新课标高一数学集合与函数概念复习资料

新课标高一数学集合和函数概念复习一、 集合1：集合的3性：1：确定性； 2：互异性； 3：无序性； 例：成绩好的同学不能构成一个集合；由HAPPY的字母组成的集合为H,A,P,Y；集合1,2,3和集合2,3,1是相等的，即：1,2,3=2,3,1； 2：元素a与集合A的关系只有属于aA和不属于aA； 3：常用数集有：N：自然数集；Z：整数集；Q：有理数集；R：实数集N或N+：正整数集；Z或Z+：正整数集；17311QQ *； 1N，0N，-2N，例：-2Z，0.5Z，0.5QQ，3 R，pQ，pR；4：集合的表示法：1：列举法； 2：描述法；例：大于0小于20的偶数组成的集合用列举法和描述法表示如下： 1,2,3=2,3,1=x|x=2k,0k210； x+y=3x-y=1x|x-2x-3=0=3,-1，方程组的解组成的集合为：(2,1)；5：集合间的根本关系：子集或和真子集或；1A的子集包括自己，即AA；但是A的真子集不包含自己即AA； 例：0,1,2N； N苘ZQ R；2空集：不含任何元素的集合；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；3假设集合A有n个元素，那么A的子集有2n个，真子集有2n-1，非空真子集有2-2； n例：集合a,b,c的子集有2=8个：，a，b，c，a,b，a,c，b,c，3a,b,c；真子集有2-1=7：，a，b，c，a,b，a,c，b,c； 3非空真子集有2-2=6：a，b，c，a,b，a,c，b,c； 31 6：集合的根本运算：并集U，交集I，补集UAU为全集；1AUB=x|xA或xB，AIB=x|xA且xB，UA=x|xU，且xA；例：A=3,5,6,8，B=4,5,7,8,那么AUB=3,4,5,6,7,8，AIB=5,8； 集合A=x|3x7，B=x|2x0，f:AB，求绝对值；不是，因为A中的元素0在B中无元素和它对应；2A=Z，B=R，f:AB，求算数平方根；不是，因为A中的负数没有算数平方根；3A=N，B=R，f:AB，求平方根；不是，因为A中的每一个元素除0外都有2个平方根，不满足“唯一确定；4A=x|x是新华中学的班级，B=x|x是新华中学的学生，对应关系f:2 每一个班级都对应班里的学生；不是，因为新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即A中一个元素在B中不止一个元素与它对应，不满足“唯一确定；5A=x|x是圆，B=x|x是三角形，对应关系f:每一个圆对应它的2f(x)= 3f(x)=+1；(x-1)20x-30； 4f(x)=； 5f(x)= 6f(x)=3； 7一位阿姨带了100元去菜市场买西红柿，西红柿4元每千克，请问这位阿姨买西红柿的用去的钱y元与买的重量x千克之间的关系？ 注：写出一个函数一定要写出它的定义域，不写默认为使它有意义的实数的集合； 3：函数的三要素：定义域、对应法那么f、值域函数值的取值集合；函数的值域是由函数的定义域和对应法那么f决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数相等，因此判断两个函数是否相等只需要判断它们的定义域和对应法那么是否相同即可；例：判断以下各组函数是否表示相等函数；1f(x)=1和f(x)=x；不是，前者的定义域为R，后者为x|x0；2f(x)=x和f(x)=3 不是，虽然二者定义域都为R，但是f(x)=x-9x-322=x，二者的对应法那么不同； 3f(x)=和f(x)=x+3； 不是，f(x)=x-9x-3=x+3，二者对应法那么相同，但是定义域不同，前者的定义域为x|x3，后者的定义域为R；4：函数表示法：解析法、图像法、列表法；求函数的解析式：待定系数法和换元法注意新元的范围；1待定系数法；例：f(x)是一次函数，且满足：2f(2)-3f(1)=5，2f(0)-f(-1)=1，求f(x)的解析式；解：设f(x)=kx+b(k0)，那么f(2)=2k+b，f(1)=k+b，f(0)=b，2(2k+b)-3(k+b)=5 f(-1)=-k+b，代入得：2b-(-k+b)=1解得：k=3b=-2，所以：f(x)=3x-2；例：f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7，f(0)=-3，求f(x)的解析式；本例等价于：f(x)是二次函数，其图像经过点(2,-3)、(-2,-7)、(0,-3)，求f(x)的解析式；解：设f(x)=ax+bx+c(a0)，那么f(2)=a(2)+b2+c=4a+2b+c， f(-2)=a(-2)+b(-2)+c=-4a-2b+c，f(0)=a(0)+b0+c=c， 22221a=-4a+2b+c=-32代入得：-4a-2b+c=-7，解得：b=1； c=-3c=-3所以：f(x)=-12x+x-3； 