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专题 圆锥曲线：第三讲 抛物线活动一：基础检测1(2010四川)抛物线y28x的焦点到准线的距离是_2若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为_3(2011陕西改编)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是_4设F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若0，则|_.5(2010佛山模拟)已知抛物线方程为y22px (p0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M、N两点，那么MFN_.6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同则此双曲线的渐近线方程为 活动二：探究点一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PAPF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标变式迁移1已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为_探究点二求抛物线的标准方程例2已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程探究点三抛物线的综合题例3过抛物线y22px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示(1)若A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2p2；(2)若直线AO与抛物线的准线相交于点C，求证：BCx轴变式迁移3已知AB是抛物线y22px (p0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)求证：(1)x1x2；(2)为定值活动三：自主检测：一、填空题1(2011大纲全国改编)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB等于_2(2011淮安模拟)设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若4，则点A的坐标为_3(2011重庆，15)设圆C位于抛物线y22x与直线x3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为_4已知A、B是抛物线x24y上的两点，线段AB的中点为M(2,2)，则AB_.5(2010浙江)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0，2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_6、（南京市、盐城市2015届高三）若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则 7、（盐城市2015届高三第三次模拟考试）若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则的值为 二、解答题8(14分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x1所得的弦长为，求抛物线方程9(14分)(2010韶关一模)已知抛物线C：x28y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQBQ.10(14分)(2010济南一模)已知定点F(0,1)和直线l1：y1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹C于两点P、Q，交直线l1于点R，求的最小值抛物线 答案自主梳理1相等焦点准线自我检测142.43y28x解析因为抛物线的准线方程为x2，所以2，所以p4，所以抛物线的方程是y28x.465.90 6、例1解题导引重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径解将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知PAPFPAd，当PAl时，PAd最小，最小值为，即PAPF的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P坐标为(2,2)变式迁移1解析点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图，PFPQPSPQ，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是1，点P的坐标为.例2解题导引(1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p的值)解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；(3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把PF转化为点P到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用解方法一设抛物线方程为x22py (p0)，则焦点为F，准线方程为y.M(m，3)在抛物线上，且MF5，解得抛物线方程为x28y，m2，准线方程为y2.方法二如图所示，设抛物线方程为x22py (p0)，则焦点F，准线l：y，作MNl，垂足为N.则MNMF5，而MN3，35，p4.抛物线方程为x28y，准线方程为y2.由m2(8)(3)，得m2.例3解题导引解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质焦点弦有以下重要性质(AB为焦点弦，以y22px (p0)为例)：y1y2p2，x1x2；ABx1x2p.证明(1)方法一由抛物线的方程可得焦点坐标为F.设过焦点F的直线交抛物线于A，B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为yk，由消去x，得ky22pykp20.(*)当k0时，方程(*)只有一解，k0，由韦达定理，得y1y2p2；当斜率不存在时，得两交点坐标为，y1y2p2.综合两种情况，总有y1y2p2.方法二由抛物线方程可得焦点F，设直线AB的方程为xky，并设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B坐标满足消去x，可得y22p，整理，得y22pkyp20，y1y2p2.(2)直线AC的方程为yx，点C坐标为，yC.点A(x1，y1)在抛物线上，y2px1.又由(1)知，y1y2p2，yCy2，BCx轴变式迁移3证明(1)y22px (p0)的焦点F，设直线方程为yk (k0)，由，消去x，得ky22pykp20.y1y2p2，x1x2，当k不存在时，直线方程为x，这时x1x2.因此，x1x2恒成立(2).又x1x2，代入上式得常数，所以为定值自主检测：1解析方法一由得或令B(1，2)，A(4,4)，又F(1,0)，由两点间距离公式得|BF|2，|AF|5，|AB|3.cosAFB.方法二由方法一得A(4,4)，B(1，2)，F(1,0)，(3,4)，(0，2)，|5，|2.cosAFB.2.(1，2)3.1解析如图所示，若圆C的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a0)，则，消去y得，4x2(2p4)x10，x1x2，x1x2，(4分)AB|x1x2|，(7分)则 ，p24p120，解得p6(p2舍去)，抛物线方程为y212x.(9分)(2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y22px (p0)，仿(1)不难求出p2，此时抛物线方程为y24x.综上可得，所求的抛物线方程为y24x或y212x.(14分)9证明因为直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)由可得x28kx160，x1x28k，x1x216.(4分)抛物线方程为yx2，求导得yx.(7分)所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1x1，k2x2，k1k2x1x2x1x21.所以AQBQ.(14分)10解(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，所求轨迹的方程为x24y.(5分)(2)由题意直线l2的方程为ykx1，与抛物线方程联立消去y得x24kx40.记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.(8分)因为直线PQ的斜率k0，易得点R的坐标为.(9分)(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(x1x2)44(1k2)4k448，(11分)k22，当且仅当k21时取到等号42816，即的最小值为16.(14分)8
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