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习题1.11. 计算下列行列式：(1) ； ； ；(5) 。解：(1) =7514=31；(2) ；(3) 。(4) 。(5) =2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) ； (2) 。解：(1) ,(2) ，。3求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13(2n1)(2n)(2n2)2。解：(1) t=2+2+1=5(2) 4写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。解：P3P4是2，4的全排列，即24，42，故即，。5证明。按行列式定义即可证明（略）。习题1.21. 试证明行列式性质4。证：2. 计算下列行列式：(1) ； (2) 。解：(1) =；(2) 。3. 计算n阶行列式：(1) ； (2) 。解：(1) 。(2) 把第2行的倍，第3行的倍，第n行的倍都加到第1行上去，D可化成下列行列式。习题1.31. 计算下列行列式：(1) ； (4) 。解：(1) ； (2)；(3)；(4) 。2. 计算下列行列式：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。解：(1) 从第2列开始，各列统统加到第1列上去，得；(2) 第2列的(1)倍分别加到其他各列上去，得；(3) 先按最后一行展开，得；(4) 将Dn增加一行、一列，得到n+1阶行列式：。(设)。习题1.41. 用克莱姆法则解线性方程组：(1) ；(2) 其中aiaj，ij(i，j=1，2，n)。解：(1) ，；(2) 故。2. 问取何值时，下列方程组有唯一解？解：故当且时，方程组有唯一解。3. ，取何值时，下列方程组有非零解？解：。当，且时，方程组有唯一解（零解），当或时，D=0，方程组有无穷多解。4. 求下列行列式的值：(1) ； (2) ； ； (7) ；(8) 。解：(1) (2) (3)。若将其按第一行展开，当时，所有代数余子式全为0。因此，当时，；当时，；时， 。(4) 。若将其按第一列展开，当时，所有代数余子式全为0。因此，当时，；当时，；时，。(5)。(6)。(7) 第2列的(1)倍加到第3列，同时把第1列的(1)倍加到第2列，其余各列不变，得(8) 将第k行的(1)倍加到第k+1行上去(k=n1，n2，n3，3，2)，得。5. 用递推法计算行列式。解：，上式为关于的差分方程，其特征方程为，特征根为，故。又，得，从而。复习题11. 设，D的展开式中，x4的系数等于_，x3的系数等于_。解：将D按第一列展开，得四项求和只有第一项能出现x4，其系数是2。第一项含x3，系数2；第二、三项不含x3；第四项含x3，其系数2。故D中x3的系数为2+2=0。2. 计算阶行列式。解：，同理可得。当时，从上述两式可以解得；当时，只须对上式令即可得。3. 计算阶行列式(均不等于零，)。解：（范德蒙行列式） 。4. 设，求证：，其中 为将中第列元素换成后所得的新行列式。证明：将增加一行和一列得到下列阶行列式，此行列式显然为0。将此行列式按第一行展开，得，显然，故。5. 已知四阶行列式，试求A41+A42与A43+A44的值。其中A4j是D的第4行元素的代数余子式(j=1，2，3，4)。解：。由于，分别取i=j=4，得再取i=2，j=4，得。将代入，得。解得。6. 计算阶行列式。