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引言众所周知，矩阵理论在历史上至少可以追溯到Sylvester与Cayley，特别是Cayley1858年的工作。自从Cayley建立矩阵的运算以来，矩阵理论便迅速开展起来，矩阵理论已是高等代数的重要组成局部。近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻找它们的根源。另一方面，作为一种根本工具，矩阵理论在应用数学与工程技术学科，如微分方程、概率统计、最优化、运筹学、计算数学、控制论与系统理论等方面有着广泛的应用。同时，这些学科的开展反过来又极大地促进了矩阵理论的开展。特征值与特征向量是矩阵理论中既具有根本理论意义，又具有重要应用价值的知识，与矩阵理论的其它知识也有着密切的联系。可以说，特征值与特征向量问题是矩阵理论的根本核心问题。因此，掌握这方面的知识对于培养新的高素质科技人才来说是必备的非常重要的。矩阵是高等代数课程的一个根本概念是研究高等代数的根本工具。线性空间、线性变换等，都是以矩阵作为手段，由此演绎出丰富多彩的理论画卷。求解矩阵的特征值和特征向量，是高等数学中经常碰到的问题。一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量。特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在于生活现实中的应用也很广泛。“特征一词来自德语的eigen，由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用亥尔姆霍尔兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念。eigen一词可翻译为“自身的，“特定于.的，“有特征的或者“个体的，这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的。 矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一，也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学如物理学、控制论、弹性力学、图论等和工程应用如结构设计、振动系统、矩阵对策的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值。随着计算机的迅速开展，现代社会的进步和科技的突飞猛进，高等代数作为一门根底的工具学科已经向一切领域渗透，它的作用越来越为世人所重视。在多数高等代数教材中，特征值与特征向量描述为线性空间中线性变换的特征值与特征向量；而在大局部线性代数教材中,特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成。矩阵的特征值应用于生活中的，为生活各类问题解决，创立有效的数学模型提供了有效的工具，为解决问题提供有效的方法。矩阵的特征值与特征向量是数学与其它科学研究的根底和工具。学习和研究数学，联系实际，通过数学的工具来解决生活上问题。离开数学别的科学研究是寸步难行的，所以我们必须重视数学，深入研究矩阵特征值与特征向量，从而促进所有科学的开展。第1章 绪论及意义矩阵是数学中重要的一个根本概念之一，是代数中的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个极其重要的工具。矩阵特征值与特征向量问题是矩阵理论中的重要组成局部，它在高等代数与其他科技领域中占有非常重要的位置。同时它又贯穿了高等代数中的方方面面，对该课题的研究加深了我们对高等代数中各个局部的认识，从而使我们能更深刻的了解高等代数中的相关理论。对矩阵特征值与特征向量理论研究及其应用探究，不仅仅提高高等代数以及相关课程的理解有很大的帮助，而且在理论上也非常重要，可以直接用它个数学分支，矩阵的特征值与特征向量的应用是表达在多方面的，不仅仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用。在此之前已有很多专家学者都涉足此领域研究该问题。汤正华在2021年发表的?关于矩阵的特征值与特征向量的探讨?讨论了矩阵的特征值与特征向量的定义、性质；特征值与特征向量的求法等问题。李延敏在?关于矩阵的特征值与特征向量同步求解问题?中通过对矩阵进行行列互换，同步求出矩阵特征值与特征向量，解决了不少带参数求特征值问题，并给出一些新定理。邵丽丽在2006年?矩阵的特征值和特征向量的应用研究?中通过对阶矩阵的特征值与特征向量的研究，针对阶矩阵的特征值与特征向量的应用进行了3方面的探讨，并给出了相关命题的证明及相应的例题。向以华在?矩阵的特征值与特征向量的研究?对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值与特征向量的结论，同时讨论了反问题。汪庆丽在?用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量?中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证其方法的合理性，并阐述此方法的具体求解步骤。郭华、刘小明在?特征值与特征向量在矩阵运算中的作用?中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用。