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第八章 哈密顿理论在物理学中的应用,8.1 连续体系的拉格朗日方程,8.2 电磁场的拉格朗日方程,8.3 薛定谔波动力学方程的建立,采用经典力学的哈密顿理论,加上电子具有波粒二象性的假设,以氢原子为例,建立定态波动力学方程。氢原子哈密顿函数为,8.4 刘维尔定理,相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变。 证明:统计系综的一个“样本”:力学体系有N个相同的粒子,每个粒子的坐标和动量为q、p 。 统计系综是由与这个力学体系的组成完全相同,但初始条件不同的许多个“样本”组成。 单个粒子相空间( 6 维空间): 3个坐标分量q, 3个动量分量p。 N个粒子构成 空间( 6 维空间). t 时刻,每个“样本”的q、p 确定,因此 空间中的每一个点表示一个“样本”在某一时刻的状态,这样的点称为“代表点”。因此统计系综就是 空间中的一群代表点。,这群代表点在 空间中的分布一般是不均匀的,因此可引入代表点密度的概念。,这是因为代表点的相轨迹是不会相交的。若相交,则表明相同力学体系在相同初始条件下有不同的运动规律,这和经典力学的基本假设相矛盾。,设在d 1 内,代表点的数目为dN1,则 = dN1 /d1 就代表点在d1 区域中的密度。经过时间 t 后,原来在d 1中的代表点运动到 空间的d 2的位置,如图所示,这两个体积元代表点的数目是相同的,即dN1 = dN2 。,刘维尔定理:相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变,即 =dN1/d1=dN2/d2=常数。,因为dN1=dN2 ,所以要证明上式,只要证明d1 = d2。分两步证明: 1、证明一个粒子的一对正则变量q、p 从t 到 t+dt 的变化可看成是一种正则变换。 证:只要找到一个适当的母函数,使变换后的新正则变量Q、P 为 Q= q+ dq , P= p+ dp , =1,2, ,N (1) 若取第二类正则变换母函数 F2 (q, P) = qP (2) 则:,这是全同正则变换。,Q= q+ dq , P= p+ dp , =1,2, ,N (1) F2 (q, P) = qP (2),比较(1)和(2)式,两者只相差无穷小量dq和dp,因此认为要得(1)式,可在(2)式的母函数中再加上一个无穷小量,即可取 F2 (q, P) = qP + G(q, P, t) (4) 为无穷小量, G 为任意函数。忽略二阶小量, (4)式近似为:F2 (q, P) qP + G(q, p, t) (5) (5)式正则变换称为无穷小正则变换。,F2 (q, P) qP + G(q, p, t) (5),令 = dt, G(q, p, t) = H(q, p, t) ,代入(5)式,得 F2 (q, P) qP + H(q, p, t)dt (6) 利用此母函数即得:,上式即为(1)式,即证明了相空间体积从d1变换为d2是一种正则变换.,2、证明相空间体积在正则变换下保持不变,即P =dq1dq3N dp1dp3N = dQ1dQ3N dP1 dP3N,当积分自变量从q、p 变到 Q、P 时,体积元的变换为: dQ1 dQs dP1 dPs = Ddq1 dqs dp1 dps (7) 式中D为雅可比行列式:,只要证明: D = 1,在证得了s = 1 时,D = 1,再利用雅可比行列式的一些性质,就可证明当 s = 3N 时也成立。由于运算比较繁琐,这里从略。 综合以上所得,刘维定理成立。,代表点密度为 = (q、p、t),其运动方程为,8.5 经典微扰理论,1、微扰论的基本思想: 非线性方程中的线性部分是严格可解,而非线性部分相对线性部分来说只是一个小的扰动。,
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