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有理数的乘法和除法,1.5,1.5.1 有理数的乘法,我们已经熟悉了非负数的乘法运算,,那么如何计算 (-5)3, 3(-5), (-5)(-3)呢?,我们把向东走的路程记为正数.如果小丽从点O出发,以5km/h的速度向西行走3h后,小丽从O点向哪个方向行走了多少千米?,小丽从O点向西行走了(53)km.,由此,我们有,(-5)3 =,(53),-,我们已经知道(-5)3 = -(53),,那么3(-5 ),(- 5)(-3)又应怎样计算呢?,非负数的乘法与加法是用分配律联系起来的,因此,当数扩充到有理数后,要规定有理数的乘法法则,当然也要求它满足分配律,以便把乘法与加法联系起来.如果它满足分配律,那么就会有,3(-5)+35=3 (-5)+5=30=0,这表明3(-5)与35互为相反数,于是有,3(-5)=-(35). ,异号两数相乘得负数,并且把绝对值相乘.,从、式受到启发,一般规定:,(-)(+)(-),(+)(-)(-),任何数与0相乘,都得0.,类似地,我们有,(-5)(-3)+(-5)3 =(-5)(-3)+3 =(-5)0 = 0,这表明(-5)(-3)与(-5)3互为相反数. 因为(-5)3= -15,而-15的相反数是15, 所以(-5)(-3)=15 .,即 (-5)(-3)= 15 = 53 . ,由式看出,(-5)(-3)得正数,并且把绝对值5与3相乘.,同号两数相乘得正数,并且把绝对值相乘.,从、式受到启发,于是规定:,(+)(+)(+),(-)(-)(+),例1 计算: (1)3.5 (-2); (2) ; (3) ; (4)(-0.57) 0.,举 例,解,(1) 3.5 (-2),= -(3.52),根据乘法法则,= -7,3.5)和(-2)为异号,结果为负,3.5和(-2)的绝对值相乘,解,(2),=,根据乘法法则,=,为异号,结果为负,它们的绝对值相乘,解,(3),=,根据乘法法则,= 1,为同号,结果为正,解,(4)(-0.57) 0,根据乘法法则,= 0,任何数与0相乘,结果为0,1. 填表:,-,14,-,+,3,-14,-3,2. 计算:,(1) ; (2) .,在小学我们已经学过乘法的交换律、结合律,那么这两个运算律在有理数范围内是否也适用呢?,填空:,(1)(-2)4= , 4(-2)= ;,-8,-8,(2)(-2)(-3) (-4)= (-4)= , (-2)(-3) (-4)=(-2) = .,6,-24,12,-24,从上面的填空题中,你发现了什么?,乘法交换律: = .,a,b,a,b,即,两个有理数相乘,交换因数的位置,积不变.,乘法结合律:( ) = ( ).,a b,a,b c,c,即,对于三个有理数相乘,可以先把前两个数相乘,再把结果与第三个数相乘;或者先把后两个数相乘,再把第一个数与所得结果相乘,积不变,和加法类似,根据乘法交换律和乘法结合律可以推出:三个或三个以上有理数相乘,可以写成这些数的连乘式对于连乘式,可以任意交换因数的位置,也可先把其中的几个数相乘,(1)填空:,(-6)4+(-9) =(-6) = , (-6)4+(-6)(-9)= + = .,-5,30,54,-24,30,(2)换几个有理数试一试,你发现了什么?,乘法对加法的分配律(简称为分配律): ( + ) = + .,b c,a,a,b,a,c,(-1)a = -a,利用分配律,可以得出,即,一个有理数与两个有理数的和相乘,等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加.,例2 计算: (1) ; (2) (-12.5)(-2.5)(-8) 4 .,举 例,解,(1),=,将分数逐个与60相乘,= 30-20-15+12,= 7,分数与整数60相乘,计算结果,解,(2) (-12.5)(-2.5)(-8)4,= (-12.5) (-8)(-2.5)4,(-12.5)和(-8)相乘为整数,= 100(-10),(-2.5)和4相乘为整数,= -1000,相乘为整数的先结合起来,(-12.5)和(-8)为同号相乘,(-2.5)和4为异号相乘,(-10)和100相乘为异号,下列各式的积是正数还是负数?积的符号与负因数(因数为负数)的个数之间有什么关系? (1)(-2)(-3)(-4); (2)(-2)(-3)(-4)(-5).,几个不等于0的数相乘,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.,例3 计算: (1)(-8) 4 (-1)(-3) ; (2) .,举 例,解,(1) (-8) 4 (-1)(-3),= -(8413),将负号提出来,绝对值进行相乘,= -96,先确定积的符号,解,四个负号相乘,结果为正号,绝对值进行相乘,= 32,先确定积的符号,(2),1.计算:,(1)(-2)17(-5); (2)(-15)3(-4); (3) ; (4)0.1259(-8); (5)(-5)(-4)(-3); (6)(-1.5)6(-4); (7) ; (8)(-10) 28 0.,1.解,(1)(-2)17(-5)=2517=170,(2)(-15)3(-4)=1543=180,(3),(4)0.1259(-8)=-(80.125)9=-9,(5)(-5)(-4)(-3)=-(543)=-60,(6)(-1.5)6(-4)=1.546=36,(7),(8)(-10) 28 0 = 0,2.计算:,(1) ; (2)(-4)(-3)(- 5)(-2.5).,2.