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要点梳理 1.一次函数、二次函数的图象及性质 (1)一次函数y=kx+b，当k0时，在实数集R上是增函 数,当k0时在实数集R上是减函数.b叫纵截距,当b=0 时图象过原点，且此时函数是奇函数；当b0时函 数为非奇非偶函数.,一次函数、二次函数与幂函数,基础知识 自主学习,(2)二次函数的解析式 二次函数的一般式为_. 二次函数的顶点式为_,其中顶 点为_. 二次函数的两根式为_,其中 x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根.(也就是函数的零点) 根据已知条件,选择恰当的形式,利用待定系数法可求 解析式.,y=ax2+bx+c （a0）,y=a(x-h)2+k (a0),y=a(x-x1)(x-x2)(a0),(h,k),(3)二次函数图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c (a0)的顶点坐标为 ;对称轴方程为 .熟练通过配 方法求顶点坐标及对称轴,并会画示意图. 在对称轴的两侧单调性相反. 当b=0时为偶函数,当b0时为非奇非偶函数.,2.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之 间的关系,x1,x2 (x1x2),x0,x|xx2 或xx1,x|xR 且xx0,R,x|x1xx2,3.幂函数 (1)幂函数的定义 形如_( R)的函数称为幂函数,其中x是 _, 为_. (2)幂函数的图象,自变量,常数,(3)幂函数的性质,函数,特 征,性质,R,R,R,0,+),x|xR 且x0,R,0,+),R,0,+),y|yR 且y0,奇,奇,奇,偶,非奇非偶,(1，1),(0，0),x0, +)时,增 x(-, 0时,减,增,增,增,x(0, +)时,减 x(-, 0)时,减,(1，1),基础自测 1.直线 的图象可能是 （ ） 解析 a0，C不可能. 当a0时， 排除A. 当a0时， ，排除D，故选B.,B,2.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标 系中的图象大致是 （ ） 解析 选项A中，一次函数的斜率a0，而二次函数 开口向下，相互矛盾，排除A.同理排除D, y=ax2+bx+c的对称轴为 当a0,b0时， 排除B. 当a0,b0时， 故选C.,C,3.设 则使函数 的定义域为 R且为奇函数的所有 值为 （ ） A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.1,3， 解析 当 =1，3时， 的定义域为R且为奇函 数，当 =-1时， 的定义域为x|x0,xR, 淘汰B、C,当 时, 的定义域为0,+), 排除D.故选A.,A,4.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调 函数，则实数a的取值范围是 （ ） A.a2或a3 B.2a3 C.a-3或a-2 D.-3a-2 解析 本题考查二次函数图象及其性质，由于二次 函数的开口向上,对称轴为x=a,若使其在区间(2,3) 内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧， 即a2或a3.,A,5.方程x2-mx+1=0的两根为 且 则实数m的取值范围是_. 解析 方法一,方法二 设f(x)=x2-mx+1,则f(0)=1. 由图可知， f(1)f(2)=(2-m)(5-2m)0, 2m 答案,题型一 二次函数的解析式的求法 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是8，试确定此二次函数. 确定二次函数采用待定系数法，有三种 形式，可根据条件灵活运用.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 方法一 设f(x)=ax2+bx+c (a0), 依题意有 所求二次函数为y=-4x2+4x+7. 方法二 设f(x)=a(x-m)2+n. f(2)=f(-1), 抛物线对称轴为 m=,又根据题意函数有最大值为n=8， y=f（x）= f（2）=-1， 解之，得a=-4. 方法三 依题意知：f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值ymax=8,即,解之，得a=-4或a=0(舍去）. 函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：f(x)=ax2+bx+c (a0) (2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k (a0) (3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0) 具体用哪种形式，可根据具体情况而定.,探究提高,知能迁移1 设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且 f（x）=0的两实数根平方和为10，图象过点(0,3), 求f（x）的解析式. 解 设f(x)=ax2+bx+c (a0). 由f(x+2)=f(2-x)知，该函数图象关于直线x=2对称, 即b=-4a. 又图象过（0，3）点，c=3. ,b2-2ac=10a2. 由得a=1,b=-4,c=3. 故f（x）=x2-4x+3.,题型二 二次函数的图象与性质 【例2】 已知函数 在区间0,1 上的最大值是2，求实数a的值. 研究二次函数在给定区间上的最值问 题，要讨论对称轴与给定区间的关系. 