王秀芬在?线性递推关系中特征值与特征向量的应用?中推导出一种方法，通过此方法可以利用特征值与特征向量求线性递推关系中的通项公式。马巧云在?特征值法求解二次型的条件最值问题?中根据Lagrange 乘数法求解条件最值问题的原理，针对特殊的二次型条件最值问题，分析最值与特征值间的对应关系，给出二次型条件最值问题求解的特征值方法，并结合例子说明特征值方法求解的简便及有效，具有一定的应用价值。近年来，对矩阵特征值与特征向量的研究已经很深入，本课题将对矩阵特征值与特征向量的相关问题进行系统的归纳。对矩阵的特征值与特征向量的根本性质进行介绍，根据其性质对矩阵特征值与特征向量的应用进行更深一步的探讨。内容及方法在前人的研究根底上，本文给出了特征值与特征向量的概念与性质，特征值和特征向量性质是最根本的内容，特征值与特征向量的讨论使这一工具的使用更加的便利，解决问题的作用更强有力，它的应用也就更加广泛。在这根底上，对矩阵特征值与特征向量的计算进行了详尽的阐述和说明。利用特征方程来求特征值进而求特征向量法、列行互逆变换法以及矩阵的初等变换求特征值与特征向量。由于矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍对特征值与特征向量应用的探究,阐述了特征值与特征向量在矩阵运算中的作用，利用特征值法求解二次型最值的问题和反求解问题的应用，以及特征值与特征向量在其他方面的应用。在例题解析中运用了一些特征值与特征向量的性质与方法，可以使问题更加简单，在运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效的途径。本文就是通过大量的例子来说明运用特征值和特征向量的性质可以使问题更清楚，从而使高等代数中大量习题迎刃而解，也把特征值和特征向量在解决实际问题中的优越性表现了出来。 第2章 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的定义和性质定义1：设是数域上线性空间的一个线性变换，如果对于数域中一数，存在一个非零向量，使得那么称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量.2.1.2 阶方阵的特征值与特征向量定义2：设是阶方阵，假设存在数和维向量，使得成立，那么称为的特征值，是对应于特征值的的特征向量.性质1假设是的重特征值，对应于特征值有个线性无关的特征向量，那么.性质2 假设都是矩阵的属于特征值的特征向量,那么当不全为零时, 仍是对应于特征值的的特征向量性质3 假设是矩阵中互不相同的特征值，其对应特征向量分别为，那么是线性无关的性质4 假设的特征值为，那么，性质5 实对称矩阵的特征值都是实数，属于不同的特征值的特征向量正交2.2 中线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值、特征向量之间的关系 定理:设是的一组基,1的特征值必是的特征值，的属于的特征向量，那么必是的属于特征值的特征向量.2设是的一个特征值，且，那么是是的一个属于特征值的一个特征向量，那么是的一个属于的特征向量.证明：1设是的特征值，于是有使得，其中，设，那么，又，所以有，由他们的坐标列相等可得，所以其次线性方程组有非零解，于是，故是的特征多项式的根，即是的特征值，从而的坐标是的属于的特征向量.2设是的一个特征值，且，于是有非零解，令，即，于是，故是的一个特征值，且是的属于的特征向量.求数字方阵的特征值与特征向量由方阵的特征值和特征向量的定义知:是的属于的特征向量 因为所以是齐次线性方程组的非零解，所以是特征方程的根。 将上述过程逆叙得到求数字方阵的特征值和特征向量的步骤如下:(1) 计算的特征多项式；(2) 解特征方程,求出它的全部根 ,它们就是的全部特征值。(3) 对每一个特征值 ,求出齐次线性方程组的一个根底解系,这个根底解系便是的属于的线性无关的特征向量,那么的属于的全部特征向量是这个解系的非零线性组合: ,其中是不全为零的数.例 设线性变换在下的矩阵是，求的特征值与特征向量.解：因为特征多项式为.所以特征值二重和5.把特征值代入齐次方程组得到它的根底解系是，.因此属于的两个线性无关的特征向量就是，.而属于的全部特征向量就是，取遍数域5代入，得到它的根底解系是，因此，属于5的一个线性无关的特征向量就是，而属于5的全部特征向量就是，是数域中任意不等于零的数.行列互逆变换法解特征值与特征向量为了定理的表达方便，先给出一个定义.定义1.把矩阵的以下三种变换称为列行互逆变换:1 . 互换i、j两列,同时互换j、i两行；2 . 第i行乘以非零数，同时第j列乘；3 . 第 i行倍加到第 j行，同时第 j列倍加到第 i列 .定理1 为n阶可对角化矩阵，并且其中，那么为的全部特征值，为的对应的特征向量.证明：由行初等变换等价于左乘初等矩阵，列变换等价于右乘初等矩阵的性质及行列互逆变换的定义知，为假设干初等矩阵的乘积，当然可逆，且，即，所以.因为，所以，那么，所以因此，该方法求出的为的特征值，为的对应特征值的特征向量 为了运算上的方便，这里约定： 1.表示矩阵的第j行倍参加第i行； 2.表示矩阵的第j列的倍参加第 i 列 由于用定理1求解时，总会遇到形如 或形式的矩阵化对角阵问题，为此给出具体方法：或 ，其中.那么为的分别对应特征值和的特征向量； 为的分别对应特征值和的特征向量.例求的特征值与特征向量.解： 所以，特征值；特征向量分别为.