解：将增加一行、一列得到下列阶行列式，此行列式显然与原行列式相等，所以。7. 设是不全为零的实数，试证明下列方程组只有零解：。证明：方程组的系数行列式，显然，满足，根据克莱姆法则，此方程组只有零解。8. 计算行列式。解：。对调，即得的转置行列式，从而，当时，联立得；当时，对上式取极限得，故。9. 计算行列式。解： 。10. 设。(1) 如果证明：；(2) 如果证明：。证明：(1) 假设，则由克莱姆法则的推论知，由D构成的齐次线性方程组有非零解 。设是该解中满足的正整数，则，与题设矛盾，故；(2)显然，从而，由(1)知，。习题2.11. 一个阶方阵，既是上三角矩阵又是下三角矩阵，问是什么类型的矩阵？答：是对角矩阵。2. 设。若，试求 的值。解：根据矩阵相等的定义，有解得。3. 设有线性方程组试写出该方程组的系数矩阵和增广矩阵。解：系数矩阵、增广矩阵分别为。习题2.21. 设，试求。解：。2. 设，试求(A+B)2，A2+2AB+B2，|5A|，|AB|以及A*。解：，或，或。3. 若矩阵，满足条件，试证明：必为方阵；问如何？证明：根据矩阵相乘的条件，可设， 由，得，即为方阵，而不一定为方阵。4. 设，如果，试求矩阵的所有元素之和。解：， 的所有元素之和为。5. 如果，则与可交换。试求所有与可交换的矩阵。解：设与可交换，即，得，故与可交换的矩阵为，其中为任意实数。6. 设，试求（为非负整数）。解：记， 则， 从而。7. 试证明：对任意矩阵，恒为对称矩阵。证明：因为，所以为对称矩阵。8. 设为对称矩阵，为反对称矩阵，试证明：(1)为对称矩阵；(2)为对称矩阵；(3)为反对称矩阵，当且仅当。证明：由题意知，。(1) 因为，所以为对称矩阵；(2) 因为，所以 为对称矩阵；(3) 为反对称矩阵 ，得证。习题2.31. 设，假设矩阵是由分别经过下列初等变换得到的，试求矩阵。(1)先交换矩阵的第一、三行，然后将第二列的2倍加于第三列；(2)用3乘矩阵的第一列，而后将第一行的倍加于第二行。解：(1) ； (2) 。2. 试求一个三阶方阵，使得等于对经过下面的初等变换所得到的矩阵：先交换的第一、第三行，再用3乘矩阵的第二行，最后将第一行加于第二行。解：根据定理1.1，所求三阶方阵等于将三阶单位矩阵做题中初等行变换后的矩阵，即。3. 试求一个方阵，使得等于对经过下面的初等变换所得到的矩阵：首先用乘矩阵的第三列，然后将第一列的倍加于第二列，最后交换矩阵的第一、第三列。解：根据定理1.1，所求三阶方阵等于将三阶单位矩阵做题中初等列变换后的矩阵，即。4. 将下列矩阵行初等变换成简化阶梯矩阵： (1) ；(2) 。解：(1) 。(2) 。5. 设，试求矩阵的简化阶梯矩阵。如果令表示的前三列组成的三阶方阵，表示的后三列组成的三阶方阵，试计算和。解： ，。习题2.41. 设为阶方阵，证明：， ，。证明： ，类似可证。2. 设，证明：，。证明： ，类似可证。习题2.51. 判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。 。解：(1) ，故。(2) ，故。(3) ，故不可逆。(4) ，故。2. 解下列矩阵方程： (1)； (2) ；(3) 。解：(1) ，故。(2) 解法一：。解法二：所以。解法三：所以。(3) ，故。3. 设，并且，试求矩阵。解：由，得，故可逆，且。4. 设A为三阶方阵，且，求。解：。5. 证明：可逆矩阵的性质(1)，(2)，(3)。证明：设可逆，即有，使。(1) 按照可逆的定义，也可逆，且。(2) 因为，所以也可逆，且。(3) 因为，所以也可逆，且。6. 