投影点、直线、平面的投影.ppt

第二章 点、直线、平面的投影,1 投影原理 2 点的投影 3 直线的投影 4 平面的投影,第一章 投影法的基本知识,投影原理,在日常生活中看到这样一些现象：物体在灯光或日光照射下，会在地面、墙面或其它物体的表面上产生影子，并能在某种程度上显示出物体的形状和大小，投影的方法就是人们从这些自然现象中抽象出来的。 一、 投影的形成,续,二、 投影的分类,中心投影和平行投影 1、 中心投影 先看下图上空一灯 S ，照一物体（四棱台），在桌面 P 上产生一个影子。或者说，灯 S 照射桌面 P ，上方放一物体，由于物体的存在，挡住一部分光线，在桌面上产生阴暗部分，叫做物体在桌面上产生的影子 ，这个影子叫四棱台在桌面上的投影 。桌面P叫作投影面，灯的中心S叫做投影中心 ，光线叫投射线 。 这种投射线集中于一点时的投影叫中心投影,2、平行投影,上图中，如果投影中心S移至离投影面P无穷远的地方，则投射线就相互平行，投影中心只能用投射方向 S 表示。这种投射线相互平行的投影叫做 平行投影 。 平行投影根据投射线与投影面倾角的不同分为： 正投影：（直角投影）投射线垂直于投影面。 斜投影：投射线倾斜于投影面,正投影的几何性质,1、同素性 点的正投影仍然是点，直线的正投影一般 仍然为直线。 2、从属性 点在直线上，点的投影仍在直线的投影上 3、定比性 点分线段的比例，等于点的投影分线段投影的比例 4、平行性 两直线平行，它们的投影仍平行，且线段长度长度之比等于投影长度之比。 5、显实性 若线段或平面平行于投影面，则它们的投影反映实长或实形。 6、积聚性 若直线或平面垂直于投影面，则直线的投影积聚为一点，平面的投影积聚为一条直线。,三面投影图的形成,工程上绘制图样的主要方法是正投影法，但是只用一个正投影面来表示物体是不够的。因为每一个物体都有三个向度的尺寸，而 一个投影只能确定两个向度的尺寸，所以，为了确定物体的形状，通常是画三面正投影图。 三面投影图的形成过程是：如图 （1）建立三面投影体系，给出三个互相垂直的投影面H、V、W。其中H面是水平放置的，称为水平投影面；V面是正立放置的称为正立投影面；W面是侧立放置的称为侧立投影面。它们的交线OX、OY、OZ称投影轴，三个投影轴互相垂直。,续,（2）将物体分别向三个投影面进行正投影。在H面的投影，称为水平投影图；在V面的投影称为正立投影面；在W面的投影称为侧立投影面。 （3）把位于三个投影面上的三个投影图展开 V面不动，H面绕OX轴向下旋转90度，W面绕0Z轴向后旋转90度。把三个投影图画到一个平面上，也就是物体的三面投影图。展开后三面投影图的关系是：V面和H面左右对齐，长度相等；V面和W面的投影上下对齐，高度相等；H面投影图和W面投影前后对应，宽度相等。这就是“长对正，高平齐，宽相等”。,续,点的投影,点的单面投影 点在某一投影面上的投影，实质上是过该点向投影面作垂线的垂足。点的投影仍然是点。 如图：给出投影面H和空间点A，过点A向H面作垂线，得垂足a，则点a就是A在H面上的投影。已知点A，则点a是唯一确定的，但若是已知a, 则不能确定点A,所以点的单面投影不能确定空间点的位置。,投影图的绘制方法和步骤,建立直角坐标轴 根据尺寸及选定的投影方向，确定布图方位，先作出V面或W面投影图，按照“长对正，高平齐，宽相等”投影对应关系，作出H面投影如图所示： 检查无误后，描深完成三面投影图。,点的两面投影,右图所示，将 A 向一水平投影面 H 进行正投影，则过 A 点的投射线与 H 面的交点 a 就是空间点 A 在 H 面上的投影。 若B点在过A点的投射线上，则B在H面的投影b与a重合。由此得出结论：空间任意一点在投影面上只有一个唯一确定的投影，但由一个投影面上的投影不能确定在空间的位置。如由a不能确定空间A的位置。因此，需要设置两个投影面。,在上图的基础上再增加一与水平投影面垂直的投影面 V 。将空间点A向两个投影面正投影，即过A点向H面引垂线，得一垂足，即为A点的水平投影；过A点向V面引垂线，得一垂足，即为A点的正面投影。 说明： a.我们讨论的投影都是指正投影：投射线垂直于投影面。为了叙述简单，把“正投影”简称为“投影”。 b.这两个投影一个是水平投影面，用字母“ H ”表示，称为水平投影面或 H 面；另一个是正对观察者垂直 H 面的投影面，称为正立投影面或 V 面，用字母“ V ”表示。,点的两面投影,续,c.H面与V面相交于一条水平直线，用字母Ox表示，称投影轴Ox或Ox轴。 d.空间点在H面和V面的投影分别点的水平投影和正面投影，或称为点的H面和V面投影。 e.