第五节定积分的应用

第五节定积分的应用教学目的：使学生理解定积分的元素法；熟练掌握直角坐标系下平面图形的面积及旋转体的体积的计算方法。教学重点：平面图形的面积及旋转体的体积的计算方法。定积分的元素法再看曲边梯形的面积：设y=f 3)。(x , b).如果说积分，A = b f (x)dx是以a, b为底的曲边梯形的面积，则积分上限函数A( x) = xf (t )dt就是以a, x为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面 积的近似值AAy (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素.以a, b为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式，以a, b为积分区间的定积分：A = b f (x)dx .一般情况下，为求某一量U,先将此量分布在某一区间a, b上，分布在a, x上的量用函数 U(x)表示，再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式，以a, b为积 分区间求定积分即得U = b f (x)dx.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1. 直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成，则面积元 素为f上(x)-f下(x)dx,于是平面图形的面积为s=bcf上 (x) - f下 (x)dx .类似地，由左右两条曲线x=左(y)与x=Q右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成设平面图形的 面积为S=j61 中右(y)-中左(y)dy . c 右左例1计算抛物线y2=x、y=x2所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在x轴上的投影区间：0, 1.(3) 确定上下曲线：/上(x)=忐，/下(x)=X2 .(4) 计算积分S =j 1G；，X -X2)dx = 2x2 -1 x31 =1 .0330 3例2计算抛物线j2=2x与直线j=x-4所围成的图形的面积.解(1)画图.(2) 确定在y轴上的投影区间：-2, 4.(3) 确定左右曲线：中左(y)=2y2,中右(y)=y+4.(4)计算积分S =4 (y+4-1 y2)dy = # y2+4y-1 y34 =18 .-2226-2例3求椭圆圮+已=1所围成的图形的面积.a 2 b 2解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍，椭圆在第一象限部分在x轴上的投影 区间为0, a.因为面积元素为ydx,所以S=4a ydx .椭圆的参数方程为：x=a cos t, y=b sin t,于是S=4aydx = 4 J 0b sin td (a cos t)02= -4abJ0sin2 tdt = 2abJ?(1 - cos 2t)dt = 2ab斗=ab兀.兀0222. 极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素：由曲线p=(e)及射线e =a, e =p围成的图形称为曲边扇形.曲边扇形的面积元素为ds=1神)2de .曲边扇形的面积为s 项 珈(e )2de .a 2例4.计算阿基米德螺线p=ae (a 0)上相应于e从0变到2兀的一段弧与极轴所围成的图形的 面积.解：S=f2n2(a9)2d9 = 2a23e 32兀=4 a2兀 3.例5.计算心形线p=a(1+cose ) (a0)所围成的图形的面积.解：S = 2兀 1a(1+cose2de = a2JK(斗+2cos0+ !cos29)de020 22=a230 + 2sin0 + 七sin20o=3a2兀.二、体积1. 旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴.常见的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体.旋转体都可以看作是由连续曲线y=f (x)、直线x=a、a=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋 转一周而成的立体.设过区间a, b内点x且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x),当平面左右平移dx 后，体积的增量近似为脱=兀技(x)2dx ,于是体积元素为dV =兀f (x)2dx ,旋转体的体积为V = J f (x)2 dx .例1连接坐标原点O及点P(h,)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x 轴旋转构成一个底半径为八高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积.解：直角三角形斜边的直线方程为y = rx .h所求圆锥体的体积为V = j岫(r x)2dx = 2x3h = 1 兀hr2 .0 hh 2 30 3例2.计算由椭圆+匹=1所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积.a 2 b 2解：这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆y = b va 2 x 2 a及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.体积元素为dV=兀 y 2dx ,于是所求旋转椭球体的体积为V = ja 兀生(a2 一 x2)dx =兀生a2x一-3x3a = 3兀ab2 .