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数学高考总复习2.8函数模型及综合应用探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数模型及综合应用1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征.2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题.2018浙江,11,6分函数模型及综合应用解方程组分析解读1.函数模型及综合应用是对学生综合能力和素质的考查,主要考查利用给定的函数模型解决简单的实际问题.2.考查函数思想方法的应用,试题从实际出发,结合三角函数、不等式、数列等知识,加大对学生应用数学知识分析和解决问题能力的考查.在高考中往往以选择题、填空题的形式出现,属中等难度题.3.预计函数模型及综合应用的有关问题在2021年高考中出现的可能性很大,应高度重视.破考点 练考向【考点集训】考点函数模型及综合应用1.已知某服装厂生产某种品牌的衣服,销售量q(x)(单位:百件)关于每件衣服的利润x(单位:元)的函数解析式为q(x)=1 260x+1,0x20,90-35x,200且a1,xN*).若商品上架第1天的价格为96元,而上架第3天的价格为54元,则该商品上架第4天的价格为元.答案812【五年高考】A组自主命题浙江卷题组考点函数模型及综合应用(2018浙江,11,6分)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则x+y+z=100,5x+3y+13z=100,当z=81时,x=,y=.答案8;11B组统一命题、省(区、市)卷题组考点函数模型及综合应用1.(2019课标全国理,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1R3.设=rR.由于的值很小,因此在近似计算中33+34+5(1+)233,则r的近似值为 ()A.M2M1RB.M22M1RC.33M2M1RD.3M23M1R答案D2.(2019课标全国理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x(0,1时, f(x)=x(x-1).若对任意x(-,m,都有f(x)-89,则m的取值范围是()A.-,94B.-,73C.-,52D.-,83答案B3.(2017课标全国文,9,5分)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A. f(x)在(0,2)单调递增B. f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称答案C4.(2019北京文,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.答案130155.(2018天津文,14,5分)已知aR,函数f(x)=x2+2x+a-2,x0,-x2+2x-2a,x0.若对任意x-3,+), f(x)|x|恒成立,则a的取值范围是.答案18,2C组教师专用题组考点函数模型及综合应用1.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是() A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案D2.(2015陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin6x+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案C3.(2017山东理,15,5分)若函数exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.f(x)=2-xf(x)=3-xf(x)=x3f(x)=x2+2答案4.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是小时.答案245.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=ax2+b(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=ax2+b,得a25+b=40,a400+b=2.5,解得a=1 000,b=0.(2)由(1)知,y=1 000x2(5x20),则点P的坐标为t,1 000t2,设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y=-2 000x3,则l的方程为y-1 000t2=-2 000t3(x-t),由此得A3t2,0,B0,3 000t2.故f(t)=3t22+3 000t22=32t2+4106t4,t5,20.设g(t)=t2+4106t4,则g(t)=2t-16106t5.令g(t)=0,解得t=102.当t(5,102)时,g(t)0,g(t)是增函数.从而,当t=102时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=153.