信号与系统-3章傅里叶变换.ppt

1.傅里叶级数定义及适用条件 2.常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱 3.傅里叶变换的定义及适用条件及性质 4.周期信号的傅里叶变换 5.抽样定理 6.功率频谱与能量频谱 7.系统频域分析法 8.希尔伯特变换,第3章 傅里叶变换,重点：,傅里叶1768年生于法国,1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”, 1822年在“热的分析理论”一书中再次提出。1829年狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。傅里叶变换得到大规模的应用，则是到了上世纪60年代之后。,3.1 傅里叶变换的产生,傅里叶的两个最主要的贡献： （1）“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”; （2）“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”.,三角函数,就是一个标准的两两正交的函数空间。它满足下列完备正交函数的三个条件：,3.2 周期信号的傅里叶分析,1. 归一化：,2. 归一正交化：,3. 归一化完备性：可以用其线性组合表示任意信号,周期的终点,设三角函数的完备函数集为：,其中,三角函数集也可表示为：,3.2.1 傅里叶级数的三角形式,基频,周期,周期的起点,满足： （1）正交性：函数集中的任意函数两两相正交，有,可以将“任意”周期函数 在这个正交函数集中展开为,称为傅里叶级数,傅里叶级数的三角展开式,直流分量,n=0,n=0,基波分量,n次谐波分量,！,并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！,1. 从三角函数形式的傅里叶级数推导,3.2.2 傅里叶级数的复指数形式,的具体求法如下：,式中,例,求 的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。,已知冲激序列,的三角傅里叶级数为：,解,求下图中三角波的三角傅里叶级数。,将,去除直流分量，则仅剩交流分量,例,解,故,（2）利用直接法求解,故,常称为f(t)的截断傅里叶级数表示式。,用MATLAB的符号积分函数int()可表示上式。格式为： （1）intf=int(f,v) ； 给出符号表达式f对指定变量v的（不带积分常数）不定积分； （2）intf=int(f,v,a,b) ； 给出符号表达式f对指定变量v的定积分。,3.2.3 傅里叶级数的MATLAB仿真实现,3.3 周期信号的对称性,1纵轴对称性 （1）如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有直流和余弦分量（即偶函数之和仍然是偶函数）。 （2）如果原函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有正弦分量（即奇函数之和仍然是奇函数）。,满足 的周期为T 的函数；即平移半个周期后的信号与原信号关于横轴对称。,定义：,奇谐函数,偶谐函数,满足 的周期为T 的函数；即平移半个周期后信号与原信号重合。,2横轴对称性,（2）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。,（1）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。,如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐波分量也包含有偶次谐波分量。,！,利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将其直流分量去掉，以免发生误判。,已知奇谐函数：,例,解,3.4 常见周期信号的频谱,3.4.1 频谱的概念,频谱图,例,，求频谱,解,（1）单边频谱：,（2）双边频谱：,包络线,频谱图随参数的变化规律：,1）周期T不变，脉冲宽度变化,情况1：,第一个过零点n=8,情况2：,第一个过零点为n =16。