空间点用大写字母表示，在 H 面上的投影用对应的小写字母表示；在 V 面上的投影用对应的小写字母并在右上角加一撇表示。如 A 、 a 、 a 等。,三、投影图,上述投影a和a还是分别地位于H和V两个平面上，而我们的最终目的是要把它们表示在一个平面上。为此，规定V面不动，H面绕Ox向下旋转90与V面重合。这样就得到了点的两面投影图。这种投影面重合后得到的多面投影称为投影图 。又因为投影面的大小是任意的，故不画投影面边框,四、点在两面投影特性,在投影图中，一点的两个投影具有下列特性 ： (1)点的正面投影（ a ）和水平投影（ a ）的连系线垂直于投影轴 OX （ aaOX）。 投影图上，一点的两个投影之间的连线，称为投影连系线，简称连系线。 (2)一点的一个投影到投影轴的距离，等于该点到相邻投影面的距离。 五、根据一点在投影图中两个投影，能确定该点在空间的位置，以及到两投影面的距离,点的三面投影及投影规律,点V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴 点V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴 点H面投影至OX轴的距离等于其W面投影至OZ轴的距离。,点的三面投影及投影特征,例2-1：如图所示，已知点A的正面投影和侧面投影，求作水平投影。 根据点的投影规律，即可作出点的三面投影，步骤如下： 1、过点a做aax垂直OX轴，并适当延长； 2、过点a做aay垂直OYW轴，并适当延长，交于转折线后向左垂直交于OYH轴并适当延长，与aax 延长线交于点a，点a即为所求；,点的投影与直角坐标,空间一点的位置可用直角坐标表示为A（x，y，z），点A三投影的坐标分别为a（x,y），a（x,z），a（y,z）。 例2-2：已知空间点A（15，12，20），求点A的三面投影图。 根据点的投影和点的坐标之间的关系，即可作出点的三面投影。如图所示：,两点的相对位置及重影点,两点的相对位置是指空间两个点的左右、前后、上下3个方向的相对位置，可根据它们的坐标来确定。 X坐标大者在左，小者在右 Y坐标大者在前，小者在后 W坐标大者在上，小者在下 例2-3已知空间点A（15，15，15），点B在点A的左方5mm，后方6mm，上方3mm，求作空间点B的三面投影。如图：,直线的投影,一、各种位置直线的投影,二、一般位置直线段的真长及夹角,三、直线上点的投影,各种位置直线的投影,一、特殊位置直线,1. 投影面平行线 (1) 水平线 (2) 正平线 (3) 侧平线,2. 投影面垂直线 (1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线,二、一般位置直线,水平线的投影,Y,b,b,b,a,a,a,o,Z,H,W,V,A,B,X,水平线的投影,投影特性：1ab OX ; ab OYW 2 ab=AB 3反映、 角的真实大小,正平线的投影,投影特性： 1 ab OX ; a b OZ 2 a b=AB 3 反映、角的真实大小,Z,YH,YW,侧平线的投影,投影特性： 1 ab OZ ; ab OYH 2 ab =AB 3反映 、 角的真实大小,铅垂线的投影,YW,铅垂线的投影,投影特性：1 a b 积聚 成一点 2 a bOX ; a b OYW 3 a b = a b = AB,YW,Z,b,a (b ),正垂线的投影,投影特性： 1 ab 积聚 成一点 2 ab OX ; ab OZ 3 ab = ab =AB,侧垂线的投影,投影特性： 1 ab 积聚 成一点 2 ab OYH ; ab OZ 3 ab = ab =AB,一般直线的投影,投影特性：1 a b、 ab、a b均不反映实长 2 a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3不反映 、 、 实角,直角三角形法,直线上的点,直线上的点具有两个特性： 从属性 若点在直线上则点的各个投影必在直线的各同面投影上。 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b,例：求作CAB，使ACCB12,平面的几何元素表示,平面的迹线表示,平面的投影特性(铅垂面),平面的投影特性(正垂面),平面的投影特性(侧垂面),铅垂面的投影,铅垂面的迹线表示,投影面平行面(水平面),投影面平行面(正平面),投影面平行面(侧平面),正平面的投影,正平面的迹线表示,一般位置平面的投影,平面内的直线,平面内的点,例：已知点KABC，且知其正面投影k,求它的水平投影k,