例3计算由摆线x=a(rsin t), y=a(1cos t)的一拱，直线y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴 旋转而成的旋转体的体积.解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为V =皿兀y2dx =兀 j2a2(1 cost)2 - a(1 cost)dt=兀。3 j2(1 3cos t + 3cos2 t cos31)dt=5兀 2a 3.所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差.设曲线左半边为x=x1(y).右半 边为x=x2(y).贝9V =j2兀x2(y)dy - f2a兀x2(y)dy y 0201-sin t)2 - a sin tdt=兀)兀 a 2(t - sin t)2 - a sin tdt-兀 j” a 2(t=一兀a3 j2” (t - sin t)2 sin tdt =6兀 3a 3 .2. 平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x轴的投影区间为a,b,过点x且垂直于x轴的平面与立体相截，截面面积为A(x), 则体积元素为A(x)dx ,立体的体积为V = jbA(x)dx.例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角a.计算这平面截圆柱所 得立体的体积.解：取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴，底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴. 那么底圆的方程为x 2+y 2=R 2.立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形.两个直角边分别为YR2-x2及R2-x 2 tan a .因而截面积为A(x) = |(R2 - x2)tana .于是所求的立体体积为V = jR 1( R 2 - x 2)tan a dx = tan a R 2 x -1 x3R = 2 R3 tan a . -r 223- R 3例5.求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积 .解：取底圆所在的平面为xOy平面，圆心为原点，并使x轴与正劈锥的顶平行.底圆的方程 为x 2 +y 2=R 2.过x轴上的点x (-RxR)作垂直于x轴的平面，截正劈锥体得等腰三角形.这截面 的面积为A(x) = h - y = h、c R 2 - x2 .于是所求正劈锥体的体积为,c 一 l-，耳c c 1V = jR hvR2 - x2 dx = 2R2hj 2 cos2 OdO =1 ”R2h .-R02三、平面曲线的弧长设A，B是曲线弧上的两个端点.在弧AB上任取分点A=M0，M，M2，-，M-1，M，- - ，Mn_， M=B，并依次连接相邻的分点得一内接折线.当分点的数目无限增加且每个小段M.-1M.都缩向 一点时，如果此折线的长乂 IM.-1M, I的极限存在，则称此极限为曲线弧AB的弧长，并称此曲线 i=1弧AB是可求长的.定理 光滑曲线弧是可求长的.1.直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程y=f(x) (axb)给出，其中地；)在区间, b上具有一阶连续导数.现在来计算这曲线弧的长度.取横坐标x为积分变量，它的变化区间为a, b.曲线y项x)上相应于a, b上任一小区间x, 1+故的一段弧的长度，可以用该曲线在点(x,/(x)处的切线上相应的一小段的长度来近似代替. 而切线上这相应的小段的长度为.(dx)2 + (dy)2 -己 + y2dx ,从而得弧长元素(即弧微分)ds - v1 + y2 dx .以声+ y2dx为被积表达式，在闭区间a,b上作定积分，便得所求的弧长为s = j 1 + y2 dx.在曲率一节中，我们已经知道弧微分的表达式为ds = *；1 + y2 dx ,a_1/9DX.O5例1.计算曲线y = 2 xt上相应于x从a到b的一段弧的长度.解：y = x2 ,从而弧长元素ds = 1 + y2 dx = 1 + xdx.因此，所求弧长为333s = j1 + xdx = -3 (1 + x)2 b = 3(1 + b)2 一 (1 + a)2 .例2.计算悬链线y = cch x上介于x=-b与x=b之间一段弧的长度.解：y =sh * ,从而弧长元素为ds = -：1 + sh2 xdx = ch xdx .c c因此, 所求弧长为s = jb ch x dx = 2bch xdx = 2csh x dxb = 2csh b .-b c 0 cc 0 c2.参数方程情形设曲线弧由参数方程xw(t)、y=v(t) (atP )给出，其中顿t)、w(t)在a, p上具有连续导数.因为半=快,dx=V(t)dt,所以弧长元素为dx 中(t)ds = .j 1 + * (中(t)dt =(中2(t) + W 2(t)dt.所求弧长为s = j，W2 (t) +W2(t)dt .例 3.计算摆线 x=(O-sin0), y=Q(1-cosO)的一拱(0 0 2k )的长度.解：弧长元素为ds = ：a2(1 一 cos0)2 + a2 sin2 0d0 = a(2(1 - cos0)d0 = 2asin2d0 .2所求弧长为s = j2兀 2a sin 与 d0 = 2a-2 cos 览 0 兀=8a.3. 极坐标情形设曲线弧由极坐标方程给出，其中r(0)在a,p上具有连续导数.由直角坐标与极坐标的关系可得 x=p(0)cos0 , y=p(0)sin0(a 0 0)相应于0从0到2兀一段的弧长.解： 弧长元素为ds = a20 2 + a2d0 = ai1 + 02d0 .于是所求弧长为s = j2兀 a1 + 0 2 d0 = a 2兀、T + 4兀 2 + ln(2兀 + 1 + 4兀 2 ).02