,情况3：, 由大变小，Fn 第一过零点频率增大，即 所以 称为信号的带宽， 确定了带宽。 由大变小，频谱的幅度变小。 由于 T 不变，谱线间隔不变，即 不变。,结 论, 不变，Fn 的第一个过零点频率不变，即 带宽不变。 T 由小变大，谐波频率成分丰富，且频谱幅度变小。 T 时，谱线间隔 0 ，这时： 周期信号 非周期信号；离散频谱 连续频谱,结 论,典型周期信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或傅里叶变换。典型周期信号如下： 1. 周期矩形脉冲信号 2. 周期对称方波信号 3. 周期锯齿脉冲信号 4. 周期三角脉冲信号 5. 周期半波余弦信号 6. 周期全波余弦信号,3.4.2 常见周期信号的频谱,1. 周期矩形脉冲信号 (1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解,设周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为E，周期为T1,（2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱,复数频,实数频谱,幅度谱与相位谱合并,周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况，对称方波信号有两个特点： (1)是正负交替的信号，其直流分量a0等于零； (2)它的脉宽恰等于周期的一半，即t =T1/2。,2. 周期对称方波信号的傅里叶级数,幅度谱,3. 周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解,周期锯齿脉冲信号，是奇函数故 ，可求出傅里叶级数系数bn。 如何求bn留作思考！,其傅里叶级数表达式为：,此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。,4. 周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解,周期三角脉冲信号，是偶函数，故 ，可求出傅里叶级数系数a0 、an。 如何求bn留作思考！,此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。,其傅里叶级数表达式为：,5. 周期半波余弦信号的傅里叶级数求解,周期半波余弦信号，是偶函数，故 ，可求出傅里叶级数系数a0 、an。 如何求bn留作思考！,此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。,其傅里叶级数表达式为：,6. 周期全波余弦信号的傅里叶级数求解,周期全波余弦信号，是偶函数。令余弦信号为,则，全波余弦信号为：,此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。,其傅里叶级数表达式为：,如果用有限傅里叶级数代替无穷傅里叶级数表示信号，必然引进一个误差。如果完全逼近，则 n= . 实际中，n=N, N是有限整数。 如果 N愈接近 n ，则 其均方误差愈小 若用2N1项逼近，则,3.4.3 吉布斯效应,对称方波, 是偶函数且奇谐函数。所以其只有奇次谐波的余弦项。,例,对称方波有限项的傅里叶级数 （N=1、2、3时的逼近波形）,（3）N=3:,（1）N=1:,（2）N=2:,有限项的N越大，误差越小例如: N=9,N越大，越接近方波 快变信号，高频分量，主要影响跳变沿； 慢变信号，低频分量，主要影响顶部； 任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真； 有吉伯斯现象发生。,结论,以周期矩形脉冲为例：,只需修改上面程序(3.2.3节)中函数CTFShchsym.m的内容，需注意：因周期信号频谱是离散的，故在绘制频谱时采用stem而非plot命令。 谐波阶数取,还需用到MATLAB的反褶函数fliplr来实现频谱的反褶。 