有理数的乘法和除法.ppt

有理数的乘法和除法,1.5,1.5.1 有理数的乘法,我们已经熟悉了非负数的乘法运算，,那么如何计算 （-5）3， 3（-5）， （-5）（-3）呢？,我们把向东走的路程记为正数.如果小丽从点O出发，以5km/h的速度向西行走3h后，小丽从O点向哪个方向行走了多少千米？,小丽从O点向西行走了（53）km.,由此，我们有,（-5）3 =,（53）,-,我们已经知道(-5)3 = -(53)，,那么3(-5 )，(- 5)(-3)又应怎样计算呢？,非负数的乘法与加法是用分配律联系起来的，因此，当数扩充到有理数后，要规定有理数的乘法法则，当然也要求它满足分配律，以便把乘法与加法联系起来.如果它满足分配律，那么就会有,3(-5)+35=3 (-5)+5=30=0,这表明3(-5)与35互为相反数，于是有,3(-5)=-(35). ,异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘.,从、式受到启发，一般规定：,（-）（+）（-）,（+）（-）（-）,任何数与0相乘，都得0.,类似地，我们有,(-5)(-3)+(-5)3 =(-5)(-3)+3 =(-5)0 = 0,这表明(-5)(-3)与(-5)3互为相反数. 因为(-5)3= -15，而-15的相反数是15， 所以(-5)(-3)=15 .,即 (-5)(-3)= 15 = 53 . ,由式看出，(-5)(-3)得正数，并且把绝对值5与3相乘.,同号两数相乘得正数，并且把绝对值相乘.,从、式受到启发，于是规定：,（+）（+）（+）,（-）（-）（+）,例1 计算： （1）3.5 （-2）； （2） ； （3） ； （4）（-0.57） 0.,举 例,解,（1） 3.5 （-2）,= -(3.52),根据乘法法则,= -7,3.5)和(-2)为异号，结果为负,3.5和(-2)的绝对值相乘,解,（2）,=,根据乘法法则,=,为异号，结果为负,它们的绝对值相乘,解,（3）,=,根据乘法法则,= 1,为同号，结果为正,解,（4）（-0.57） 0,根据乘法法则,= 0,任何数与0相乘，结果为0,1. 填表:,-,14,-,+,3,-14,-3,2. 计算：,（1） ； （2） .,在小学我们已经学过乘法的交换律、结合律，那么这两个运算律在有理数范围内是否也适用呢？,填空：,（1）(-2)4= ， 4(-2)= ；,-8,-8,（2）(-2)(-3) (-4)= (-4)= ， (-2)(-3) (-4)=(-2) = .,6,-24,12,-24,从上面的填空题中，你发现了什么？,乘法交换律： = .,a,b,a,b,即，两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变.,乘法结合律：( ) = ( ).,a b,a,b c,c,即，对于三个有理数相乘，可以先把前两个数相乘，再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变,和加法类似，根据乘法交换律和乘法结合律可以推出：三个或三个以上有理数相乘，可以写成这些数的连乘式对于连乘式，可以任意交换因数的位置，也可先把其中的几个数相乘,（1）填空：,(-6)4+(-9) =(-6) = ， (-6)4+(-6)(-9)= + = .,-5,30,54,-24,30,（2）换几个有理数试一试，你发现了什么？,乘法对加法的分配律（简称为分配律）： ( + ) = + .,b c,a,a,b,a,c,（-1）a = -a,利用分配律，可以得出,即，一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.,例2 计算： （1） ； （2） （-12.5）（-2.5）（-8） 4 .,举 例,解,（1）,=,将分数逐个与60相乘,= 30-20-15+12,= 7,分数与整数60相乘,计算结果,解,（2） (-12.5)(-2.5)(-8)4,= (-12.5) (-8)(-2.5)4,(-12.5)和(-8)相乘为整数,= 100(-10),(-2.5)和4相乘为整数,= -1000,相乘为整数的先结合起来,(-12.5)和(-8)为同号相乘,(-2.5)和4为异号相乘,(-10)和100相乘为异号,下列各式的积是正数还是负数？积的符号与负因数（因数为负数）的个数之间有什么关系？ （1）（-2）（-3）（-4）； （2）（-2）（-3）（-4）（-5）.,几个不等于0的数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.,例3 计算： （1）（-8） 4 （-1）（-3） ； （2） .,举 例,解,（1） (-8) 4 (-1)(-3),= -(8413),将负号提出来,绝对值进行相乘,= -96,先确定积的符号,解,四个负号相乘，结果为正号,绝对值进行相乘,= 32,先确定积的符号,（2）,1.计算:,（1）(-2)17(-5)； （2）(-15)3(-4)； （3） ； （4）0.1259(-8)； （5）(-5)(-4)(-3)； （6）(-1.5)6(-4)； （7） ； （8）(-10) 28 0.,1.解,（1）(-2)17(-5)=2517=170,（2）(-15)3(-4)=1543=180,（3）,（4）0.1259(-8)=-(80.125)9=-9,（5）(-5)(-4)(-3)=-(543)=-60,（6）(-1.5)6(-4)=1.546=36,（7）,（8）(-10) 28 0 = 0,2.