答:当t=102时,公路l的长度最短,最短长度为153千米.评析本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用,考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共16分) 1.(2019浙江高考“超级全能生”联考,9)已知f(x)=-2x,x0,x2-1,x0,若f(x)+21-x2+|f(x)-21-x2|-2ax-4=0恰有两个不等实根x1,x2,则实数a的取值所组成的集合为()A.22-2-2,0B.22-20,2C.22+20,2D.22+2-2,0答案A2.(2019 53原创题)设函数f(x)在(-,+)上有定义,且对任意的x,yR,有|f(x)-f(y)|x-y|,并且函数f(x+1)的对称中心是(-1,0),若函数g(x)-f(x)=x,则不等式g(2x-x2)+g(x-2)2,若函数g(x)=xf(x)-a的零点个数恰为2,则()A.23a87或a=-1B.23a87C.78a32或a=-1D.78a32答案D二、填空题(每空4分,共12分)5.(2019浙江镇海中学阶段性测试,15)若对于任意实数a(-,0)及bm,+),恒有b2a2b-2,则实数m的最小值为.答案26.(2020届浙江五校十月联考,15)定义maxa,b=a,ab,b,a0),对满足|x1-x2|1的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|1,则实数t的取值范围是.答案(0,4三、解答题(共30分)8.(命题标准样题,19)给出一个满足以下条件的函数f(x),并证明你的结论.f(x)的定义域是R,且其图象是一条连续不断的曲线;f(x)是偶函数;f(x)在(0,+)上不是单调函数;f(x)恰有2个零点.解析试题考查函数图象、函数的单调性、偶函数的概念与性质、函数零点的概念等数学知识,考查了函数的研究方法,数形结合的思想.试题采用开放式设计,答案不唯一.试题体现了理性思维和数学探究的学科素养,考查了逻辑推理能力、运算求解能力、创新能力,落实了基础性、综合性、创新性的考查要求.可取f(x)=|x2-1|.f(x)的定义域是R,且其图象是一条连续不断的曲线.因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.当0x1时, f(x)=x2-1, f(x)是增函数,所以f(x)在(0,+)上不是单调函数.f(x)=0恰有两个根x1=-1,x2=1,因此f(x)恰有2个零点.9.(2019浙江镇海中学阶段性测试,22)设函数f(x)=x|x-a|-x(aR).(1)讨论f(x)的奇偶性;(2)若存在实数a,对任意的x0,t,不等式-4f(x)6恒成立,求实数t的最大值及此时a的值.解析(1)当a=0时,f(x)=x|x|-x为奇函数.(2分)当a0时,f(-a)+f(a)=-2a|a|0,故f(x)不是奇函数,(3分)又f(-x)-f(x)=x(2-|x+a|-|x-a|),|x+a|+|x-a|=2不恒成立,所以f(x)也不是偶函数. (5分)综上:当a=0时,f(x)为奇函数;当a0时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (6分)(2)f(x)=x2-(a+1)x,xa,-x2+(a-1)x,xa.当a0,a+120,即a-1时,f(x)=x2-(a+1)x在0,t上为增函数,则f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(t).因为对任意x0,t时,有-4f(x)6 恒成立,所以存在a-1,使得f(t)6恒成立,即t2-(a+1)t6恒成立,即存在a-1,使得t-6ta+1成立,故有t-6t0,解得t6,所以当a-1时, 有00,a0,即-1a0时,f(x)=x2-(a+1)x在0,a+12上单调递减,在a+12,+上单调递增,又f(0)=0(-4,6),fa+12=-(a+1)24(-4,6).故只需f(t)6恒成立,即t2-(a+1)t6恒成立.即存在-1a0,使得t-6ta+1成立,故有t-6t1,解得t3.所以当-1a0时,有0t3.(10分)当a+12a,a-120,即0a1时,则f(x)=x2-(a+1)x,xa,-x2+(a-1)x,0xa在0,a+12上为减函数,在a+12,+上为增函数,又f(0)=0(-4,6),fa+12=-(a+1)24(-4,6).故只需f(t)6恒成立,即t2-(a+1)t6恒成立.即存在0a1,使得t-6ta+1成立,故有t-6t2,解得t1+7.所以当0a1时, 有00,a+121时,f(x)在0,a-12上为增函数,在a-12,a上为减函数,在(a,+)上为增函数,又f(0)=0(-4,6),f(a)=-a0.要使不等式-4f(x)6恒成立,需f(a)=-a-4,fa-12=(a-1)246,解得1a4.从而转化为存在a(1,4,使得t2-(a+1)t6成立.即存在a(1,4,使得t-6ta+1成立.即t-6t5,解得0t6.(14分)综上,存在a(1,4,t的最大值为6,此时,由f(6)=36-6(a+1)6,解得a4,从而a=4.(15分)8学好数理化，走遍天下都不怕
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