22换元法注意新元的范围；例：f(2x)=x-x-1，求f(x)的解析式；42解：令t=2x，那么x=t，f(t)=()-1=-1， 22242t2ttt2所以：f(x)=x42-x2-1；例：f+1)=x+，求f(x)的解析式；解：令t=1，那么t1注意新元的范围，t-1=22x=(t-1) 2f(t)=(t-1)+2t=t-1(t1)，所以：f(x)=x2-1(x1)一定要标明定义域； 例：f()=x111+x，求f(x)的解析式； 1t(t0)， 解：令t=f(t)=1x，Qx-1，t-1注意新元的范围，那么x=tt+1xx+111+1t(t0,t-1)， 所以：f(x)=(x0,x-1)一定要标明定义域； 例：f(x+1x)=x+1x22+1x，求f(x)的解析式； 1t-1解：令t=x+1x，tx=x+1tx-x=1(t-1)x=1x=1+11t-1(t-1)=12(t1)， f(t)=t-112()t-12(1)+12+1+(t-1)=21+(t-1)12+(t-1)=t-t+1(t1)2(t-1)所以：f(x)=x-x+1(x1)；5：函数图像和分段函数1几种常见的函数图像；一次函数：y=kx+b(k0)两点确定一条直线； 反比例函数：y=kx2(k0)双曲线； 二次函数：y=ax+bx+c(a0)抛物线；2函数图像的变换：平移变换+翻折变换；5 平移变换：左加右减，上加下减；本质是换元法； y=f(x)上y=f(xa)b； 下平移b0个单位左平移2个单位例：y=2x+4向y=2(x+2)+4=2x+8(将x换成x+2)；左右平移a0个单位y=2x+4y=(2x+4)-2=2x+2；向下平移2个单位y=2x+3x+4向y=2(x-3)+3(x-3)+4+5=2x-9x+18； 上平移5个单位2向右平移3个单位22例：y=3x2-2x+6的图像是由y=f(x)图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到，试求y=f(x)的解析式；解：逆向思维由题意可知： y=3x2-2x+6向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到y=f(x)；所以：f(x)=3(x-2)2-2(x-2)+6-4=3x2-14x+22；例：试求函数y=2x2-2x-3到函数y=2x2+2x-7是经过怎样的平移变换； 翻折变换：y=f(x)3y=f(x)； x轴翻折上去；、擦除x轴下方的图像y=f(x)y=f(x)； 3、将y轴右方的图像关于y轴翻折到y轴左边；1、保存y轴右方的图像；2、擦除y轴左方的图像；1、保存x轴上方的图像；2、将x轴下方的图像关于例：画出以下函数的图像；1y=3x-3； 2y=3x-3； 3y=x2-2x-1；24y=x-2x-1； 5y=2x； 6y=2x-1；7y=2x-1； 8y=2x-1； 9y=2x-1；6：函数的单调性：增函数单调增、减函数单调减； 1定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是；区间D称为函数f(x)的单调增区间；反映在图像上就是，从左到右，图像连续上升；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是；区间D称为函数f(x)的单调减区间；反映在图像上就是，从左到右，图像连续下降；补充：下面我们将增或减函数的定义分拆成3块：jx1x2；kf(x1)f(x2)；lf(x)是增函数或减函数；这3块中任何两块都可以推出另一块；定义中就是是由j和k可推出l；例：函数f(x)是区间(0,+)上的减函数，试比拟f(a2-a+1)与f()的大小关43系；解：Qa2-a+1=a2-a+()2+2134=(a-12)+23434，又f(x)是区间(0,+)上的减函数，32f(a-a+1)f()；4例：f(x)是定义在-1,1上的增函数，且f(x-1)f(1-3x)，求x的取值范围； -1x-11解：Qf(x)是定义在-1,1上的增函数，-11-3x1，x-11-3x0x2120x，即0x；231x2的解集；解：1令x=0,y=0，那么f(0)=f(0)+f(0)，f(0)=0； 2令x=3,y=3，那么f(9)=f(3)+f(3)=1+1=2； 3Qf(x+2)-f(x)2，f(9)=2，f(x+2)-f(x)f(9)，即：f(x+2)f(x)+f(9)，又Qf(xy)=f(x)+f(y)，f(x)+f(9)=f(9x)，7 