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,教材：吴，复变函数，华工出版社 参考:1西安交大，复变函数，高教出版社 2杨纶标，复变函数，科学出版社,复变函数论,多媒体教学课件,覃永安 15302276149 2010.9,第一章、复数与复变函数,1.1 复数,复数:,复数相等是指?虚数? 纯虚数?,复数的四则运算:,复平面:,复平面:,模：,非零复数的辐角：,复数的共轭：,复数的三角表示:,复数加、减法的几 何表示如下图：,基本不等式:,例1试用复数表示圆的方程:,例2,设 、 是两个复数，证明：,三角表示的乘法：,三角表示的乘法：,欧拉公式；指数表示式；三种表示式的互化:关键是会用 表示幅角。,复数的乘幂：,复数的乘幂：,可以看到，k=0,1,2,n-1时，可得n个不同的值，即z有n个n次方根，其模相同，辐角相差一个常数，均匀分布于一个圆上。 这样，复数的乘幂可以推广到有理数的情形。,例5、求所有值：,解：由于,所以有,有四个根。,复球面与无穷大:,无穷远点:,对应于球极射影为N，我们引入一个新的非正常复数无穷远点，,称 为扩充复平面，记为 。,无穷远点:,关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：,它和有限复数的基本运算为：,这些运算无意义：,第一章 复数与复变函数 1.2 复变函数,复变函数的定义:,注3、复变函数等价于两个实变量的实值函数： 若记 z=x+iy， w=Ref(z)+iImf(z)=u(x,y)+iv(x,y)， 则f(z)等价于两个二元实变函数u(x,y)和v(x,y) 。,函数的几何意义:,函数f也称为从E到C上的一个映射或映照。,函数的几何意义:,单射，双射，一一对应，反函数。,复变函数极限的定义,复变函数极限与实值函数极限,注解：,1、几何意义： 2、与重极限的关系： 3、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）,复变函数连续性的定义,复变函数连续性与实值函数连续性的关系,注1、实初等函数在其有定义的地方连续。,注解：,1、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）； 2、复合运算； 3、关于实变连续的函数的基本性质也可以推广过来：如一致连续性、闭区域上连续函数的基本性质（一致连续性、有界性、取到极大模和极小模等）。 4、同样我们也可以定义非正常极限。,例6,2.1 解析函数,导数,解析,Cauchy-Riemann方程,解析的充要条件,2.2(1)初等函数 (1)指数函数与对数函数,指数函数的定义：,指数函数的基本性质,对数函数的定义：,对数函数的主值：,三种对数函数的联系与区别：,对数函数的基本性质,2.2(2) 初等函数 (2)三角函数与反三角函数,三角函数的概念:,三角函数的基本性质:,则对任何复数z，Euler公式也成立：,cosz和sinz是单值函数； cosz偶，sinz奇;,所有三角公式也成立.,三角函数的基本性质:,cosz和sinz以 为周期,零点也与实的一样.,三角函数的基本性质:,不成立:,三角函数的基本性质:,在整个复平面解析：,其它三角函数,反三角函数,掌握计算表达式的推导方法,2.2(3)初等函数 （3） 幂函数 双曲、反双曲函数,幂函数的定义:,当a为正实数，且z=0时，还规定,幂函数的基本性质：,等于n次方根.,幂函数的基本性质：,幂函数的基本性质：,其中 应当理解为某个分支。,双曲函数,chz和shz以2pi为周期, chz偶, shz奇 (chz)=shz, (shz)=chz,反双曲函数计算公式的推导方法类似于反三角函数,第三章 复变函数的积分,3.1复积分定义、性质及计算,复积分定义:分割,取点,求和,取极限.,直接计算法:把曲线参数方程代入化 为定积分.,存在性:连续函数必可积.,性质:反向变号,线性,模不等式.,一个重要例题:,3.2- 3.3 柯西-古萨基本定理 复合闭路定理 原函数与不定积分,沿某一条曲线,第三章 复变函数的积分,柯西-古萨基本定理,连续变形原理,复合闭路定理,“牛莱公式”,回忆以上内容,并总结一下 求积分的方法,第三章 复变函数的积分,3.4-3.5柯西积分公式高阶导数公式*调和函数,第三章 复变函数的积分 复积分的定义、性质及计算 柯西定理 复合闭路定理 原函数与不定积分,本章小结,柯西积分公式高阶导数公式*调和函数,分割,取点,求和,取极限.,复积分概念:,柯西-古萨定理:,D,C,复合闭路定理:,D,C,闭路变形原理:,一个重要的结果:,z0,r,. z0,更一般:,积分的模不等式:,. z0,柯西积分公式:,z0,平均值公式:,. z0,D,C,高阶导数公式:,解析函数的无穷可微性（重要特性）,由复合闭路定理,典型例子:,更一般地,高阶导数公式的应用（补充知识,不要求掌握）,柯西不等式:,z0,C,刘维尔:复平面上解析且有界的复函数是常数.,代数基本定理:在复平面上n次多项式至少有一个零点.,实部和虚部调和;调和是实部,也是虚部.,由实部或虚部求解析函数: 偏积分法,不定积分法,线积分法.,解析与调和,总之,本章介绍了复积分的概念和几个积分定理和公式,核心是掌握复积分的计算.