上机练习！,3.4.4 周期信号的MATLAB仿真实现,对周期矩形脉冲信号，有,3.5 非周期性信号的频谱,3.5.1 从傅里叶级数到傅里叶变换,从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱分布的规律就存在。,由于,1从周期信号到非周期信号 从傅里叶级数到傅里叶变换,信号的频谱分布是不会随着信号的周期的无限增大而消失的。T 时，信号的频谱分布仍然存在。,结论,无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。,从数学角度来看：,所以，傅里叶级数展开为：,为频谱密度函数。,定义,周期信号：频谱是离散的，且各频率分量的复振幅 为有限值。,非周期信号：频谱是连续的，且各频率分量的复振幅 为无限小量。,所以，对非周期信号来说，仅仅去研究那无限小量是没有意义的，其频谱不能直接引用复振幅的概念。,！,3. 正、逆傅里叶变换,反变换,正变换,傅里叶变换存在的充分条件:,用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅里叶变换。,4傅里叶变换的另外几种形式,本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。 1.单边指数信号 6. 符号函数 2. 双边指数信号 7. 冲激函数傅里叶变换对 3. 奇双边指数信号 8. 冲激偶的傅里叶变换 4. 矩形脉冲信号 9. 阶跃信号的傅里叶变换 5. 钟形脉冲信号 10. 复正弦信号,3.5.2 常见信号的傅里叶变换,1. 单边指数信号的傅里叶变换,其傅里叶变换为：,利用傅里叶变换定义公式,单边指数信号的频谱如下：,2. 双边指数信号的傅里叶变换,其傅里叶变换为：,（正实函数）,利用傅里叶变换定义公式,求解过程,双边指数信号的频谱如下：,3. 奇双边指数信号的傅里叶变换,频谱如下：,时域有限的矩形脉冲信号，在频域上是无限分布。常认为信号占有频率范围（频带B）为,5. 钟形脉冲信号的傅里叶变换 （高斯脉冲）,其傅里叶变换为：,（正实函数）,因为钟形脉冲信号是一正实函数，所以其相位频谱为零。,频域频谱,6. 符号函数的傅里叶变换,其傅里叶变换为：,（纯虚数函数）,符号函数不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换。 采用符号函数与双边指数衰减函数相乘，求出奇双边指数的频谱，再取极限，从而求得符号函数的频谱。,7. 冲激函数傅里叶变换对,直流信号的傅里叶变换是冲激函数,！,8. 冲激偶的傅里叶变换,记为,10复正弦信号,结论,升余弦脉冲信号：,其傅里叶变换为：,（实数）,其频谱由三项构成，均为矩形脉冲频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了,利用傅里叶变换定义公式,化简得：,求解过程,3.5.3 MATLAB仿真实现,MATLAB数学工具箱Symbolic Math Toolbox提供了能直接求解傅氏变换及逆变换的函数fourier()和ifourier()。,（1）傅里叶变换调用格式,1）F=fourier(f),2）F=fourier(f,v),3）F=fourier(f,u,v),（2）傅里叶逆变换调用格式,1）f=ifourier(F),2）f=ifourier(F,u),3）f=ifourier(F,v,u),在调用fourier()和ifourier()之前，要用syms命令对所用到的变量进行说明，即将这些变量说明成符号变量。对fourier()中的函数f及ifourier()中的函数F也要用符号定义符syms将f或F说明为符号表达式；若f或F是MATLAB中的通用函数表达式，则不必用syms加以说明。,！,书中例题可上机练习,时间函数 频谱 某种运算 变化 变 化 运算,3.6 傅里叶变换的性质,1. 傅里叶变换的唯一性,傅里叶变换的唯一性表明了信号的时域和频域是一一对应的关系。,！,2.对称性（频域、时域呈现的对应关系）,若 ，则,如冲激和直流函数的频谱的对称性就是一例子：,（1）冲激函数,（2）直流函数,例,解,3. 