高考复习-数列的综合应用.ppt

第五节数列的综合应用,1.数列与其他章节的综合题 数列综合题，包括数列知识和指数函数、对数函数、不等式的知识综合起来，另外，数列知识在复数、三角函数、解析几何等部分也有广泛的应用 2数列的探索性问题 探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现，探索性问题对分析问题、解决问题的能力有较高的要求 3等差数列与等比数列的综合问题,4数列的实际应用 现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、曲线长度等实际问题，常常考虑用数列的知识来加以解决,1数列应用题要以教材中的复利计算和分期付款模型为基本研究类型，注意是an，还是Sn问题，并注意对实际问题有实际意义，进行合理性验证 2分类讨论和等价转化思想是本节内容考查中最容易穿插的思想方法，体现在递推数列转化为等差或等比数列将解析几何问题、三角问题、不等式问题分类讨论或进行转化，以数列方式解决，还应注意数列极限和数学归纳法的使用.,例1由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品第一天运送1 000 t，第二天运送1 100 t，以后每天都比前一天多运送100 t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100 t，连续运送15天，总共运送21 300 t，求在第几天达到运送食品的最大量,整理化简得n231n1980. 解得n9或22(不合题意，舍去) 即在第9天达到运送食品的最大量 规律总结本题属等差数列应用问题应用等差数列的前n项和求和公式，在求和后，整理化简便得所求问题的答案.,备选例题1 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？,例2(2007上海)近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%.以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%(如2003年的年生产量的增长率为36%) (1)求2006年全球太阳能电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦)；,(2)目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦，假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的95%)，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少？(结果精确到0.1%),解(1)由题意知：2003年的太阳能年生产量为：a1670(136%)， 2004年的太阳能年生产量为：a2a1(138%)， 2005年的太阳能年生产量为：a3a2(140%)， 2006年的太阳能年生产量为：a4a3(142%)， 即a46701.361.381.401.42 2 499.8兆瓦,(2)设2006年后4年内年安装量的增长率为x. 则由题意知： 1 420(1x)42 499.8(142%)495%， 解得x0.61561.5%， 即x的最小值为61.5%. 答：(1)2006年的太阳能年生产量为2 499.8兆瓦 (2)4年内年安装量的增长率的最小值为61.5%. 规律总结与等比数列联系较大的是“增长率”“递减率”的概念，在经济上要涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更要涉及利率的问题，这都与等比数列有关.,备选例题2某国采用养老储备金制度公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1r)n2，.以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额,(1)写出Tn与Tn1(n2)的递推关系式； (2)求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列 (1)解：我们有TnTn1(1r)an(n2) (2)证明：T1a1，对n2反复使用上述关系式，得 TnTn1(1r)an Tn2(1r)2an1(1r)an a1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an. 在式两端同乘1r，得,例3(2010德州调研)某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式，对购买10万元一辆的轿车在一年内将款全部付清的前提下，可以选择以下两种分期付款的方案购车： 方案一：分3次付清，购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款 方案二：分12次付清，购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款，购买后12个月第12次付款,规定分期付款中每期付款额相同，月利率为0.8%，第月利息按复利计算，即指上月利息要计入下月本金 试比较以上两种方案的哪一种方案付款总额较少？ 注：计算结果保留三位有效数字参考数据： 100831.024,1.00841.033,1.008111.092， 1008121.1,1.02111.243,1.02121.268.,答案第二种方案付款总额较少,规律总结采用分期付款的方法，购买售价为a元的商品(或贷款a元)，每期付款数相同，购买后1个月(或1年)付款1次，过1个月(或1年)再付1次，如此下去，到第n次付款后全部付清如果月利率(或年利率)为b，那么每期付款x元满足下列关系；按年利息时为 a(1nb)x1(1b)(12b)1(n1)b， 按复利计息时为 a(1b)nx1(1b)(1b)2(1b)n1， 化简得x(1b)n1ab(1b)n.,答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.,分析对于第(1)(2)问直接利用函数的相关知识解决；第(3)问可采用放缩法证明,解：(1)二次函数f(x)x22(103n)x9n261n100(nN*)的图象的顶点的横坐标为103n， an103n(nN*) an1an103(n1)(103n)3， 数列an是等差数列 (2)二次函数f(x)x22(103n)x9n261n100(nN*)的图象的顶点到y轴的距离为|103n|， dn|103n|(nN*)数列dn的前3项为一个首项为7、公差为3的等差数列，从第4项开始为一个首项为2、公差为3的等差数列 数列dn前n项的和,例假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底， (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？ (2)当年建造的中低价房面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?,解题思路(1)设中低价房面积形成数列an，由题意可知，an是等差数列，其中a1250，d50，则Sn250n 5025n2225n，令25n2225n4 750，即n29n1900，解得n10或n19. 又n是正整数，n10，即到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米 (2)设新建住房面积形成数列bn，由题意可知，bn是等比数列，其中b1400，q1.08，则bn400(1.08)n1，由题意可知an0.85bn，,则250(n1)50400(1.08)n10.85，用计算器解得满足上述不等式的最小正整数n6. 到2009年底，当年的建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 错因分析误区一：建立不起数学模型，抓不住数学实质，对于题目中一个等差数列an和一个等比数列bn的基本框架找不出来，从而思维受阻 误区二：2004年为第一年，n10则以2013年底，而不是2014年底，同样第(2)题中n6，应到2009年底，首次满足条件.,