例求的特征值与特征向量.解： . 所以，特征值分别为；特征向量分别为，.下面给出定理1的推广定理.定理2. 为任意阶方阵，假设，其中为约当矩阵，为约当标准形. ，那么为的特征值；为的对应特征值的特征向量.证明：由一般代数书中定理可知必相似于一约当矩阵，按定理2中化简方法，那么有，即，其中，所以，故有，所以为的特征值；为的对应的特征向量.例 求的特征值与特征向量.解：所以特征值为，对应特征值的特征向量，对应的特征向量为.利用矩阵的初等变换解特征值特征向量引理 矩阵为矩阵，分别是m和n阶可逆矩阵，那么.由此可知，假设，且为n阶单位矩阵，那么形如的矩阵必可经过一系列变换成的形式，其中为矩阵且，分别为和矩阵，为零矩阵，从而有定理1 设为矩阵，其秩，那么比存在n阶可逆矩阵，使，且的个列向量就是齐次线性方程组的根底解系.证明： 此处只需证明的列向量是的根底解系即可. 事实上，由得，即，从而，.这说明的个列向量是齐次线性方程组的解向量. 另设矩阵的列向量为，那么由知向量组即为的列向量，因可逆，所以向量组线性无关，因此的列向量就是的根底解系.例 组的一组根底解系.解：利用初等列变换，得 从而，所求根底解系为.定理2. 设为阶方阵，那么其特征矩阵可通过初等列变换化为下三角矩阵，记为，从而使的解就是矩阵的全部特征值.证明：由初等变换理论，存在n阶可逆矩阵，使，由此得.从而使的解就是的解.这样，由定理1和定理2可以得到同时求解方阵的特征值与特征向量的一种解法：第一步，作如下初等变换：，并由求得矩阵的特征值.第二步，将代入，那么有或. 因为，所以由定理1即知的列向量就是的对应于特征值的线性无关的特征向量.例 求矩阵的特征值与特征向量.解：所以，由得矩阵的特征值为. 将代入，得. 所以对应于的特征向量为 ( 此处二重特征值只对应一个线性无关的特征向量). 将代入，得. 所以对应于的特征向量为. 这里用初等列变换的方法同时求出来矩阵的特征值与特征向量，完全类似地，利用初等行变换也可以实现这一过程，其方法如下： (1) 对矩阵施行初等行变换将其化为矩阵，其中为含有的上三角矩阵，为经过初等变换得到的矩阵； (2) 由行列式求得矩阵的特征值； (3) 将代入中，假设不是行标准形， 那么通过初等行变换将其化为行标准型，并记秩， 那么中的后个行向量的转置就是对应的特征向量 例 征值与特征向量.解：因为特征矩阵，所以 从而由即求得的特征值为二重和. 当时，所以，且的后两行的转置即为对应的特征向量，即. 当时，所以，且的最后一行的转置即为对应的特征向量，即.第3章 特征值与特征向量的根底应用3.1 特征值与特征向量在线性递推关系中的应用用特征值和特征向量对一般线性递推关系进行讨论.设阶线性循环数列满足递推关系：其中是常数，且，方程组可表示为矩阵形式 1令 那么1可写成： 2由2式递推得，其中，于是求通项就归结为求，也就是求. 如果可对角化，即存在可逆矩阵，使得，那么，由于 从第一列开始每一列乘以加到后一列上，就得到如下的矩阵： 假设是的特征值，显然有，那么线性齐次方程组的根底解系中只含有一个解向量，因此当有个特征值时，这个特征值对应的特征向量分别为，由这个特征向量为列构成的方阵记为，那么是可逆的，并且.其中例 设数列满足递推关系：，并且，求通项.解：是三阶循环数列，将方程组用矩阵表示为：，令并由上式递推得其中由，即得的特征值为：再由特征方程解得对应于的特征值的特征向量分别为：令：那么代入2式得： 例 计算n阶行列式解：将按第一行展开得：其中与分别是元素和的余子式，再将它们分别按第一列展开得：那么是三阶线性循环数列.将方程组表示成矩阵形式为：令由上式递推得： 3由解得的特征值为，再由特征方程，解得对应于的特征值的特征向量分别为：令那么由3式可得：将代入上式得：3.2 矩阵特征值反问题方面的应用有n个互不相等的特征值时，必有n个线性无关的特征向量，那么矩阵必可对角化，故，其中相似变换矩阵由的n个线性无关的特征向量组成.例.设3阶方阵的特征值为，对应于特征向量分别是：，求 分析 此题给出了矩阵的3个不相同的特征值及其特征向量.那么矩阵可对角化，显然是矩阵特征值的反问题，可按上面讨论的方法求之.解： 由于是方阵对应于特征值的特征向量，于是有：，令，那么那么有，其中.由上式可得即为所求.3.3 特征值法求解二次型的条件最值问题3.3.1 二次型的条件最值问题及求解该问题的特征值方法二次型的条件最值问题是一类特殊的多元函数极值问题 定义 设有满足条件的n个变量，当存在变量的一组值，使或时，称为最大或最小值.特征值法原理定理1 二次型在条件下的最大值最小值恰是其实数特征值中最大值最小值的c倍.证明：利用拉格朗日数乘法，先作拉格朗日函数，其中：为参数，再令其关于的一阶偏导数为0，得 1由于，所以1可化为 2这是一个齐次线性方程组由于，所以不全为0，从而2有非零解，即该方程的系数行列式为0，于是， 3所以是系数矩阵的特征值.又依次用分别乘1再相加得，又，因此.特别地，二次型在条件下的最大值最小值恰是二次型实特征值中的最大值最小值.定理2 二次型在条件下的最大值最小值是二次型正数特征值倒数中的最大值最小值的k倍；当特征值为0时，在条件下没有最大值，最小值为最大正数特征值倒数的k倍.证明：作拉格朗日函数，令其关于的一阶偏导数为0，得 ， 4接下来证明参见定理1，直到是分别乘4再相加得，又由于，因此，.由于随正数特征值的减小而增大，且当时，的极限不存在，所以不存在最大值，而其最小值那么是最大整数特征值倒数的k倍，证毕.特别地，二次型在条件下的最大值最小值是二次型正特征值倒数中的最大值最小值.