线性（叠加性、均匀性） 相加信号频谱各个单独信号的频谱之和,证明,推论,求 f(t) 的傅里叶变换,例,解,整理上式得出：,把式（2）、（3）代入式（1）整理得：,性质1 实数函数 设f(t)是t的实函数,则 的实部与虚部将 分别等于 f2(t)=0，f(t)=f1(t)，则有,特殊情况讨论：,从上式可以得出结论:,实信号的频谱具有很重要的特点，正负频率部分的频谱是相互共轭的.,特点,性质2 虚函数,设f(t)是纯虚函数,则,反之也正确.,因而 是 的奇函数,而 是 的偶函数。,性质3 实偶函数,实偶函数的傅里叶变换仍为实偶函数,结论,反之，若一实函数f(t)的傅里叶积分也是实函数，则f(t)必是偶函数。,推论,设f(t)是t的实偶函数，则,例,解,性质4 奇实函数,设f(-t)=-f(t) ，则：,反之，若一实函数f(t)付里叶积分是一纯虚函数，则f(t)必是奇函数。,实奇函数的傅里叶变换则为虚奇函数,结论,推论,同理可以推出：,若 是虚函数且还是偶函数，则 的傅里叶变换为虚偶函数。,性质5：,性质6：,若 是虚函数且还是奇函数，则 的傅里叶变换为实奇函数。,读者可以仿照性质3、性质4给予简单证明,如果将 按照奇偶来划分,由此可看出，此时F()是虚函数且是的奇函数。对于f(t)为虚函数的情况，分析方法同上，结论相反。 上述讨论的结果如下:,5. 尺度变换特性,时间波形的扩展和压缩,将影响频谱的波形,对于一个实常数a ，其关系为,令x=at，则dx=adt ，代入上式可得,则,证明,时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）,尺度变换变换后语音信号的变化,一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 =22050Hz,f(t),f(t/2),f(2t),例,信号的等效脉冲宽度和占有的等效频带宽度成反比。,结论,上述反比特性的物理意义：,6. 时移特性,若 则,证明,令,则,同理可推得：带有尺度变换的时移特性,单矩形脉冲 的频谱为 有如下三脉冲信号： 其频谱为,频移特性与时移特性对称（这里0为实常量）,7. 频移特性,证明,若,则,同理可得,8. 微分特性,（1）时域,（2）频域,证明（略）,9. 积分特性,若,（1）时域积分,则,(2) 频域积分,若,则,10 . 卷积定理 （1）时域卷积定理 设有两个时间函数f1(t)和f2(t)，它们分别对应的频谱函数为F1()和F2()：,证明,式中,（2）频域卷积定理,1. 用频移特性,3.7 周期信号的傅里叶变换,3.7.1 正、余弦信号的傅里叶变换,由频移特性,2. 用极限方法,有限长余弦 看成矩形 乘以 。 对 求极限即可得到无限长余弦信号。,3.7.2 一般周期信号的傅里叶变换,周期信号,式中,解,小结,周期信号傅里叶变换的特点：,(1) 周期信号可求取傅里叶变换和傅里叶级数，但非周期信号则只能求傅里叶变换； (2) 非周期信号的频谱 是连续谱，它的大小是有限值； (3) 周期信号的频谱 是离散谱，其幅值是无穷大（含谱密度概念），它的大小用冲激表示； 是 的包络的 倍； 是单个复谐波成份的复振幅，而 是单位带宽内所有复谐波成分的合的复振幅值； （6） 的单位是伏特或安培，而 的单位则是(伏特/赫，安培/赫)； (7) 代表的是信号的功率分配, 而 代表了信号的能量分布。,3.8 抽样定理,取样目的及所遇到的问题：,数字信号处理系统简单框图,（1) 取样后离散信号的频谱是什么样的？它与未被取样的连续信号的频谱有什么关系？ （2)连续信号被取样后，是否保留了原信号的所有信息？即在什么条件下，可以从取样的信号还原成原始信号？,问题:,此时的抽样脉冲p(t)是矩形。由于fs(t)=f(t)p(t) 抽样信号在抽样期间脉冲顶部随f(t)变化，故这种抽样称为“自然抽样”。,时域抽样简图,抽样过程可以看成由原信号f(t)和一个开关函数p(t)的乘积来描述。