设A为n阶方阵，其伴随矩阵为A*：(1) 证明：如果|A|0，则A*可 逆，并求(A*)1；(2) 证明：如果|A|0，则|A*|=|A|n1；(3) 在|A|0的情况下，导出矩阵(A*)*和A之间的关系。解：(1) 因为，所以，当时，即A*可逆，且。(2) 因为，所以。当时，。(3) 因为由(2)知 ，由(1)知 当时，存在，且，所以。7. 设，证明：可逆。证明：由，得， ，根据可逆定义，可逆。8. 设方阵满足，证明：和都可逆，并求其逆矩阵。证明：由，得，即可逆，且。同理可得，即可逆，且。复习题21. 设均为矩阵，证明：的充分必要条件是对任意维列向量，有。证明：必要性显然，下证充分性。 设，其中为维行向量，由题意知，对向量，即，亦即，从而。2. 证明：的充分必要条件为对任何实的列向量，有。证明：因为为实数，所以，即。必要性：若，则，从而。充分性：若，则。记，取某一个分量，其余分量为零，由得，再取某两个分量，其余分量为零，由又得，从而矩阵，即。3. 设为实矩阵，证明：的充分必要条件是。证明：必要性显然，下证充分性。记，则对角线上的元素为，由题意，从而，即。4. 证明： (1)对任意方阵主对角线上的元素的和等于主对角线上元素的和； (2)对任意方阵永远不可能成立。证明：(1) 记，则、对角线上的元素分别为和。显然，两者的和相等，都等于。 (2) 由(1)可知，对任意方阵，主对角线上元素的和等于主对角线上元素的和，从而主对角线上的元素为0，因此不可能成立。5. 若方阵的乘积可逆，试证明：都可逆。证明：若不可逆，即不能表示成一些初等方阵的乘积，从而也不能表示成一些初等方阵的乘积，即不可逆，矛盾，因此可逆。同理，也可逆。6. 设满足，证明： (1)和都可逆； (2)和不能同时可逆。证明：(1) 由，得， 由可逆定义，和都可逆。(2) 由，得。若和同时可逆，则，矛盾，从而，和不能同时可逆。7. 设可逆，证明：为上（下）三角矩阵充分必要条件为为上（下）三角矩阵，并且与对角线上对应元素互为倒数。证明：因为，所以充分性与必要性等价。下证必要性。设。由可逆，得。因为，由第行得，由第行得，类似地，可得 ，即也为上三角矩阵，且与对角线上对应元素互为倒数。8. 解矩阵方程。解：记方程为，则，；，；故。9. 设都可逆，证明下列矩阵都可逆，并求其逆矩阵。 (1)； (2)。证明：(1) 令，即，得，由于都可逆，从而，故。(2) 令，即，得，从而，故。10. 设方阵可逆，并且每行元素之和都等于常数，证明：(1)；(2)的每行元素之和都等于常数。证明：(1)设，根据题意，的第1列元素均为。若，则不可逆，而及均可逆，矛盾，故。 (2)显然，又可逆，而，得，即的每行元素之和都等于常数。习题3.11. 设，求。解：。2. 设向量满足：，求向量。解：由，得。3. 讨论下列向量组的线性相关性：(1) ；(2) ；(3) 。解：(1) 因与成比例，故线性相关；(2) 因，故线性无关；令(3) ，故线性无关。4. 设向量线性无关，试证明：向量组线性无关。证明：令，即 ，由线性无关，得，其系数行列式，即上述线性方程组仅有零解，从而线性无关。5. 若向量组线性无关，求证：向量组线性无关，其中。证明：令，即 ，由线性无关，得，其系数行列式，即上述线性方程组仅有零解，从而线性无关。6. 若向量组线性相关，而向量组线性无关，试证明：必可由向量组线性表示。证明：因为线性相关，所以也线性相关。又线性无关，从而可由线性表示。7. 已知，试问向量组是否线性相关？能否由向量组线性表示？解：因为向量组所包含的向量个数大于向量维数，所以向量组线性相关。令，即，解得，故能由向量组线性表示，。8. 证明：若可由线性表示，且表示法唯一，则向量组必线性无关。