特征值方法的求解步骤：根据定理1和定理2，只要知道二次型的特征值，就可以知道或者在特定条件下的最大和最小值了，因此应用特征值方法求解二次型条件最值问题是方便的，其步骤可归结为：1判定问题确实属于定理所描述的二次型条件最值问题；2求二次型的特征值；3根据定理写出二次型或者在特定条件下的最大和最小值.3.3.2 应用举例例4.5.2.1求在时的最值.解：二次型的特征方程为解得特征值为10,1,1，根据定理1可知，在时的最大和最小值分别为70和7.例4.5.2.2 在时的最值.解：二次型的特征方程为，的特征值为3,3,0，根据定理1可知，在时的最大值和最小值0和15.例4.5.2.3 求在时的最值.解： 二次型的特征方程为的特征值为3,3,0，根据定理2可知，在是的最小值为，最大值不存在.3.4 特征值与特征向量在矩阵运算中的作用 3.4.1 特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质性质1.设为n阶方阵，为的n个特征值，那么.性质2.方阵可逆的n个特征值都不为零.性质3.设为方阵的特征值，为的多项式，那么为的特征值.性质4. 不为方阵的特征值.性质5.凯莱哈密顿定理设的特征多项式为，那么.性质6.设n阶方阵的n个特征值为，且为对应的n个线性无关的特征向量，记，那么.性质7.设为n阶实对称矩阵，是它的n个特征值，那么（1） 当且仅当都大于零时，正定；（2） 当且仅当都小于零时，负定；（3） 当且仅当都非负，但至少一个等于零时，是半正定；（4） 当且仅当都非正，但至少一个等于零时，是半负定；（5） 当且仅当中既有正数，又有负数时，是不定的.3.4.2 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用1.求方阵的行列式以及的多项式的行列式.例.1.三阶矩阵的特征值为1，-1,2，设，求 (1) ；(2) ; (3) .解：(1) 由性质1可得； (2) 因，由性质3可知的特征值为，.故.(3)的特征多项式为，令，得.2判断方阵及的可逆性例4.6.2.3.设，问当k为何值时，可逆.解：因，故，为的三个特征值，由性质4可知，当时，可逆.例.4设矩阵满足，证明可逆.证明 设，那么，因，即有，即，而，只有，于是，可知3不是的特征值，所以，即可逆.3.求方阵，的逆矩阵及的k次幂例.5.设，求(1) ; (2) ; (3).解：(1) ,由性质5有，故 (2) 由，可知0不是的特征值，由性质2知，故 (3) ，故.例.6 设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依次为，.求k为大于1的正数.解：因线性无关，记，由性质6有所以，故于是当k为偶数时，；k为奇数时，.例.7.设3阶实对称矩阵的特征值为6,3,3与特征值6对应的特征向量为，求.解：设对应于3的特征向量为，因实对称的不同特征值下的特征向量正交，即有，即的分量满足.又因特征值3的重数为2，所以对应于3恰有两个线性无关的特征向量，显然的根底解系就是对应于3的两个线性无关的特征向量. 由得它的一个根底解系为. 令，由性质6有.故4求方阵的多项式.例.8 设，计算.解：，而显然.由性质5可知，所以5判断实对称的正定性.例.9. 设n阶实对称矩阵正定，那么存在矩阵，使，且也是正定矩阵.证明：因为为实对称矩阵，故存在正交矩阵，使，其中为正定，故有.于是 第4章 特征值与特征向量在其他方面的应用研究与探讨 特征值与特征向量在力学中的应用特征值和特征向量是线性代数中的重要内容之一，在力学中有3 处要运用这些知识，第一处是运用在求主应力和主方向中，第二处运用在求结构的动力学问题的固有频率和振型中，第三处是运用在求结构屈曲临界力中。力学对数学有很大的依赖性，没有学好数学想要成为力学家是很难想象的。甚至可以说没有学好数学就无法学好工科的其他课程。所以，作者要求自己大学一年级的学生一定要学好数学。像线性代数、微积分、空间解析几何等知识在力学中无处不有。下面以特征值和特征向量知识在力学中的运用为例做一介绍。4.1.1 特征值和特征向量知识在求主应力和主方向中的运用某一点的应力状态由6个应力分量决定，可以写成应力矩阵的形式 (1)如果能将式(1) 中的非对角线元素变为0，这时剪应力为0，根据主应力的定理：某一个面上只有正应力而无剪应力时，这个正应力为主应力。式(1) 为实对称矩阵，总是可以对角化，也就是说通过初等变换可以把应力矩阵变为如下对角线矩阵 (2)式(2) 中的非对角线元素为剪应力，这时剪应力为0。因此，式(2) 中的对角线元素分别为第一、第二和第三主应力。求主应力就变为求以下特征值方程的特征值 (3)3 个特征值对应的特征向量是3 个主平面的法线方向，而根据不同的特征值对应的特征向量正交可知3 个主应力的方向是相互正交的。4.1.2 特征值和特征向量知识在求结构动力学问题中的运用无阻尼多自由度系统的动力学微分方程总是可以写成2 (4)其中， 为系统质量矩阵，为系统刚度矩阵， 为位移列向量。求解式(4) 的广义特征值方程为 (5)系统的固有频率，每一个特征值对应一个特征向量，对特征向量进行归一化就得到每一固有频率对应的振型。如果系统刚度矩阵线性相关，那么系统存在刚体运动，存在固有频率为零的情况。4.1.3 特征值和特征向量知识在求结构临界屈曲力中的运用结构屈曲的特征方程为 (6)其中， 为系统刚度矩阵，为系统几何刚度矩阵，为位移列向量。最小特征值min(载荷因子)，即为屈曲临界载荷的表征。