抽样信号为,1矩形脉冲抽样（自然抽样）,3.8.1 时域抽样,由于p(t)是周期信号，可知p(t)的傅氏变换为:,令模拟带限信号傅氏变换为 ，即 取样脉冲序列的傅氏变换为 设取样为均匀抽样，周期为Ts，则取样角频率为,（1）抽样信号频谱推导,式中：,由频域卷积定理得，时域相乘的傅氏变换等于它们的频谱在频域里相卷积。,代入上面计算出的p(t),当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时，幅度以Sa函数的规律变化。从 的频谱图可见，抽样后的信号频谱包括有原信号的频谱以及无限个经过平移的原信号的频谱，平移的频率为抽样频率及其各次谐波频率。且平移后的频谱幅值随频率而呈Sa函数分布。因矩形脉冲占空系数很小，故其频谱所占的频带几乎无限宽。,！,(1) 如果取样脉冲宽度与系统中各时间常数相比十分小的时候，这个冲激函数的假定将是一个很好的近似，它将使分析简化。 (2) 通过冲激取样的方法来表明数字信号，在数字信号处理中有着广泛的应用。(点抽样；均匀抽样),取样率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍。,（2）抽样频率的选择,！,（3）矩形脉冲抽样,2. 冲激抽样（理想抽样）,若取样脉冲是冲激序列，此时称为“冲激取样”或“理想抽样”。设Ts为取样间隔，则取样脉冲为,因T(t)的傅氏系数为:,故冲激取样信号的频谱为：,周期单位冲激序列的FT：,抽样前信号频谱,抽样后信号频谱,由于冲激序列的傅里叶系数Pn为常数，所以 是以 为周期等幅地重复，如下图所示：,（1）时域理想抽样的傅里叶变换,下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和小结：,（2）关于非理想抽样,非理想抽样,理想抽样,比较,理想抽样和非理想抽样的对比,结论,矩形脉冲抽样和冲激抽样的重要差别就在于频谱分量的性质不同。矩形脉冲抽样所导出的频谱分量的幅度是按包络 的变化规律随频率而下降的，而理想抽样所导出的频谱却有着相同的幅度，不随频率而减少； 是信号本身固有的； 是人为的； 称为奈奎斯特抽样频率； 称为奈奎斯特抽样间隔； 抽样频率为奈奎斯特抽样频率的两倍或两倍以上时，抽样信号的频谱才不会发生混叠。只有这样才能无失真地恢复出原信号。,3抽样定理,定理3.1,由于f(t)的频带有限,而时域取样必导致频域周期。在周期重复时，为保证 内为 ，则重复周期应满足 ,将取样信号 通过截止频率为 的理想低通滤波器，便能从中恢复 ,也就是说，能从取样信号fs(t)中恢复出原始信号 f(t)。,证明,由时域卷积定理知：,复原始信号f(t)。设 、 ,则当 通过截止频率为 的理想低通滤波器时，滤波器的响应频谱为 ，显然滤波器的作用等效于一个开关函数 同 的相乘。即,则 (内插公式),证毕,而,由傅里叶变换的对称性可知：,由于定理二是讨论由离散信号恢复成连续信号，所以又称重建定理。,设f(t)是一带限连续信号，最高频率为 ,根据定理一对f(t)进行抽样，得f(nT)，则f(nT)经过一个频率响应为如图的理想低通滤波器后便得到f(t). (自证),定理3.2,频域抽样定理,若信号 为时限信号，它集中在 的时间范围内，若在频域中，以不大于 的频率间隔对 的频谱 进行抽样，则抽样后的频谱 可以唯一地表示原信号。,3.8.2 频域抽样,但反之不一定成立 如：白噪声,时域取样与频域取样的对称性,根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理,偶函数,变量置换,频域取样后的时间函数,抽样定理小结,时域对 取样等效于频域对 重复时域取 样间隔不大于 。 频域对 抽样等效于时域对 重复频域 取样间隔不大于 。 满足取样定理，则不会产生混叠。,3.9 功率频谱与能量频谱,3.9.1 周期信号的功率谱,周期性信号的能量无穷大，功率有限，因此可从功率方面进行研究。 (1) 正交分解与信号功率 对周期信号f(t)做正交分解，有：,则总功率为,如果信号在非正交函数集中分解后，信号的功率并不满足叠加性（如泰勒级数展开）。,注意,利用信号傅里叶级数分解后的信号分量，计算原信号的功率,例,因为傅里叶级数分解是正交分解,解,时域求得的信号功率,频域求得的信号功率,（1）周期信号的表示形式,对于周期信号，在时域中求得的信号功率 频域中的信号各谐波分量功率之和。 