解 对称轴为,思维启迪,(1)当0 1，即0a2时， 得a=3或a=-2,与0a2矛盾.不合要求； (2)当 1，即a2时，y在0，1上单调递增， 有ymax=f(1),f(1)=2 综上，得a=-6或a=,探究提高 (1)要注意抛物线的对称轴所在的位置对 函数最值的影响. (2)解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二 次函数化为y=a(x-m)2+n的形式，得顶点（m，n）或 对称轴方程x=m，分三个类型： 顶点固定，区间固定； 顶点含参数，区间固定； 顶点固定，区间变动.,知能迁移2 已知函数f(x)=-x2+8x,求函数f(x)在区间 t,t+1上的最大值h(t). 解 f（x）=-x2+8x=-(x-4)2+16 当t+14时，f(x)在t,t+1上单调递减. 此时h(t)=f(t)=-t2+8t. 综上可知,题型三 幂函数的图象及应用 【例3】 点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g（x）的图象上，问当x为何值时，有 f(x)g(x)，f(x)=g(x)，f(x)g(x). 由幂函数的定义，求出f(x)与g(x) 的解析式，再利用图象判断即可. 解 设 则由题意得 =2，即f（x）=x2，再设 则由题意得 =-2，即g（x）=x-2，,思维启迪,在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示. 由图象可知： 当x1或x-1时， f（x）g（x）; 当x=1时,f(x)=g(x); 当-1x1且x0时， f（x）g（x）. (1)函数图象在解方程和不等式时有着 重要的应用. (2)注意本题中，g（x）的定义域为x|x0，所以 中不包含x=0这一元素.,探究提高,知能迁移3 已知幂函数 的图象与x、y 轴都无公共点，且关于y轴对称，求整数n的值并画 出该函数的草图. 解 函数图象与x、y轴都无公共点， n2-2n-30，-1n3. 又n为整数，n-1，0，1，2，3. 又图象关于y轴对称，n2-2n-3为偶数. n=-1，1，3.,当n=-1和3时,n2-2n-3=0，y=x0图象如图（1）所示; 当n=1时，y=x-4，图象如图（2）所示. 图（1） 图（2）,题型四 幂函数的性质 【例4】 （12分）已知幂函数 (mN*) 的图象关于y轴对称，且在（0，+）上是减函数， 求满足 的a的取值范围. 由 (mN*)的图象关于y 轴对称知m2-2m-3为偶数,又在（0，+）上是减函 数，m2-2m-30，从而确定m值，再由函数f(x)= 的单调性求a的值.,思维启迪,解 函数在(0，+)上递减， m2-2m-33-2a0 或0a+13-2a或a+103-2a. 10分,解得 故a的取值范围为 12分 本题集幂函数的概念、图象及单调性、 奇偶性于一体,综合性较强，解此题的关键是弄清幂 函数的概念及性质.解答此类问题可分为两大步：第 一步，利用单调性和奇偶性（图象对称性）求出m的 值或范围;第二步，利用分类讨论的思想，结合函数 的图象求出参数a的取值范围.,探究提高,知能迁移4 指出函数 的单调区间, 并比较 的大小. 解 =1+(x+2)-2, 其图象可由幂函数y=x-2的图象向左平移2个单位,再 向上平移1个单位得到，,该函数在(-2，+)上是减函数，在(-，-2)上是 增函数，且其图象关于直线x=-2对称（如图所示）.,1.二次函数的解析式有三种形式:一般式、顶点式和 两根式.根据已知条件灵活选用. 2.二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关系, 因此单调性的判断通常用数形结合法来判断. 3.幂函数 （ R）,其中 为常数,其本质特征 是以幂的底x为自变量，指数 为常数，这是判断一 个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.应当注 意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数， 如y=x+1，y=x2-2x等都不是幂函数.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,4.在（0，1）上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠 近x轴（简记为“指大图低”），在（1，+）上， 幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会 出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限 内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同 时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相 交，则交点一定是原点.,失误与防范,2.幂函数的定义域的求法可分5种情况： 为零； 为正整数； 为负整数； 为正分数； 为负分数. 3.作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单 调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的 图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义 域内完整的图象. 4.利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复 合函数的单调性及在实际问题中的应用等类型.