ ，9），若要检验 ： =2， ： 2，Z是构造的 统计量，则显著性水平 下拒绝域是 A. Z B. Z C. Z D. Z ,5. 设总体X ， 未知， 是样本均值。若要检验 ： = ， ： 则显著性水平下 与拒绝域的确定有关的是 A. ， ， B. ，样本容量 n ， C. ， D. ， ，样本容量 n,设总体X,，,D.,，,，样本容量 n,复习提示,理解假设检验的基本概念 1）怎样提原假设和备择假设？ 2）假设检验的原理是什么？ 3）怎样区分“弃真错误”和“采伪错误”？ 4）什么是“显著性检验”？,2. 应该掌握的检验方法 已知总体 1）检验 （1） 已知时怎样构造统计量？ 成立时统计量服从什么分布？ （2） 未知时怎样构造统计量？ 成立时统计量服从什么分布？,2）检验 （1） 已知时可以怎样构造统计量？ 成立时统计量服从什么分布？ （2） 未知时怎样构造统计量？ 成立时统计量服从什么分布？,3 两个正态总体参数的假设检验,设总体 ， 与 分别是取自 和 的样本，两样本相互独立 样本均值 样本方差,1. 检验 1） 已知 （1） （2）构造统计量 成立时,（3）给定 确定临界值 拒绝域R （4）计算统计量值 若统计量Z的值属于R，则拒绝 ； 否则，接受 。,2） 未知，但可以认为 （1） （2）构造统计量 成立时,（3）给定 确定临界值 拒绝域R （4）计算统计量值 若统计量T 的值属于R，则拒绝 ； 否则，接受 。,2. 检验 （1） （2）构造统计量 成立时,（3）给定 确定临界值 拒绝域R （4）计算统计量值 若统计量F的值属于R，则拒绝 ； 否则，接受 。,例4 （习题六第4题）设两箱灯泡的使用 寿命分别为 和 ， 分别抽取容量为9和18的两 个相互独立的样本，计算得到 ，问显著性水平 下能否认为两箱灯泡的平均使用 寿命无显著差异？,解 先检验两个总体的方差是否有显著 差异 构造统计量 成立时,已知 所以接受 ，即 下可以认为两 总体的方差无显著差异。,再检验两个总体的数学期望是否有显 著差异，可以提假设 构造统计量 成立时,已知 统计量的值 所以接受 ，即 下可以认为两箱 灯泡的平均使用寿命相等。,4 事件概率p的假设检验,设总体 服从两点分布，分布律为 是 的样本，则由所设， 有 n 充分大时， 近似服从标准正态分布,考虑大样本情形 （1）假设 （2） 成立时统计量 或 近似服从标准正态分布,（3）给定 确定临界值 拒绝域R （4）计算统计量值 若U的值属于R，则拒绝 ；否则，接 受 。,例5 某厂规定产品的次品率不超过1% 允许产品出厂。现从一批产品中随机抽 取150件，问显著性水平 下最多 发现几件次品可以允许这批产品出厂？,解 提出假设 成立时统计量 近似服从标准正态分布,由 得到 （ 是150件中的次品数） 所以， 下若要允许这批产品出厂 则抽验的150件产品中最多只能有3件次 品。,练习,怎样提假设？怎样构造统计量？怎样确 定拒绝域？怎样解读检验结果？ 设某企业职工的月收入 由抽取的40个数据计算得到 问显著性水平 下能否 认为职工的月平均收入 =2000？,提出假设 构造统计量 成立时 因为 所以拒绝 ，即 下不能认为职工 的月平均收入达到2000元。,2. 设购买某名牌车的人的年龄 随机调查该车购买者400人，得到 问显著性水平 下能否认 为买名车者的平均年龄是40岁？,提出假设 构造统计量 成立时U近似服从标准正态分布。 因为 所以拒绝 ，即 下认为买名 车者的平均年龄大于40岁。,
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