这就是 Parseval 定理在周期信号时的表示形式,帕塞瓦尔定理：,（2）信号有效值,与信号有着相同的功率的直流信号的大小，称为信号的有效值。设 为某直流信号的幅度值。若信号 的功率与该直流信号的功率相等，则,注意！,信号的有效值不能叠加,求标准正弦信号的有效值.,例,解,利用信号傅里叶级数分解后的信号分量计算信号的有效值。,例,解,(1) 对于单边功率谱，在每个不等于零（非直流）的频率上，子信号功率 ，直流信号的功率为,将周期性信号在各个频率上分量的功率大小，用图的方法表示出。其横坐标为频率，纵坐标为信号分量的功率，该图形称为功率谱图。功率谱与频谱非常相似，但有稍许不同：,(2) 对于双边功率谱，在每个频率点上，子信号功率为：,(3) 功率谱只有大小（幅度），没有相位。,（3）周期性信号的功率谱,3.9.2 能量频谱,对于非周期信号而言，其周期为无穷，但能量有限，所以它的功率为零，故我们只可以从能量角度研究对其进行研究。,非周期信号在各个频率上的实际分量大小为无穷小，只能用能量密度谱 描述单位频带内的信号能量。,：,（1）能量谱,信号总能量：,定义,双边能量谱,如果信号是实数信号，则还可以得到其单边能量谱为：,单位角频率 如果换成单位频率,则信号总能量为,双边能量谱：,单边能量谱：,能量谱和功率谱一样，同样只有大小（幅度），没有相位。,注意！,能量信号：信号在时间区间(-,+ )内的能量为有限值，而在时间区间(-,+ )内的平均功率P=0，这样的信号称为能量信号。非周期信号当它在有限时间范围内有一定的数值；而当 t 时数值为0时。即为能量信号。 能量信号的能量的计算公式： 信号的总能量 ，可以推导出：,时域求得的信号能量,频域求得的信号能量,对于非周期信号，信号能量可以从时域中求得, 也可以从频域中求得。 这就是 Parseval 定理在非周期信号时的表示形式,（2）Rayleigh定理,求信号 的能量。,解,根据对称特性：,令 =10,例,根据频域卷积定理：,信号的能量为：,（3）脉冲信号的脉冲宽度和频带宽度,对于信号的能量分析，同样可以运用等效时宽和等效频宽的约束性。,等效时宽,脉冲的绝大部分能量集中的时间区间,等效频宽,脉冲的绝大部分能量集中的频率区间,3.9.3 两个信号相似程度的描述,在信号分析中有时要比较两个信号是否相似。 一般可以用误差能量 来度量确定信号的相似性。 设x(t)、 y(t)为两个确定信号， 误差能量定义 为,相关系数,式中, a为系数， 选择合适的a使ay(t)与x(t)的误差 能量 最小， 即：,得 ，此时：,定义相对误差能量为：,注意！,xy=1，x(t)、y(t)线性相关，形状完全相似，误差能量 xy=-1，x(t)、y(t)线性相关，形状完全相反，误差能量 xy=0，x(t)、y(t)线性无关，形状完全不同。,两个无时差信号的相似性可用相关系数来表示，当遇到两个有时差信号，如无线接收机收到的两个不同（电离层反射）路径的信号，这时相似性研究就需要用相关函数表示。相关函数研究的是信号在时移过程中的相关性。,对两个不同信号或同一个信号在时移过程中的相似性研究， 分别用互相关函数与自相关函数来表示。,相关函数,1. 互相关函数 定义两个能量信号x(t)、 y(t)的互相关函数为,同理,若x(t)、 y(t)均为实能量信号， 则,一般Rxy()Ryx(),定义两个功率信号x(t)、 y(t)的互相关函数为,若x(t)、 y(t)均为实功率信号， 则,2. 自相关函数 若x(t)=y(t)，互相关函数便成为自相关函数, 此时Rxx()一般用R()表示为,若x(t)为实能量信号， 自相关函数可表示为,若x(t)为功率信号， 自相关函数可表示为,若x(t)为实功率信号， 自相关函数可表示为,3. 相关函数的特点,(1)一般情况下,(2),(3),相关与卷积的关系,h (t),h (-t),没有反褶,证明,相关定理,若有y(t)是实偶函数， 也是实偶函数则此时相关定理就是卷积定理,去共轭,变量互换,自相关函数与幅度谱的平方是一对FT：,周期余弦 的自相关,对功率有限信号,取一个 周期T,例,解,同周期1,可见周期信号的自相关仍为同周期的函数。