专题提升十二与圆的切线有关的计算与证明

专题提升（十二）与圆的切线有关的计算与证明类型之一 与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图Z12- 1,0 O的切线PC交直径AB的延长线于点P, C为切点，若/ P =30,0 O的半径为1,贝U PB的长为 1.图Z12- 1经典母题答图【解析】如答图，连结0C. PC 为 O O 的切线，/ PC0 = 90,在 RtA0CP 中0C= 1,Z P= 30,OP = 2OC = 2, PB = OP-0B = 2- 1 = 1.【思想方法】（1）已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直.【中考变形】2017天津已知AB是O 0的直径，AT是O 0的切线，/ ABT= 50, BT交 O0于点C, E是AB上一点，延长CE交O 0于点D.（1）如图Z12-2，求/ T和/CDB的大小；如图，当BE= BC时，求/ CD0的大小.图 Z12-2解：如答图，连结AC, AT是。O的切线，AB是。O的直径， AT丄AB,即/ TAB= 90,vZ ABT= 50,AZ T= 90/ABT= 40由AB是O O的直径，得Z ACB = 90,Z CAB= 90 Z ABC= 40,：Z CDB =Z CAB = 40;中考变形答图中考变形答图如答图，连结AD ,在厶 BCE 中，BE= BC,Z EBC = 50 Z BCE=Z BEC= 65,：Z BAD = Z BCD = 65vOA= OD ,/ ODA =Z OAD= 65,vZ ADC=Z ABC= 50, Z CDO=Z ODA Z ADC = 65 50= 15【中考预测】2017宿迁如图Z12 3, AB与。O相切于点B, BC为。O的弦，OC丄OA, OA与BC相交于点P.求证：AP = AB;(2)若OB = 4, AB = 3,求线段BP的长.A Li图Z12 3中考预测答图解: (1)证明：v OC= OB,：/ OCB=Z OBC,v AB是OO的切线， OB丄AB,:丄 OBA= 90,二/ ABP+/ OBC = 90,v OCXAO,aZ AOC = 90,/ OCB+ Z CPO= 90,vZ APB=Z CPO,/ APB=Z ABP,a AP= AB;如答图，作 OH丄BC于H.在RtAOAB中，v OB= 4, AB= 3,OA= 32 + 42= 5,v AP = AB = 3, PO = 2.在 RtAPOC 中，PC= OC2+ OP2= 2 5,1 1v2PC OH = 2OC OP,=OP仝C=空PC 5， CH = OC2- OH2=誉,v OH 丄 BC,a CH = BH，二 BC = 2CH =号5 /. BP= BC-PC = 呼-2屁響类型之二 与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如图Z12-4, A是。O外一点，AO的延长线交。O于点C,点B在圆A图 Z12-4AB是。O的切线.A上，且AB= BC,Z A= 30,求证：直线证明：如答图，连结OB,v OB = OC, AB= BC,Z A= 30,Z OBC= Z C= Z A= 30, Z AOB=Z C+ Z OBC = 60 .vZ ABO= 180- (Z AOB+Z A)= 180 (60+ 30) = 90, AB丄OB,又v OB为O O半径， AB是O O的切线.【思想方法】证明圆的切线常用两种方法 “作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”.【中考变形】1. 2016黄石如图Z12-5,0O的直径为AB,点C在圆周上(异于A, B), AD 丄CD.(1)若 BC = 3, AB = 5,求 AC 的值；CD是O O的切线.若AC是/ DAB的平分线，求证：直线n中考变形1答图图 Z12-5解：(1)； AB是OO直径，C在OO 上,/ ACB= 90,又 t BC = 3, AB = 5,二由勾股定理，得AC = 4;证明：如答图，连结OC, AC是/ DAB的平分线，/ DAC= / BAC,又 TAD 丄 DC,：/ ADC =/ ACB= 90 ADCsAACB,：/ DCA =/CBA,又 T OA= OC，: / OAC= / OCA,t/ OAC+ / OBC= 90o,：/ OCA+ / ACD= / OCD = 90,直线CD是O O的切线.2. 2017 南充如图 Z12 6,在 RtAACB 中，/ ACB = 90,以 AC 为直径作O O 交AB于点D, E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.(1) 求证：DE是O O的切线；(2) 若CF = 2, DF = 4,求O O直径的长.图Z12-6中考变形2答图【解析】 连结0D，欲证DE是O O的切线，需证0D丄DE，即需证/ ODE =90，而/ACB = 90,连结CD，根据“等边对等角”可知/ODE=/OCE =90 ，从而得证；(2)在Rt ODF中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解.解：(1)证明：如答图，连结 OD，CD. AC 是 O O 的直径，/ ADC = 90 ./ BDC= 90 .又 t E 为 BC 的中点，1 DE = 2BC = CE，aZ EDC=/ ECD.t OD = OC，aZ ODC =/ OCD. / EDC+ / ODC =/ ECD + Z OCD = / ACB= 90 . / ODE= 90,二 DE 是OO 的切线；2 2 2(2)设O O 的半径为 x.在 RtAODF 中，OD + DF = OF，即 x2 + 42= (x+ 2)2，解得 x= 3. O O 的直径为 6.【中考预测】如图Z12-7, AB是O O的直径，点 C，D在O O上，Z A= 2Z BCD，点E 在AB的延长线上，Z AED=Z ABC.(1)求证：DE与O O相切；若BF = 2，DF = . 10，求O O的半径.!)图 Z12-7I)中考预测答图解：(1)证明：如答图，连结 0D. AB是。O的直径，/ ACB= 90,/ A+/ ABC = 90,vZ BOD= 2/ BCD,/ A= 2/BCD ,/ BOD= Z A,vZ AED=Z ABC,aZ BOD + Z AED = 90,Z ODE= 90, 即 卩 OD 丄 DE，二 DE 与 O O 相切； 如答图，连结BD,过点D作DH丄BF于点H.v DE 与 OO 相切，/ ACD+ Z BCD =Z ODB + Z BDE = 90 vZ ACD=Z OBD, Z OBD =Z ODBBDE =Z BCD ,vZ AED=Z ABC , AFC =Z DBF ,vZ AFC= Z DFB , ACF与厶FDB都是等腰三角形, FH = BH = *BF = 1, HD = ,DF2-FH2= 3 ,在 RtAODH 中,OH2+ DH2= OD2 ,即(OD 1)2+ 32 = OD2, OD = 5.即O O的半径是5.