f(x+2)f(x)+f(9)转化为f(x+2)f(9x)，又Qf(x)是定义在(0,+)上的增函数，x-2x+201，即x0，0x04x+29x1x0,f(x)在R上是增函数，R为单调增区间一次函数f(x)=kx+b(k0)；当k0f(x)的单调减区间是(-,-b，单调增区间是-b,+);2a2ab图像开口向下,在对称轴(x=-)右边上升(单调增),左边下降(单调减)；2a当a0,图像经过1,3象限，单调减区间为(-,0)和(0,+)；不是(-,0)U(0,+)当k0,图像经过2,4象限，单调增区间为(-,0)和(0,+)；不是(-,0)U(0,+)注意：反比例函数的单调区间要用“和或“，分开，不能写成并集U的形式； 3函数单调性的证明，四步：取值作差变形定号结论； 作差变形方法：分组分解、通分、分子有理化，配方法等；作差变形的结果一定是几个因式的乘积或比，且必须含有因式(x1-x2)(x2-x1)； 例分组分解证明：函数y=x-2x+6在1,)上是增函数； 证：取1,)内任意x1，x2，且x1x2，定号f(x1)-f(x2)=(x-2x1+6)-(x-2x2+6)=(x-x)-(2x1-2x2)212221222=(x1-x2)(x1+x2)-2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2-2)Q1x1x2，x1-x22,即x1+x2-20， 8 f(x1)-f(x2)0，函数y=x-2x+6在1,)上是增函数；2例通分证明：函数f(x)=x+9x在(1,3上单调减；证：取(1,3内任意x1，x2，且x1x2， f(x1)-f(x2)=(x1+9x1)-(x2+9x2)=(x1-x2)+(9x1-9x29x1x2)=(x1-x2)+(=(x1-x2)(9(x2-x1)x1x2)=(x1-x2)(1-x1x2-9x1x2Q0x1x23，x1-x20，0x1x29，x1x2-90，函数f(x)=x+9x在(1,3上单调减；0,+)上是增函数；例分子有理化证明：函数f(x)=证：取0,)内任意x1，x2，且x1x2， f(x1)-f(x2)=22=22，=Q0x1x2，x1-x20f(x1)-f(x2)00，函数f(x)=0,+)上是增函数；3结论 例配方法证明：函数f(x)=x在(-,上是增函数；证：取(-,+)内任意x1，x2，且x1x2，9 f(x1)-f(x2)=x1-x2=(x1-x2)(x1+x1x2+x2)=(x1-x2)x1+x1x2+(=(x1-x2)(x1+x22)+x22223322x22342)+x2342234x2，2Qx1x2，x1-x20，而(x1+f(x1)-f(x2)0，2函数f(x)=x在(-,+)上是增函数；33函数单调性的性质；【1】假设函数f(x)在区间a,b上是增函数，那么当k0时，kf(x)在区间a,b上是增函数，当k0时，kf(x)在区间a,b上是减函数，当k0，f(x)在(-,-a)和(-a,+)上是减函数；单调减区间：(-,-a)和 (-a,+)；当k0)耐克函数；是减函数；f(x)在(-,和+)上是增函数，在0)和单调增区间：(-,和+)，单调减区间：0)和； 注：可以用单调性的定义来证明这个结论； 例：函数y=9x+x，在(-,-3和3,+)上是增函数，在-3,0)和(0,3是减函数；bx-(b0,0)【3】：y=ax2利用函数的单调性：先证明该函数的单调性，再求最值； 例：求函数y=x-1x在区间-2,-1上最值；1x解：Q y=x和y=-y=x-1x在区间-2,-1上都是增函数， 在区间-2,-1上是增函数，12=-32 当x=-1时，ymax=-1+1=0，当x=-2时，ymin=-2+；11 8：函数的奇偶性：奇函数和偶函数；1定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I： 奇函数：对I 2f(x)=3xx+12；3f(x)=x+1+x-1；解：1f(x)的定义域为(-,-1)U(-1,+)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数；2f(x)的定义域为R，且3(-x)(-x)+12f(-x)=-3xx+12=-f(x)，所以f(x)是奇函数；3f(x)的定义域为R，且f(-x)=-x+1+-x-1=x-1+x+1=f(x)，所以f(x)是偶函数；例：f(x)是偶函数，且在-4,0是减函数，试比拟f(1)和f(3)、f(-2)和f(4)的大小；解：Qf(x)在-4,0是减函数，f(-3)f(-1)，f(-4)f(-2)；又f(x)是偶函数， f(3)=f(-3)，f(1)=f(-1)，f(4)=f(-4)，f(2)=f(-2)；所以：f(3)f(1)，f(4)f(-2)；例：假设f(x)=(x+1)(x-a)是偶函数，求a；12 解：Qf(x)=(x+1)(x-a)=x2+(1-a)x-a，定义域为R，2又f(x)是偶函数，即f(-x)=f(x)， f(-x)=(-x+1)(-x-a)=x-(1-a)x-a，22x-(1-a)x-a=x-(1-a)x-a，2(1-a)x=0对任意x都成立， (1-a)=0，a=1； 