证明：考虑方程组，由题意知，方程组有唯一解，即，从而线性无关。1. 用初等变换求下列矩阵的秩：；。解：(1) 。(2) 。(3) 。2. 试用矩阵判别定理判定下列向量组的线性相关性：；解：(1) ，线性相关。(2) ，线性无关。(3) ，线性相关。3. 设是维向量，已知基本单位向量可由线性表示，证明：向量组线性无关。证明：因为可由线性表示，而也可由线性表示，即与等价，从而线性无关。4. 设是维向量，证明：向量组线性无关的充分必要条件是任意维向量均可由向量组线性表示。证明：必要性：若线性无关，则可作为维向量空间的基，从而任意维向量均可由线性表示。 充分性：因为任意维向量均可由线性表示，所以基本单位向量可由线性表示，由题3知，线性无关。5. 设是维列向量，且线性无关，求证：对任意，总存在一组不全为零的数，使得。证明：因为线性无关，所以关于的方程组 有唯一解。又，方程组的唯一解不是零解，即方程组有唯一非零解，从而存在不全为零的，使。6. 已知向量组线性无关，设，讨论向量组线性相关性。证明：设，即 ，因为线性无关，得，系数行列式。当为奇数时，方程组仅有零解，线性无关。当为偶数时，方程组有非零解，线性相关。7. 求下列向量组的秩及其一个最大线性无关组：解：(1)，最大无关组为。(2)，最大无关组为。8. 设矩阵满足，求证：矩阵的列向量组线性无关。证明：由知，。 若记，则，从而的列向量组线性无关。9. 设 ，试问和是否为向量空间。解：设，则 。因为， ，故是向量空间，类似可证不是向量空间。10. 设的一个基为，试求向量在这个基下的坐标。解：令，即，解得坐标为。1. 判定下列方程组是否有解？ 解：(1) ， ，方程组有唯一解。(2) ，方程组有唯一解。2. 讨论取何值时，下列方程组分别有解与无解？解：(1) 系数行列式，故时有唯一解，。时，增广矩阵，方程组无解。时，增广矩阵，方程组有无穷多组解，为任意实数。 (2) 系数行列式，时有唯一解.时，增广矩阵，方程组无解。时, 增广矩阵，方程组无解。3. 设线性方程组的系数矩阵的秩与矩阵的秩相等，其中，求证：此方程组有解。证明：设，则。假设方程组无解，即不能由向量组表示，则的列向量组秩至少为，从而的秩也至少为，这与题设矛盾，故方程组有解。1. 设为齐次线性方程组的基础解系，问向量组是否也是方程组的基础解系？解：显然是方程组的解。设，即 ，由线性无关得，系数行列式，方程组仅有零解，即线性无关，从而也是方程组的基础解系。2. 求下列齐次线性方程组的通解：(1)；(2)。解：(1)系数矩阵，通解为。(2)系数矩阵，通解为。3. 求下列非齐次线性方程组的通解：(1)；(2)。解：(1) 增广矩阵，同解方程组为，通解为。(2) 增广矩阵，通解为。4. 已知线性方程组(1) 确定之值,使该方程组有解；(2) 当方程组有解时，求出方程组的通解。解：(1) 增广矩阵，显然，当时，方程组有解。(2) 同解方程组为，故方程组的通解为。复习题31. 设向量组线性相关，向量组线性无关。(1) 向量能由线性表示吗？证明你的结论；(2) 向量能由线性表示吗？证明你的结论。解：(1)能由线性表示。因为线性无关，所以也线性无关。又线性相关，从而能由线性表示。(2)不能由线性表示。因为若能由线性表示，由(1)知，能由线性表示，则能由线性表示，从而线性相关，矛盾，故得证。2. 设向量组。(1) 当取何值时，不能由线性表示？(2) 当取何值时，可由线性表示？并写出此表示式。解：考虑方程组，即， 其增广矩阵。(1)当时，方程组无解，即不能由线性表示。(2)当时，方程组有解，即可由线性表示。若，方程组的解为，表达式为。