不同的特征值对应不同的特征向量，这个特征向量也可叫屈曲模式。在教学实践中，发现很多同学在学了材料力学后，很难记住材料力学中求二维问题的主应力公式，但是如果知道了求主应力就是求应力矩阵的特征值问题时，就能很快求出主应力和主应力的方向。在学习和教学的过程中，对知识点进行总结，要学会从全局出发，对知识进行串联、串讲。4.2 特征值与特征向量在经济分析中的应用4. 经济开展与环境污染的增长模型经济开展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为研究某地区的经济开展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：设分别为某地区目前的环境污染水平与经济开展水平，分别为该地区假设干年后的环境污染水平和经济开展水平，且有如下关系：令 那么上述关系的矩阵形式为 此式反映了该地区当前和假设干年后的环境污染水平和经济开展水平之间的关系.如 那么由上式得 一般地，假设令 分别为该地区年后的环境污染水平与经济开展水平，那么经济开展与环境污染的增长模型为令 那么上述关系的矩阵形式为 由此，有 由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济开展水平.下面作进一步地讨论： 由矩阵的特征多项式得的特征值为对，解方程得特征向量对，解方程得特征向量显然, 线性无关下面分三种情况分析：Case 1 一个性质:假设是矩阵的属于特征值的特征向,那么也是的属于特征值的特征向量度 *由(*)及特征值与特征向量的性质知，即 或 此式说明：在当前的环境污染水平和经济开展水平的前提下，年后，当经济开展水平到达较高程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势。Case 2 不讨论此种情况Case 3 不是特征值, 不能类似分析。但是可以由唯一线性表出来由(*)及特征值与特征向量的性质即由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济开展水平。因无实际意义而在Case 2中未作讨论，但在Case3的讨论中仍起到了重作用. 由经济开展与环境污染的增长模型易见，特征值和特征向量理论在模型的分析和研究中获得了成功的应用。4.2 莱斯利Leslie种群模型 莱斯利种群模型研究动物种群中雌性动物的年龄分布与数量增长之间的关系。 设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为 (单位：年，将区间作等分得个年龄组，每个年龄组的长度为设第个年龄组 的生育率即每一雌性动物平均生育的雌性幼体的数目为 ，存活率即第个年龄组中可存活到第个年龄组的雌性动物的数目与第 个年龄组中雌性动物的总数之比为令即为初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量。取 设在时刻该动物种群的第个年龄组中雌性动物的数目为令那么即为时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量。显然，随着时间的变化，该动物种群的各年龄组中雌性动物的数目会发生变化。易知，时刻该动物种群的第一个年龄组中雌性动物的数目等于在时段 内各年龄组中雌性动物生育的雌性幼体的数目之和，即 又时刻该动物种群的第 个年龄组中雌性动物的数目等于 时刻第个年龄组中雌性动物的存活量，即 联立2.1和2.2得即 令莱斯利矩阵 那么2.4即为于是由此，假设初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量，那么可计算出 时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量，从而对该动物种群中雌性动物的数量作出科学的预测和分析。例31 设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为15年，且以5年为间隔将雌性动物分为3个年龄组0,5,5,10,10,15.由统计资料知，3个年龄组的雌性动物的生育率分别为0，4，3，存活率分别为0.5，0.25，0，初始时刻3个年龄组的雌性动物的数目分别为500，1000，500。试利用莱斯利种群模型对该动物种群中雌性动物的年龄分布和数量增长的规律进行分析。解：由2.6得 下面求由矩阵L的特征多项式 得L的特征值为由矩阵可相似对角化。对 解方程组 得特征向量对，解方程组得特征向量对，解方程组得特征向量令矩阵 那么可逆，且 于是 从而两边取极限得于是，当k充分大时， 由此式知，在初始状态下，经过充分长的时间后，该动物种群中雌性动物的年龄分布将趋于稳定，即3个年龄组中雌性动物的数目之比为 且时刻该动物种群的3个年龄组中雌性动物的数目分别为且其总和为 矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、生命科学和环境保护等领域都有着广泛而重要的应用。在经济开展与环境污染的增长模型，莱斯利Leslie种群模型这两种模型中，矩阵的特征值和特征向量也起着极其重要的作用。结论与展望矩阵是线性代数中的一个重要局部，特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成局部，特征值与特征向量有着许多具体的应用，本文通过查阅相关的资料并在指导老师的指导和建议下对特征值与特征向量原理进行了归纳总结.