已介绍的方法有:,提要,此外,还有用级数计算(ch4),用留数计算(ch5).,(1)将曲线的参数方程代入，化为定积分;,(2)求不定积分，用牛顿-莱布尼兹公式计算;(前提条件?),(3)用柯西积分公式以及高阶导数公式计算.,另外,要掌握已知解析函数的实部或虚部求解析函数的方法(偏积分法、不定积分法、线积分法)(掌握一种).,第四章 级 数,4.1(1)复(函)数项级数,复数序列,zn,极限,定理:序列zn收敛（于z0）的必要与充分条件是：序列an收敛（于a）以及序列bn收敛（于b）。(充要条件)(归结性),复数项级数就是,部分和序列：,如果序列 收敛，那么我们说级数 收敛；,定理:如果级数 收敛，那么,充要条件,归结性?,绝对收敛,相对收敛,定理: 级数 绝对收敛的充要条件是：,级数 以及 绝对收敛.,定理: 若级数绝对收敛，则它一定收敛。,柯西收敛原理（复数项级数）：级数,收敛必要与充分条件是：任给,可以找到一个正整数N，使得当nN，p=1,2,3,时,柯西收敛原理（复数序列）：序列,收敛必要与充分条件是：任给,可以找到一个正整数N，使得当m及nN，,定理: 如果复数项级数 及 绝对收敛,并且它们的和分别为,那么级数（它们的柯西积）,也绝对收敛，并且它的和为,(证略),4.1(2)复(函)数项级数,函数项级数,复变函数项级数:,部分和: sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z),复变函数项级数,在 z0 收敛:,和: s(z0).,在D内处处收敛, 则有 和函数s(z): s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.,函数项级数,幂级数,定理(阿贝尔Abel),z0,x,y,O,幂级数,收敛圆.,在收敛圆的外部, 级数发散. 收敛圆的内部,级数绝对收敛.,收敛圆的半径R称为收敛半径.,在收敛圆上是否收敛, 则不一定.,幂级数,幂级数,收敛半径的求法:,幂级数,幂级数,幂级数的运算和性质:,更为重要的是代换(复合)运算:,这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用.,幂级数,幂级数的运算和性质:,幂级数,幂级数的运算和性质:,幂级数,幂级数的运算和性质:,3) 可逐项积分, 即,第四章 级 数,4.2 泰勒级数,泰勒展开式定理,定理 设函数f(z)在圆盘,内解析，那么在U内，,解析函数的幂级数刻画,定理 函数f(z)在一点z0解析的必要与充分条件是：它在z0的某个邻域内有幂级数展式。,解析函数幂级数展式的唯一性定理,定理 在幂级数展开式定理中，幂级数的和函数f(z)在U内不可能有另一种形式的幂级数。 注解：于是,我们可以用多种方法求一个函数的泰勒展式，所得结果一定相同。常用的方法有:直接法-直接计算系数法,间接法-代换(复合)运算法、导数(或积分)法.,例1、求函数,牢记这三个函数的展式!,sinz, cosz=?,例2、,|z|1。,例3、 求,的解析分支 在z=0的泰勒展式（其中a不是整数）.,|z|1,例3、,其中,这是二项式定理的推广，对a为整数情况也成立。,例4、,函数sec z 在,解析函数的零点,z0是f(z)的m阶零点,单零点。,如果z0是解析函数f(z)的一个m阶零点，那么显然在它的一个邻域U内,其中 在U内解析。,解析函数的零点,定理 设函数f(z)在z0解析，并且z0是它的一个零点，那么或者f(z)在z0的一个邻域内恒等于零，或者存在着z0的一个邻域，在其中z0是f(z)的唯一零点。,此性质我们称为解析函数零点的孤立性。,解析函数的唯一性(补充知识,不作要求),定理（解析函数的唯一性定理）设函数f(z)及g(z)在区域D内解析。设zk是D内彼此不同的点(k=1,2,3,)，并且点列zk在D内有极限点。如果，,那么在D内，f(z)=g(z)。,重点,掌握泰勒展开式定理的内容,会求一个给定的函数的泰勒展开式(直接法或间接法).,第四章 级 数,4.3 洛朗级数,解析函数的洛朗展式：,我们称级数,为洛朗级数。 收敛?和函数?收敛域?解析部分?主要部分?,洛朗级数的和函数是圆环D内的解析函数， 反之,圆环内的解析函数必可展开为洛朗级数 即有,洛朗定理：,洛朗定理 设函数f(z)在圆环：,内解析，那么在D内,其中，,是圆 是一个满足 的任何数。并且,展式是唯一的.,求洛朗展式一般用间接法,要求掌握好.,第四章 级 数,4.4 孤立奇点,解析函数的孤立奇点：,为f(z)的孤立奇点:,孤立奇点的分类可去奇点：,(1)可去奇点:无负幂项.,孤立奇点的分类-极点：,（2 ) 极点:有有限个负幂项.,单极点,m阶极点.,孤立奇点的分类本性奇点：,（3）、本性奇点:无限多负幂项,可去奇点的刻画：,定理 函数f(z)在,内解析，那么 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，,其中 是一个复数。