解,(1),(2)(-4)(-3)(- 5)(-2.5) = 4352.5 = 150,1.5.2 有理数的除法,我们知道 2 3 = 6,,因此 6 3 = 2. ,那么如何计算(-6)3, 6(-3), (-6)(-3)呢?,(-6)3=?, 6(-3)=?, (-6)(-3)=?,由于 (-2)3 = - 6 ,,因此, (-6)3 = -2 . ,类似地,由于(-2)(-3)= 6 ,,由于 2 (-3) = -6 ,,因此, 6(- 3)= -2 , ,因此, (-6)(-3)=2 . ,从这些例子受到启发,抽象出有理数的除法运算; 对于两个有理数a,b,其中b0,如果有一个有理数c,使得cb = a,那么规定ab=c,且把c叫作a除以b的商.,同号两数相除得正数,异号两数相除 得负数,并且把它们的绝对值相除. 0 除以任何一个不等于0的数都得0.,有理数的除法是通过乘法来规定的,因此由至式可以得出:,(+)(+)(+),(-)(-)(+),(-)(+)(-),(+)(-)(-),例4 计算: (1)(-24)4 ; (2)(-18)(-9); (3) 10 (-5).,举 例,解,(1) (-24) 4,= - (24 4),根据除法法则,(-24)和4为异号相除,结果为负,解,(2)(-18) (-9),= +(18 9),根据除法法则,(-18)和(-9)为同号,结果为正,= -6,= 2,解,(3) 10(-5),= -(10 5),根据除法法则,10和(-5)为异号相除,结果为负,= -2,试问:10(-5) 还可以怎样计算 ?,我们已经知道 10(-5)= -2 ,,所以 ,又,由于 ,因此,我们把 叫做-5的倒数,把-5叫做 的倒数.,一般地,如果两个数的乘积等于1,那么把其中一个数叫做另一个数的倒数,也称它们互为倒数. 0没有倒数.,因此,式表明10除以-5等于10乘-5的倒数.,除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数.,一般地,有理数的除法运算可以转化为乘法运算,即,也可以表示成,例5 计算: (1) ; (2) ; (3) .,举 例,解,(1),= (-12)3,根据除法法则,异号相乘,结果为负,解,(2),=,根据除法法则,异号相乘,结果为负,的倒数是3,= -36,= -35,的倒数是,解,(3),=,根据除法法则,同号相乘,结果为正,=,的倒数是,1.计算:,(1)14(-7); (2)(-36)(-3); (3)0 (-0.618); (4)(-48)12.,1.解,(1)14 (-7)= -2;,(2)(-36)(-3)= 12 ;,(4)(-48)12 = -4.,(3) 0 (-0.618) = 0;,2.填空:,(1)因为 = 1,所以 的倒数是 ; (2) 的倒数是 ;-3的倒数是 .,-6,-6,3.计算:,(1) (-36)(-0.6) ; (2) ; (3) ; (4) .,60,-28,下面的算式含有乘、除两种运算,怎样进行有理数的乘、除混合运算呢?,可以按从左到右的顺序依次计算.,也可以先将除法转化为乘法.,例3 计算: (1)(-56)(-2) (-8);,举 例,(2)(-10)(-5)(-2);,(3),(4),解,(1)(-56)(-2) (-8),= 28 (-8),可以依次计算,先算前两个数,异号相除,结果为负,=,(2)(-10)(-5)(-2);,先计算后两个,= -1,解,= -30 (-3),可以依次计算,先算前两位数,= 90,依次计算,= 0.8,(3),(4),解,下面是小明同学做的一道计算题,他的计算是否正确?如果不正确,说说他错在哪里.,计算器是日常生活中常用的一种现代计算工具,因此我们可以利用计算器来计算.,计算器有各种型号,型号不同,操作方法略有不同.下面我们以某种型号的计算器(图1-17)为例介绍操作方法.,图1-17 某种电子计算器的面板示意图,举 例,例7 用计算器计算(精确到0.001): -1840 0.28(-375),再将结果四舍五入后就可以得到答案1.374.,解 按照下列顺序按键:,不同的计算器,操作方法可能有所不同.具体操作方法应参看计算器的使用说明书.,1.计算:,(1)24(-3)(-4) ; (2)(-6)(-2)3; (3)2(-7)(-4); (4) 186(-2).,1.解,(1)24(-3)(-4)= -8 (-4)= 2 ;,(2)(-6)(-2)3 = 33 = 1 ;,(3)2(-7)(-4) = (-4) = ;,(4)18 6(-2) = 3(-2)= -6 .,2.计算:,(1) ; (2) ; (3) .,3. 用计算器计算: 1.26(-15 )80.,-6.72,例1,计算:(-100)(-20)-(-3).,本题中,先计算乘法,同号为正,再将减法运算转化成加法.,分析,原式=10020+3 =2000+3 =2003.,解,例2,计算: .,有理数的除法法则 两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除. 0除以任何非0的数都得0. 除以一个数等于乘以这个数的倒数,即ab= a (b0).,分析,原式=-11(-13)(-13) =-111313 =-1859,-1859,解,解,例3,如图,是一个简单的数值运算程序,当输入x的值为1时,则输出的数值为 .,输入x值为1,即算式为1(-1)+3=2,所以输出为2.,2,结 束,
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