若，方程组的解为，表达式为 ，是不为零的任意常数。3. 设有向量组，试问当满足什么条件时：(1) 可由线性表示，且表示方法唯一?(2) 不能由线性表示？(3) 可由线性表示，但表示方法不唯一？并写出一般表达式。解：考虑方程组，即， 其系数行列式。(1)根据克莱姆法则，时，方程组有唯一解，即可由线性表示，且表示方法唯一。，方程组有解，即可由线性表示(2)当时，增广矩阵 ，若，则，方程组无解，即不能由线性表示。(3) 当时，方程组有无穷多组解，即可由线性表示，但表示方法不唯一，表达式为 为任意实数。4. 取何值时，线性方程组，分别有唯一解、无解、无穷多解？在有无穷多解时，求出其全部解。解：系数行列式，故时有唯一解。时，增广矩阵，方程组无解。时，增广矩阵，方程组有无穷多组解，通解为为任意实数。设有线性方程组，5. 问取何值时，方程组分别有唯一解、无解、无穷多解？在有无穷多解时，求出其通解。解：系数行列式，故时有唯一解。时，增广矩阵，方程组无解。时，增广矩阵，方程组有无穷多组解，通解为，为任意实数。6. 设有线性方程组，问取何值时，方程组有解？在有解时，求出其通解。解：增广矩阵，时，无解。时，方程组有无穷多组解，此时，增广矩阵为，通解为为任意实数。7. 已知有线性方程组。(1)满足何种关系时，方程组仅有零解？(2)满足何种关系时，方程组有无穷多组解？并用基础解系表示全部解。解：(1) 系数行列式，故时，方程组仅有零解。(2) 增广矩阵为，时，；时，；时，；时，为任意实数。8. 已知线性方程组的一个基础解系为，试写出线性方程组的通解，并说明理由。解：记，则两个方程组可分别记为，且，又由题意知， ，即，亦即为后方程的基础解系，从而通解为，为任意实数。9. 设表示线性方程组的一个基础解系。若，其中为实常数，试问满足什么条件时，也是线性方程组的一个基础解系。解：显然是线性方程组的解，且的基础解系应包含个解向量，因此只须证明线性无关即可。令，即 ，因为线性无关，得，其系数行列式。当为奇数，或为偶数，时，方程组仅有零解，线性无关，即也是的一个基础解系。习题4.11. 求下列矩阵的特征值和特征向量： 。解：(1) 特征方程为，特征值为。时，特征向量为。 时，特征向量为。(2) 特征方程为，特征值为。时，特征向量为。时，特征向量为。时，特征向量为。(3) 特征值显然为。时，特征向量为。(4) 特征方程为，特征值为 。时，特征向量为 。时，特征向量为。(5) 特征方程为，特征值为。时，特征向量为 。时，特征向量为。(6) 特征值显然为。时，特征向量为。时，特征向量为。时，特征向量为。2. 已知为降秩矩阵，证明：矩阵至少有一个特征值为零。证明：设为阶方阵，特征值为，则。又为降秩矩阵，即，所以至少有一个特征值为零。3. 设非零向量为矩阵的特征值对应的特征向量，证明：为矩阵 的特征值，其对应的特征向量仍为。证明：由题意知，。从而，即为的特征值，其对应的特征向量仍为。4. 若矩阵满足，证明：矩阵的特征值只能为0或1。证明：设分别为的特征值和特征向量，即。，又，得，因为，所以。5. 若矩阵满足，证明：矩阵的特征值只能为1。证明：设分别为的特征值和特征向量，即。，又，得，因为，所以。6. 设，求矩阵的特征值。解：特征方程为，特征值为。因为的特征值为，的特征值为，而，所以的特征值为，的特征值为。7. 已知三阶矩阵的三个特征值为1，2，3，求矩阵的特征值。解：的特征值与的特征值的关系为，而，故三个矩阵的特征值分别为；。8. 若矩阵有三个线性无关的特征向量，问与应满足什么条件？解：特征方程为，。因为根据题意，二重特征根有两个线性无关的特征向量，而时， ，所以。习题4.21. 