人教版高二年级数学教案分析《基本不等式》

人教版高二年级数学教案分析基本不等式【教案一】一、教材分析【教材地位及作用】基本不等式又称为均值不等式，选自北京师范大学出版社普通高中课程标准实验教科书数学必修5第3章第3节内容。教学对象为高二学生，本节课为第一课时，重在研究基本不等式的证明及几何意义。本节课是在系统的学习了不等关系和掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题奠定基础。因此基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。【教学目标】依据新课程标准对不等式学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：过程与方法目标：通过探究基本不等式，使学生体会知识的形成过程，培养分析、解决问题的能力；情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。【教学重难点】重点：理解掌握基本不等式，能借助几何图形说明基本不等式的意义。难点：利用基本不等式推导不等式.关键是对基本不等式的理解掌握.二、教法分析本节课采用观察感知抽象归纳探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率.三、学法指导新课改的精神在于以学生的发展为本，把学习的主动权还给学生，倡导积极主动，勇于探索的学习方法，因此，本课主要采取以自主探索与合作交流的学习方式，通过让学生想一想，做一做，用一用，建构起自己的知识，使学生成为学习的主人。四、教学过程教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。具体过程安排如下：（一）基本不等式的教学设计创设情景，提出问题设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基于此，设置如下情境:上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。问题1请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形它们在面积上有哪些相等关系和不等关系（让学生分组讨论）（二）探究问题，抽象归纳基本不等式的教学设计1.探究图形中的不等关系形的角度-（利用多媒体展示会标图形的变化，引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积.）数的角度问题2若设直角三角形的两直角边分别为a、b，应怎样表示这种不等关系学生讨论结果：。问题3大家看，这个图形里还真有点奥妙。我们从图中找到了一个不等式。这里a、b的取值有没有什么限制条件不等式中的等号什么时候成立呢（师生共同探索）咱们再看一看图形的变化，（教师演示）（学生发现）当a=b四个直角三角形都变成了等腰直角三角形，他们的面积和恰好等于正方形的面积，即.探索结论：我们得到不等式，当且仅当时等号成立。2.抽象归纳：一般地，对于任意实数a，b，有，当且仅当a=b时，等号成立。问题4你能给出它的证明吗学生在黑板上板书。问题5特别地，当时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么学生归纳得出。【归纳总结】如果a，b都是非负数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。我们称此不等式为基本不等式。其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数。3.探究基本不等式证明方法：问题6如何证明基本不等式设计意图：在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。方法一：作差比较或由基本不等式的教学设计展开证明。方法二：分析法要证只要证2要证，只要证2要证，只要证显然，是成立的。当且仅当a=b时，中的等号成立。4.理解升华1）文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。2）符号语言叙述：若，则有，当且仅当a=b时，。问题7怎样理解“当且仅当”（学生小组讨论，交流看法，师生总结）“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：当a=b时，取等号，即；仅当a=b时，取等号，即。3）探究基本不等式的几何意义：基本不等式的教学设计借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CDAB，AC=a，CB=b，问题8你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗（教师演示，学生直观感觉）易证RtACDRtDCB，那么CD2=CACB即CD=.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.因此：基本不等式几何意义可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高.4）联想数列的知识理解基本不等式从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系.问题9回忆一下你所学的知识中，有哪些地方出现过“和”与“积”的结构归纳得出:均值不等式的代数解释为:两个正数的等差中项不小它们的等比中项.基本不等式的教学设计（四）体会新知，迁移应用例1：（1）设均为正数，证明不等式：基本不等式的教学设计（2）如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，设AC=a，CB=b，过作交于，你能利用这个图形得出这个不等式的一种几何解释吗设计意图：以上例题是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式成立的条件，及当且仅当时，等号成立。这里完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。