注：假设f(x)=anxn+an-1xn-1+L+a2x2+a1x+a0为0，反之也成立；如：f(x)=4x4-3x2+3是偶函数； 例：f(x)=ax3+bx2+cx+d，当a、b、c、d满足什么条件时，1f(x)是偶函数；2f(x)是奇函数；解：1由上例可知：当a=c=0时f(x)是偶函数；2f(-x)=a(-x)3+b(-x)2+c(-x)+d=-ax3+bx2-cx+d， 又f(x)是奇函数，即：f(-x)=-f(x)，-ax+bx-cx+d=-(ax+bx+cx+d)=-ax-bx-cx-d，22bx+2d=0对任意x都成立，b=d=0； 323232nn-12注：假设f(x)=anx+an-1x+L+a2x+a1x+a0是奇函数，那么其偶数次项的系数都为0，反之也成立；如：f(x)=4x-3x+3x是奇函数；2函数奇偶性的应用；【1】利用函数的奇偶性求函数值；例：f(x)=x+ax+bx-8，其中a、b为常数，且f(-2)=10，试求f(2)； 解：由前面的例子可知：g(x)=x+ax+bx=f(x)+8是奇函数， g(2)=-g(-2)，又g(-2)=f(-2)+8=10+8=18，g(2)=-18， f(2)=g(2)-8=-18-8=-26； 535353例：f(x)=ax+bx-4，其中a、b为常数，且f(m)=5，试求f(-m)； 解：g(x)=ax+bx=f(x)+4是奇函数，1333g(-m)=-g(m)，g(m)=f(m)+4=5+4=9，g(-m)=-g(m)=-9， f(-m)=g(-m)-4=-9-4=-13；【2】利用函数的奇偶性求函数的解析式；例：假设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0，那么-x0)(x=0)； (x0，试判断a+b的正负；解：Qf(a)+f(b)0，f(a)-f(b)，又Qf(x)是定义在R上的奇函数，f(-b)=-f(b)，f(a)f(-b)，又f(x)在R上为减函数，a-b，a+b0，求实数m的取值范围；解：由f(m)+f(m-1)0，可得：f(m)-f(m-1)，14 又Qf(x)是奇函数，-f(m-1)=f(1-m)，f(m)f(1-m)， 又Qf(x)是奇函数，且f(x)在区间0,2上单调递减，f(x)在-2,2上是减函数，又f(m)f(1-m)-1m3-21-m21，即：-2m2，-1mm1m2例：设函数f(x)是R上的偶函数，在区间(-,0)上递增，且 f(2a+a+1)0，2a-2a+3=2(a-212)+2520，且f(2a2+a+1)2a-2a+3，即3a-20，解得：a23； 补充：抽象函数题例：f(0)=1，f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)，求f(x)；2解法一：令a=0，那么f(-b)=f(0)-b(-b+1)=b-b+1，2再令x=-b，即b=-x，得：f(x)=x+x+1；解法二：令b=a，那么f(a-a)=f(a)-a(2a-a+1)=f(0)=1， f(a)=a+a+1，f(x)=x+x+1； 22例：设f(x)是定义在(0,+)上的函数，满足条件：1f(xy)=f(x)+f(y)；23f(x)在(0,+)上是增函数； f(2)=1；如果f(2)+f(x-3)2，求x的取值范围；解：Qf(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，f(4)=f(2)+f(2)=2，15 f(2)+f(x-3)=f2(x-3)=f(2x-6)， f(2)+f(x-3)2转化为 f(2x-6)f(4)，又Qf(x)在(0,+)上是增函数， 2x-60，解得：31时，f(x)0；1求f(1)；2求证：f(x)在(0,+)上是增函数；3判断f(x)在定义域内的奇偶性；解：1令x=y=1，得：f(1)=f(1)+f(1)，f(1)=0；2证明：令y=111x，得：f(1)=f(x)+f(x)=0，即：f(x)=-f(x)，任取x1,x2(0,+)，且x1x2，那么f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(1x)=f(x21x)， 1Q0x11，又当x1时，f(x)0，f(x21x)0， 1f(x2)-f(x1)0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0,+)上是增函数；3令x=y=-1，得：f(1)=f(-1)+f(-1)=0，f(-1)=0， 再令y=-1，那么：f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)， f(x)是偶函数；16