,例,求周期余弦信号x(t)=E cos1t 的自相关函数。,解,在时域中,卷积积分的方法可求得系统的零状态响应。它是以冲激信号作为基本信号，将任意连续信号分解为无穷多个冲激函数的加权和，每个冲激函数对系统的响应叠加起来，就得到的零状态响应。 本节中,正弦信号或谐波信号作为基本信号，将信号分解为无穷多个正弦信号或虚指数的加权和。这些信号作用于系统时所得到的响应之叠加即为系统的零状态响应。,3.10 系统频域分析法,在时域中,其中：H(j)=FTh(t) 称频域系统函数。 则h(t)= IFTH(j),也称系统的频率响应。,3.10.1 周期性信号的稳态响应,在频域中,式中 为h(t)的傅里叶变换，,频域系统函数,可见，系统的零状态响应yzs(t)是等于激励ejt 乘以加权函数H(j)，此加权函数H(j)即为频域系统函数，亦即为h(t)的傅里叶变换。,设激励 f(t)=ejt, 则系统零状态响应为,即有 h(t)H(j),！,周期信号激励下的系统响应,正弦信号激励时的响应 设输入信号为正弦信号，即,所以,设系统的频率响应 为,例,用叠加定理：,作用于系统时,故响应为零。 因此系统响应为,对于,作用于系统时，,解,例,正弦波通过RC电路,带宽,，求系统响应,系统函数为,幅频特性,相频特性,解,用MATLAB画出的幅频和相频特性图,截止频率,所以，系统响应为,用MATLAB画出的输入和输出波形,某线性非时变系统的幅频响应|H(j)|和相频响应()如图所示。若激励 , 求该系统的响应y(t)。,解,例,非正弦周期信号激励时的响应,为输出信号的频谱,由于这类计算通常比较烦琐，因此最适合用Matlab来计算。,该信号通过系统后，其响应的频谱为：,傅里叶反变换即可得：,例,输入信号的频谱为,RC电路，若输入信号为周期矩形脉冲波如下图所示。求系统响应。,解,其中，T=2，基波频率，因此，有,RC电路的频率响应为,因此，,RC 电路的频率响应为 因此， 输出信号的频谱为 系统响应为,RC电路输出的幅度频谱,RC电路输出的时域波形,频域分析的方法的求解步骤为： 先求出输入信号的频谱F(j)和频域系统函数H(j) 由于y(t)=h(t)f(t)，利用连续时间非周期信号的傅里叶变换的时域卷积性质，有 Y(j) = H(j) F(j) ， 求出输出信号的频谱 将Y (j)进行傅里叶反变换就得到 y(t),3.10.2 非周期信号通过线性系统的零状态响应,补充,RC电路，若输入信号为矩形脉冲波如图所示。求系统响应。,输入信号的频谱为,解,RC电路的系统函数为,因此，输出频谱为,因为,令1/RC=a，可得,用Matlab画出的输出信号的频谱如图所示。图中画出了带宽和的两种情况 RC电路输出的幅度频谱,RC电路输出的时域波形,由于RC电路的低通特性，高频分量有较大的衰减，故输出波形不能迅速变化。 输出波形不再是矩形脉冲信号，而是以指数规律逐渐上升和下降。 当带宽增加时，允许更多的高频分量通过，输出波形的上升与下降时间缩短，和输入信号波形相比，失真减小。,结论,在如图所示系统中，f(t)为已知激励 ， 。,例,求零状态响应 y(t)。,设 f(t) F(j),即有：H(j)=F h(t)=-j sgn(),故得：R(j)=H(j) F(j)= -jsgn() -j sgn() F(j) =-sgn() sgn() F(j)= -F(j),所以：y(t)= -f(t) 可见此系统为一反相器。,根据对偶性,解,2h,w=freqs(b,a) 该调用格式将计算默认频率范围 内200个频率点的系统函数样值，并赋值给返回变量， 200个频率点记录在w中。,3.10.3 MATLAB仿真实现,右图是常见的用RLC元件构成的某系统电路。设,4freqs(b,a) 该调用格式并不返回系统函数样值，而是以对数坐标的方式绘出系统的幅频响应和相频响应。,，,试用MATLAB的freqs()函数求解该系统频率响应并绘图。