设均为阶方阵，且为满秩矩阵，证明：与相似。证明：因为为满秩矩阵，即可逆，故，从而与相似。2. 设，求。解：，。特征向量分别为，。经计算得，故 。3. 设。(1) 证明：矩阵与矩阵相似；(2) 求可逆矩阵，使得。证明：(1)的特征值显然为，特征方程为 ，的特征值也为，由相似的充分条件知，与均与对角阵相似，从而与也相似。(2)的特征值对应的特征向量为，所以，使得。4. 设三阶矩阵的特征值为，它们对应的特征向量依次为，求矩阵。解：显然两两正交，再将其单位化得，。令，则 。5. 设矩阵与矩阵相似，且。(1) 求的值；(2) 求可逆矩阵，使得。解：(1)。因为相似矩阵有相同的行列式和特征值，且，故，解得。(2)与特征值对应的特征向量为，。6. 设矩阵有三个线性无关的特征向量，求应满足的条件。解：特征方程为，。因为根据题意，二重特征根有两个线性无关的特征向量，而时， ，只有当时，方程组有两个线性无关的解，从而有两个线性无关特征向量。7. 设矩阵有三个线性无关的特征向量，是矩阵的二重特征值，求矩阵中的未知元素。解：时，。根据题意，二重特征根有两个线性无关的特征向量，所以。习题4.31. 用施密特正交方法将下列向量组正交规范化：；。解：(1)，。(2)，。(3，。2. 设为维列向量，又，证明：(1) 为对称矩阵；(2) 为正交矩阵。证明：(1)，故为对称矩阵。 (2) ，故为正交矩阵。3. 设三阶对称矩阵的特征值为6，3，3，与特征值6对应的特征向量为，求。解：设的与特征值3对应的特征向量为，则与正交，即，求得两个正交解，将单位化，并令，则。4. 设矩阵是正交阵，且，求(1) ；(2) 。解：(1)是正交阵，即，又，故。(2)因为，所以与有相同的特征值。又是正交阵，而的特征值与的特征值互为倒数，从而有，即有特征值。由(1)知，所以有特征值，故。习题4.41. 求正交矩阵，将矩阵对角化：。解：(1)，。对应的特征向量为，故所求正交矩阵为。(2)，。对应的特征向量为，故所求正交矩阵为。2. 设矩阵，矩阵，其中为实数，求对角阵，使与相似。解：易求得的特征值为，所以的特征值为，从而与相似的对角阵为。3. 矩阵与矩阵相似，其中。(1) 求数；(2) 求正交矩阵，使矩阵对角化。解：(1)，因为相似矩阵有相同的行列式，故得。与的特征值均为，。因为特征值均2有一个线性无关的特征向量，即，从而。(2) 特征值均的特征向量为，单位化后即得所求正交矩阵。复习题41. 设为阶矩阵对应于特征值的特征向量，阶矩阵可逆，求矩阵对应于特征值的特征向量。解：由题意知，得，故对应于特征值的特征向量为。2. 假设阶矩阵的任意一行的所有元素之和都是。(1) 证明：是矩阵的一个特征值；(2) 求所对应的特征向量。解：(1) 将行列式中的第列加到第1列，由于任意一行的所有元素之和都是，所以行列式的第1列元素均为0，故行列式为0，从而是矩阵的一个特征值。(2)因为矩阵所有元素之和都是0，所以方程组显然有解即所对应的特征向量。3. 设。(1) 求可逆阵，使为对角矩阵；(2) 求矩阵（为自然数）。解：(1) ，。时，。时，。故所求为。(2) 。4. 设是可逆阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（ ）。解：若非奇异矩阵的特征值是，则的特征值等于，故选。5. 设为阶矩阵，是矩阵的伴随矩阵，为阶单位阵，若有特征值，则矩阵必有特征值 。解：由得，的特征值。因为，又，所以，即的特征值为，从而的特征值为。6. 设三阶矩阵的特征值为，对应的特征向量依次为，又有向量。(1) 将向量用线性表示；(2) 求（为自然数）。解：(1)设，即，解得，所以。