进一 步培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想和 方法.,一、选择题 1.下列函数: y=3x-2；y=x4+x2； ,其中 幂函数的个数为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析 中y=x-3;中 符合幂函数定义; 而中y=3x-2，中y=x4+x2不符合幂函数的定义.,B,定时检测,2.函数 (nN*,n9)的图象可能是（ ）,解析 函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A、B. 令n=18，则 当x0时， 由其在 第一象限的图象知选C. 答案 C,3.（2009湖北理，9）设球的半径为时间t的函数 R（t）.若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面 积的增长速度与球半径 （ ） A.成正比，比例系数为c B.成正比，比例系数为2c C.成反比，比例系数为c D.成反比，比例系数为2c,解析 V(t)=4 R2(t)R(t)=c. S(t)=4 R2(t), S(t)=8 R(t)R(t) 答案 D,4.函数f(x)=-x2+(2a-1)|x|+1的定义域被分成了四个 不同的单调区间，则实数a的取值范围是 （ ） A. B. C. D.,解析 f（x）=-x2+(2a-1)|x|+1是由函数f(x)=-x2+ (2a-1)x+1变化得到，第一步保留y轴右侧的图象，再 作关于y轴对称的图象.因为定义域被分成四个单调区 间，所以f(x)=-x2+(2a-1)x+1的对称轴在y轴的右侧， 使y轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间. 所以 答案 C,5.若0y1,则下列关系式中正确的个数是 （ ） axay xaya logaxlogay logxalogya A.4 B.3 C.2 D.1 解析 0y1, y=ax递减，故不正确；y=xa递增，故正确； y=logax递减，故不正确. logxalogya logaxlogay,正确. 综上，正确.,C,6.已知函数 的值域为R，则实 数k的取值范围是 （ ） A.(0，1) B.(-，01，+) C.0，1) D.k=0或k1 解析 要满足题意，t=x2-2kx+k要能取到所有正实 数，抛物线要与坐标轴有交点，=4k2-4k0. 解得k1或k0.,B,二、填空题 7.当 时,幂函数 的图象不可能 经过第_象限. 解析 当x0时，y0，故不过第四象限； 当x0时，y0或无意义. 故不过第二象限. 综上，不过二、四象限.也可画图观察.,二、四,8.函数 在区间0,4上的最大值M与最小 值N的和M+N=_. 解析 令t= 0,2,y=t2+2t=(t+1)2-1, 在t0,2上递增. 当t=0时,N=0,当t=2时,M=8. M+N=8.,8,9.已知(0.71.3)m1.30=1, 0.71.30.,（0,+),三、解答题 10.已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3，m为何值时， f(x):(1)是正比例函数;(2)是反比例函数; (3)是二次函数;(4)是幂函数. 解 (1)若f(x)是正比例函数， 则-5m-3=1,解得 此时m2-m-10,故 (2)若f(x)是反比例函数，则-5m-3=-1, 则m= 此时m2-m-10，故m=,(3)若f(x)是二次函数，则-5m-3=2, 即m=-1,此时m2-m-10，故m=-1, (4)若f(x)是幂函数，则m2-m-1=1， 即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1. 综上所述，(1)当m= 时，f(x)是正比例函数. (2)当m= 时，f(x)是反比例函数. (3)当m=-1时，f(x)是二次函数. (4)当m=2或m=-1时，f(x)是幂函数.,11.即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将 大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通.根据 测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回 16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次， 每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数,每 节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节 车厢才能使每天营运人数最多?并求出每天最多的 营运人数.（注:营运人数指火车运送的人数）,解 设这列火车每天来回次数为t次,每次拖挂车厢 n节， 则设t=kn+b.由 t=-2n+24. 设每次拖挂n节车厢每天营运人数为y， 则y=tn1102=440(-n2+12n)， 当n=6时，总人数最多为15 840人. 答 每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多 为15 840人.,12.已知函数f(x)=x2,g(x)=x-1. (1)若存在xR使f(x)0 b4.,(2)F（x）=x2-mx+1-m2, =m2-4(1-m2）=5m2-4. 当0，即 时，则必需 当0,即 时,设方程F(x)=0 的根为x1,x2(x1x2).,若 1,则x10, 若 0,则x20, 综上所述：-1m0或m2.,
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