,例,RLC二阶低通滤波器电路图,根据原理图，容易写出系统的频率响应为：,式中，,解,b=0 0 1; a=0.08 0.4 1; % 生成向量b，a h,w=freqs(b,a,100); % 求系统频响特性 h1=abs(h); % 求幅频响应 h2=angle(h); % 求相频响应 subplot(211); plot(w,h1); grid xlabel(角频率(W); ylabel(幅度); title(H(jw)的幅频特性); subplot(212); plot(w,h2*180/pi); grid xlabel(角频率(w); ylabel(相位(度); title(H(jw)的相频特性);,MATLAB源程序为：,程序运行结果如图所示。,RLC二阶低通滤波器的幅频特性及相频特性,已知符号函数的傅里叶变换,根据对称性得到,则,若系统函数为,则冲激响应,3.11 希尔伯特变换,系统框图:,系统的零状态响应,利用卷积定理,结论,其网络的系统函数为,该系统框图为,输出信号,利用卷积定理,结论,具有系统函数为 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络。,希尔伯特变换：,希尔伯特正变换,希尔伯特反变换,可实现系统的网络函数与希尔伯特变换,可实现系统是因果系统，其冲激响应,即:,其傅里叶变换,又,则,根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得,常用希尔伯特变换对,对于任意因果函数，傅里叶变换的实部与虚部都满足希尔伯特变换的约束关系，希尔伯特变换作为一种数学工具在通信系统中得到了广泛的应用。,说明,例,满足希尔伯特变换的约束关系。,，证明,已知,因为,即系统函数,式中：实部,虚部,证明,的实部与虚部,现在求,的希尔伯特变换,可求出各分式系数,则,例,方法1 :,方法2：,用三种方法求解此题,的希尔伯特变换,希尔伯特变换,滞后,解,方法3：,直接用希尔伯特变换定义式,即,则希尔伯特变换的频谱函数为,本章小结,1. 傅里叶级数分解是一种正交分解，有三角级数分解和指数分解两种形式。 2. 只有周期信号才能进行傅里叶级数分解，我们常用表示。 3. 没有引入奇异函数时，Direchlet条件是能够进行傅里叶级数分解的充要条件；而引入奇异函数后，Direchlet条件弱化为能够进行傅里叶级数分解的充分条件。,4. 周期偶函数，则傅里叶级数中只有直流和余弦分量；周期奇函数，则傅里叶级数中只有正弦分量；奇谐函数，则傅里叶级数中只有奇次谐波分量；偶谐函数，则傅里叶级数中只有偶次谐波分量。 5.频谱有单边频谱和双边频谱之分。频谱可分解为幅度谱和相位谱，工程中常采用幅度谱。 6.周期信号的频谱呈现离散性。 7. Gibbs现象是因为跳变引起的，不可消除。,8. 非周期信号能够进行傅里叶变换，傅里叶正变换和逆变换是一一对应的。因为引入了奇异函数，所以Direchlet条件是能够进行傅里叶变换的充分条件。 9. 单边指数函数、双边指数函数、奇双边指数函数、矩形脉冲函数、钟形函数、符号函数、冲激函数、冲激偶函数、阶跃函数、复正弦函数的傅里叶变换。 10. 傅里叶变换的十个性质：唯一性、对称性、线性、虚实奇偶性、尺度变换性、时移性、频移性、微分性、积分性、卷积性。,11. 周期信号既能进行傅里叶级数分解，又能进行傅里叶变换。周期信号的傅里叶级数和傅里叶变换密切相关，可以互相推导。 12. 无论是自然抽样还是理想抽样，只要抽样信号的频率大于等于被抽样信号的最高频率的两倍或两倍以上，那么抽样离散信号就能够还原为原信号。 13. 时域的离散性对应于频域的周期性；频域的周期性对应于时域的离散性。,14. 周期信号可用功率谱描述，非周期信号可以用能量谱描述。它们都满足能量守恒。 15. 时宽变窄，则频宽增加；反之时宽增加，则频宽变窄。 16. 不同信号的相似程度用互相关函数描述；同一信号不同时刻的相似程度用自相关函数描述。 17. 可以用微分方程、仿真框图、电路图、单位冲激响应、频谱、幅频特性和相频特性去描述一个系统。它们可以互相转化，都可求出系统函数。,18. 单一频率的信号通过线性时不变系统不会产生新的频率分量，但其幅度和相位会随系统函数发生变化。 19. 对于周期信号的响应，不同频率分量的输出是求和；对于非周期信号的响应，不同频率分量的输出是求积分，即傅里叶逆变换。 20. 因果系统的系统函数，其虚部和实部满足希尔伯特约束关系。,