首先简单的表达了特征值与特征向量的概念及其性质，探究了特征值与特征向量的几种解法，在此根底上重点介绍了特征值与特征向量的应用问题.如果知道矩阵的特征值和对应的特征向量求出矩阵的计算方法以及特征值与特征向量在线性递推关系中的应用，利用矩阵的特征值与特征向量给出了递推关系的一种解法。本文通过应用举例说明了特征值在求解二次型的条件最值问题的应用，给出了特征值法原理，运用特征值法求二次型的条件最值问题.给出了特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质，并且举例说明了特征值与特征向量在矩阵运算中的应用。运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径。特征值与特征向量理论的应用是多方面的，不仅在数学领域，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用，值得我们深入探究。致 谢在此论文完成之际，谨向恩师万老师表示最衷心的感谢，他给我提供了良好的科研工作环境。万老师虽然有繁重的科研教学工作，但是仍抽出珍贵的时间给予我学术上的指导和帮助，从选题伊始至课题研究及至论文写撰写整个过程无不渗透着万老师的心血。万老师一丝不苟的工作作风，勤奋的工作态度，以及事业心、责任心，都给了我潜移默化的人生教导，让我受益匪浅。从他的身上我不仅学到了专业知识，更学到了许多做人做事的道理。在这里请允许我对四年来精心培养我的数理学院的全体老师谨致以深深的感谢与衷心的祝愿，愿数理学院的明天更美好。在课题完成的过程中，我得到了其他同学的帮助和指导，在此一并致以诚挚的谢意。还要感谢我的朋友们，是你们的陪伴让我拥有了一路向前的决心，最终完成了此次毕业设计的全部内容。感谢参加论文选题、评审和辩论的各位专家和学者对我论文的评阅和指导。 我还要感谢我的父母，你们是我的长辈，更是我的朋友。感谢你们对我学业、生活的支持、理解和宽容，你们是我最坚强的后盾。我一定会在今后的人生道路上更加努力拼搏，不辜负父母的期望。最后，再次感谢所有给我关心和帮助的人们！作者签名： 2021年06月 16日参考文献1 汤正华. 关于矩阵的特征值与特征向量的探讨J.山东行政学院山东省经济管理干部学院学报,2021(06):91-1082 李延敏. 关于矩阵特征值与特征向量同步求解问题J. 2004(08):20-313 赵院娥,李顺琴. 矩阵的特征值与特征向量J.江西科学,2021(10):05-144 邵丽丽. 矩阵的特征值与特征向量的应用研究J.菏泽学院学报,2006:18-235 黄金伟.矩阵的特征值与特征向量的简易求法J.福建信息技术教育,2007(04):34-456向以华.矩阵的特征值与特征向量的研究J.重庆三峡学院学报,2021(03):105-1177 张红玉. 矩阵特征值的理论及应用J. 山西大同大学学报(自然科学版),2021(02):15-018 王英瑛. 矩阵特征值和特征向量求法的探讨J. 山东理工大学学报( 自然科学版),2021(05):45-509 夏慧明,周永权. 求解矩阵特征值及特征向量的新方法J. (广西民族大学数学与计算机科学学院学报,2021(11):83-9310 郭华,刘小明. 特征值与特征向量在矩阵运算中的作用J.渝州大学学报( 自然科学版),2021(03):117-12411 岳嵘. 由特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用J. 高等函授学报( 自然科学版),2007(06):26-3412 贤锋. 最大特征值及特征向量的应用J. 闽江学院学报(自然科学版),2006(05):35-3913 王秀芬. 线性递推关系中特征值与特征向量的应用J. 潍坊学院学报,2004(04): 36-4214 施劲松,刘剑平. 矩阵特征值、特征向量确实定J.2003(12):19-615 张霓. 矩阵特征值与特征向量的一些应用J. 中国科技信息,2007(04):67-7416 Advanced algebra M .BEIJING: Peoples education press，1987.附录A 一篇引用的外文文献及其译文6.2 Definitions and examples(Eigenvalue,eigenvector) Let be a complex square matrix. Then if is a complex number and a nonzero complex column vector satisfying , we call an eigenvector of , while is called an eigenvalue of . We also say that is an eigenvector corresponding to the eigenvalue .So in the above example and are eigenvectors corresponding to and , respectively. We shall give an algorithm which starts from the eigenvalues of and constructs a rotation matrix such that is diagonal.As noted above, if is an eigenvalue of an matrix , with corresponding eigenvector , then , with , so and there are at most n distinct eigenvalues of .Conversely if , then has a nontrivial solution and so， is an eigenvalue of with a corresponding eigenvector.