计算:,（1） ； （2）（-4）（-3）（- 5）（-2.5）.,2.解,（1）,（2）（-4）（-3）（- 5）（-2.5） = 4352.5 = 150,1.5.2 有理数的除法,我们知道 2 3 = 6，,因此 6 3 = 2. ,那么如何计算（-6）3， 6（-3）， （-6）（-3）呢？,（-6）3=?， 6（-3）=?， （-6）（-3）=?,由于 （-2）3 = - 6 ，,因此， （-6）3 = -2 . ,类似地，由于（-2）（-3）= 6 ，,由于 2 （-3） = -6 ，,因此， 6（- 3）= -2 ， ,因此， （-6）（-3）=2 . ,从这些例子受到启发，抽象出有理数的除法运算； 对于两个有理数a，b，其中b0，如果有一个有理数c，使得cb = a，那么规定ab=c，且把c叫作a除以b的商.,同号两数相除得正数，异号两数相除 得负数，并且把它们的绝对值相除. 0 除以任何一个不等于0的数都得0.,有理数的除法是通过乘法来规定的，因此由至式可以得出：,（+）（+）（+）,（-）（-）（+）,（-）（+）（-）,（+）（-）（-）,例4 计算： （1）（-24）4 ； （2）（-18）（-9）； （3） 10 （-5）.,举 例,解,（1） （-24） 4,= - (24 4),根据除法法则,(-24)和4为异号相除,结果为负,解,（2）（-18） （-9）,= +(18 9),根据除法法则,（-18）和(-9)为同号,结果为正,= -6,= 2,解,（3） 10（-5）,= -(10 5),根据除法法则,10和(-5)为异号相除,结果为负,= -2,试问：10(-5) 还可以怎样计算 ？,我们已经知道 10（-5）= -2 ，,所以 ,又,由于 ，因此，我们把 叫做-5的倒数，把-5叫做 的倒数.,一般地，如果两个数的乘积等于1，那么把其中一个数叫做另一个数的倒数，也称它们互为倒数. 0没有倒数.,因此，式表明10除以-5等于10乘-5的倒数.,除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数.,一般地，有理数的除法运算可以转化为乘法运算，即,也可以表示成,例5 计算： （1） ； （2） ； （3） .,举 例,解,（1）,= （-12）3,根据除法法则,异号相乘，结果为负,解,（2）,=,根据除法法则,异号相乘，结果为负,的倒数是3,= -36,= -35,的倒数是,解,（3）,=,根据除法法则,同号相乘，结果为正,=,的倒数是,1.计算：,（1）14(-7)； （2）(-36)(-3)； （3）0 (-0.618)； （4）(-48)12.,1.解,（1）14 (-7)= -2；,（2）(-36)(-3)= 12 ；,（4）(-48)12 = -4.,（3） 0 (-0.618) = 0；,2.填空：,（1）因为 = 1，所以 的倒数是 ； （2） 的倒数是 ；-3的倒数是 .,-6,-6,3.计算：,（1） (-36)(-0.6) ； （2） ； （3） ； （4） .,60,-28,下面的算式含有乘、除两种运算，怎样进行有理数的乘、除混合运算呢？,可以按从左到右的顺序依次计算.,也可以先将除法转化为乘法.,例3 计算： （1）（-56）（-2） （-8）；,举 例,（2）（-10）（-5）（-2）；,（3）,（4）,解,（1）（-56）（-2） （-8）,= 28 （-8）,可以依次计算,先算前两个数,异号相除，结果为负,=,（2）（-10）（-5）（-2）；,先计算后两个,= -1,解,= -30 （-3）,可以依次计算,先算前两位数,= 90,依次计算,= 0.8,（3）,（4）,解,下面是小明同学做的一道计算题，他的计算是否正确？如果不正确，说说他错在哪里.,计算器是日常生活中常用的一种现代计算工具，因此我们可以利用计算器来计算.,计算器有各种型号，型号不同，操作方法略有不同.下面我们以某种型号的计算器（图1-17）为例介绍操作方法.,图1-17 某种电子计算器的面板示意图,举 例,例7 用计算器计算（精确到0.001）： -1840 0.28(-375),再将结果四舍五入后就可以得到答案1.374.,解 按照下列顺序按键：,不同的计算器，操作方法可能有所不同.具体操作方法应参看计算器的使用说明书.,1.计算：,（1）24(-3)(-4) ； （2）(-6)(-2)3； （3）2(-7)(-4)； （4） 186(-2).,1.解,（1）24(-3)(-4)= -8 (-4)= 2 ；,（2）(-6)(-2)3 = 33 = 1 ；,（3）2(-7)(-4) = (-4) = ；,（4）18 6(-2) = 3(-2)= -6 .,2.计算：,（1） ； （2） ； （3） .,3. 用计算器计算： 1.26(-15 )80.,-6.72,例1,计算：（-100）（-20）-（-3）.,本题中，先计算乘法，同号为正，再将减法运算转化成加法.,分析,原式=10020+3 =2000+3 =2003.,解,例2,计算： .,有理数的除法法则 两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何非0的数都得0. 除以一个数等于乘以这个数的倒数，即ab= a （b0）.,分析,原式=-11（-13）（-13） =-111313 =-1859,-1859,解,解,例3,如图，是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为1时，则输出的数值为 .,输入x值为1，即算式为1(-1)+3=2，所以输出为2.,2,结 束,