,可去奇点的刻画：,定理 函数f(z)在,内解析，那么 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在某一个正数 ,使得f(z)在 内有界。,极点的刻画：,定理 设函数f(z)在,内解析，那么 是f(z)的极点的必要与充分条件是：,极点的刻画：,定理 (m阶极点的结构 ) z0是函数f(z)的m阶 极点的充要条件是存在某个正数,使得在 内f(z)可以表示为,本性奇点的刻画：,定理 函数f(z)在,内解析，那么 是f(z)的本性奇点的必要与充分条件是：不存在有限或无穷极限,解析函数在无穷远点的性质,设函数f(z)在区域,内解析，那么无穷远点称为f(z)的孤立奇点。在这个区域内，f(z)有洛朗级数展式：,解析部分,主要部分.,解析函数在无穷远点的性质,（1）可去奇点:无正幂项.,（2）极点:有有限个正幂项.,单极点,m阶极点.,（3）本性奇点:无限多个正幂项.,在无穷远点解析.,解析函数在无穷远点的性质,设无穷远点为f(z)的孤立奇点,令 ，,如果w=0是 的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点，那么分别说 是f(z)的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点。,等价地可定义:,解析函数在无穷远点的性质,定理 设函数f(z)在区域 内解析，那么 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数 ，使得f(z)在 内有界。,定理 设函数f(z)在区域 内解析，那么 是f(z)的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分条件是：,存在着极限 、无穷极限或不存在有限或无穷的极限 。,第五章 留数,5.1 留数,如果z0是f(z)的孤立奇点,我们把积分,留数的概念,定义为f(z)在孤立奇点z0的留数，记作,其中C是绕z0的正向简单闭曲线,f(z)在C上及C内解析.,注解,注解2(定理) f(z)在孤立奇点z0的留数等于其洛朗级数展式中,的系数。,注解3、如果z0是f(z)的可去奇点，那么,留数定理,定理1.1（留数定理）设D是在复平面上的一个有界区域，其边界C是简单闭曲线或复合闭路。设f(z)在D内除去有孤立奇点,外，在每一点都解析，并且它在C上每一点都解析，那么我们有：,这里沿C的积分是按关于区域D的正向取的。,留数定理的基本思想,留数的求法:,1) 可去奇点(或解析): 0,2)本性奇点: 展为洛朗级数,再用,3) 极点: (1)用公式I,II,III,IV （重点方法）,(2)展为洛朗级数,再 用,一阶极点留数的计算：,设z0是f(z)的一个一阶极点。因此在去掉中心z0的某一圆盘内,其中,在这个圆盘内包括z=z0解析且在z0不等于0，其泰勒级数展式是：,一阶极点留数的计算：,1)如果容易求出 的泰勒级数展式，那么由此可得,一阶极点留数的计算：,如果在上述去掉中心z0的圆盘内（ ），,其中P(z)及Q(z)在这圆盘内包括在z0解析，,z0是Q(z)的一阶零点，并且Q(z)在这圆盘内没有 其他零点，那么z0是f(z)的一阶极点，且,高阶极点留数的计算：,设z0是f(z)的 一个k阶极点(k1)。则在去掉中心z0 的某一圆盘内,其中 在这个圆盘内包括z=z0解析且在z0不等于0，其泰勒级数展式是：,高阶极点留数的计算：,1)如果容易求出 的泰勒级数展式，那么,用留数计算复积分,例1 计算积分,C为正向圆周:|z|=2.,解:由于,有两个一级极点,+1,-1,而且都在圆周C内,所以,定义：设函数f(z)在圆环域R|z|内解析, C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线, 则积分,的值与具体的C无关, 称其为f(z)在点的留数, 记作,在无穷远点的留数-定义,定理（留数和定理） 如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 那末f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.,在无穷远点的留数-留数和定理,在无穷远点的留数-留数的计算,无穷远点留数的计算公式:,在无穷远点的留数-用于计算复积分,例2 计算积分,解 :,在无穷远点的留数-用于计算复积分,计算后两个留数较方便.,第五章 留数,5.2 留数在定积分计算上的应用,一.型如,的积分，其中R(x,y)是有理分式被积函数是t的连续函数.,留数定理的应用-实积分的计算:,解法：令 ，那么,原积分化为 再用留数求此积分.,的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次，即积分绝对收敛。,留数定理的应用-实积分的计算:,二.型如,解法:均如下例.,例2、 计算积分,留数定理的应用-实积分的计算:,Thank you!,How beautiful the sea is!,Lets have a rest!,
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