(Characteristicpolynomial,equation)The polynomial is called the characteristic polynomial of and is often denoted by . The equation is called the characteristic equation of A. Hence the eigenvalues of are the roots of the characteristic polynomial of .For a matrix , it is easily verified that the characteristic polynomial is , where is the sum of the diagonal elements of . Find the eigenvalues of and find all eigen-vectors.Solution. The characteristic equation of is, or.Hence or 3. The eigenvector equation reduces to，or.Taking gives,which has solution , arbitrary. Consequently the eigenvectors corresponding to are the vectors ，with .Taking gives,which has solution , arbitrary. Consequently the eigenvectors corre-sponding to are the vectors , with .Our next result has wide applicability:THEOREM6.2.1 Let be a matrix having distinct eigenvalues and and corresponding eigenvectors and . Let be the matrix whose columns are and , respectively. Then is nonsingular and Proof. Suppose and . We show that the system of homogeneous equationshas only the trivial solution. Then by theorem 2.5.10 the matrix is nonsingular. So assume . (6.3)Then, so . Hence . (6.4)Multiplying equation 6.3 by and subtracting from equation 6.4 gives.Hence , as and . Then from equation 6.3, and hence .Then the equations and giveEXAMPLE6.2.2 Let be the matrix of example 6.2.1. Thenand are eigenvectors corresponding to eigenvalues1 and 3, respectively. Hence if, we have There are two immediate applications of theorem first is to the calculation of : If , then and.The second application is to solving a system of linear differential equations whereis a matrix of real or complex numbers and and are functions of t. The system can be written in matrix form as ,whereand We make the substitution , where . Then and are also functions of and, so .Hence and .These differential equations are wellknown to have the solutions and , where is the value of when .If, where is a constant, then.Hence is constant, so . Hence .However , so this determines and interms of and . Hence ultimately and are determined as explicitfunctions of , using the equation .EXAMPLE6.1.3 Let . Use the eigenvalue method toderive an explicit formula for and also solve the system of differentialequations ,given and when .Solution. The characteristic polynomial of is which has distinctroots and . We find corresponding eigenvectors and . Hence if , we have.Hence To solve the differential equation system, make the substitution . Then. The system then becomesso and . Now .soand , HenceFor a more complicated example we solve a system of inhomogeneous recurrence relations.EXAMPLE6.2.4 Solve the system of recurrence relations,given that and .Solution. The system can be written in matrix form as,Where and .It is then an easy induction to prove that . (6.5)Also it is easy to verify by the eigenvalue method thatwhere and . Hence.Then equation 6.5 gives,which simplifies to.Hence and .REMARK6.2.1 If existed (that is, if , orequivalently, if 1 is not an eigenvalue of ), then we could have used theformula. (6.6)However the eigenvalues of cannot be used there.Our discussion of eigenvalues and eigenvectors has been limited to matrices. The discussion is more complicated for matrices of size greater than two and is best left to a second course in linear algebra. Nevertheless the following result is a useful generalization of theorem 6.2.1. The reader is referred to 28, page 350 for a proof.THEOREM6.2.2 Let A be an matrix having distinct eigenvalues and corresponding eigenvectors . Let be the matrix whose columns are respectively . Then is nonsingular and.Another useful result which covers the case where there are multiple eigen-values is the following (The reader is referred to 28, pages 351352 for aproof):THEOREM6.1.3 Suppose the characteristic polynomial of has the factorization,where are the distinct eigenvalues of . Suppose that for, we have nullity . For each such, choose a basis for the eigenspace . Then the matrixis nonsingular and P1AP is the following diagonal matrix(The notation means that on the diagonal there are elements , followedby elements ,. . . , elements .)译文 举例定义6.2.1特征值，特征向量设作为一个复杂的方阵，如果是一个复杂的变量，一个非零的复杂的列向量满足，我们称为的一个特征向量，而称为的一个特征值。我们还说是一个对应于特征值的特征向量。 所以在上面的例子中和是分别对应和的特征向量。我们将给出的特征值和构造一个旋转矩阵，这样的是对角矩阵。正如上面所提到的，如果是一个特征值的一个矩阵，与之相应的特征向量，其中，所以且有最多种不同特征值。相反如果，有一个不平凡的解决方案，所以是一个特征值且是对应的特征向量。定义6.2.2(特征多项式方程)这个被定义
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