(2)令，则 。7. 设三阶实对称矩阵的特征值为，对应于的特征向量为求矩阵。解：设特征值1对应的特征向量为，则与正交，即，求得两个正交解，将单位化，并令，则。8. 设四阶方阵满足条件：，求方阵的伴随矩阵的一个特征值。解：由，得。由知，的一个特征值为。再根据题5，的特征值为，所以的一个特征值为。9. 设三阶对称阵的特征值为，对应于的特征向量分别为(1) 求矩阵对应于3的特征向量；(2) 求矩阵。解：(1) 设特征值3对应的特征向量为，则与正交，即，求得。(2)将单位化，并令，则。10. 设有非零向量满足，记阶方阵，求(1) ；(2) 矩阵的特征值和特征向量。解：(1) 。(2) 设的特征值和特征向量分别为，即，根据(1)，故的特征值全为0。因为非零向量，不失一般性，令。，对应0的特征向量为。习题5.11. 将下列二次型写成矩阵表示形式，并求二次型的秩：(1) ；(2) ；(3) 。解：(1)，。(2)，。(3) ，。2. 求下列线性变换的逆变换：。解：解方程组得。习题5.21. 求正交变换，将下列二次型化为标准形：(1) ；(2) ； (3) 。解：(1) 二次型的矩阵为，故的特征值为。当时, 解方程，由得基础解系，。当时，解方程，由得基础解系，。当时，解方程，由得基础解系，。所求正交变换为，标准形为。(2) 二次型的矩阵为，故的特征值为。对应的特征向量为，所求正交变换为，标准形为。(3) 二次型矩阵为， ，故的特征值为。对应的单位特征向量为，所求正交变换为，标准形为。2. 利用配方法化下列二次型化为标准形，并求相应的满秩变换：(1) ；(2) 。解：(1)，令，即，则。(2)令，则。再令，即，则。习题5.31. 判定下列二次型的正定性：(1) ；(2) 。解：(1) 二次型的矩阵为，所以二次型为负定。 (2)二次型的矩阵为，所以二次型为负定。2. 当取何值时，下列二次型是正定的？(1) ；(2) 。解：(1) 二次型的矩阵为，要二次型正定，必须，所以。(2) 二次型的矩阵为，要二次型正定，必须，所以。3. 设是阶正定矩阵，是阶单位矩阵，证明：矩阵的行列式大于零。证明：设的特征值为，因为是正定矩阵，所以，的特征值大于1。又矩阵的行列式等于所有特征值的积，故的行列式大于零。4. 设是可逆矩阵，证明：为正定二次型。证明：对，。若，因为可逆，从而，矛盾，所以，即正定。5. 设对称矩阵为正定矩阵，证明：存在可逆矩阵，使得。证明：因为对称，所以存在正交阵，使。又为正定矩阵，特征值，所以。 令，则可逆，且。复习题51. 利用直角坐标变换简化下面曲面方程，并指出该二次曲面的名称。解：。令，则上式。再令，则曲面方程变换为，该曲面为椭球面。2. 考虑二次型，问取何值时，为正定二次型。解：二次型的矩阵为，要二次型正定，必须，所以。3. 设是阶实对称矩阵，是矩阵中元素的代数余子式，二次型。(1) 记，把写成矩阵形式，并证明二次型的矩阵为。(2) 二次型与规范型是否相同？说明理由。解：(1) 矩阵形式为。 因为对称，所以也对称，从而。(2)因为与的特征值的互为倒数，即与对应项的符号相同，所以与有相同的规范型。4. 已知二次型的秩为2。(1) 求参数及此二次型对应的矩阵的特征值；(2) 指出方程表示何种曲面。解：(1) 二次型的矩阵为。，由秩为2得，。，特征值为。(2) 二次型的标准形为，因为正交变换不改变曲面的形状，所以表示椭圆柱面。5. 已知二次型，经正交变换化成，试求常数。解：二次型的矩阵为，的特征值为，即。，因为有一个线性无关的解，故，从而。6. 已知二次型经正交变换化成，试求常数及所用的正交变换矩阵。解：二次型的矩阵为，的特征值为。，因为有一个线性无关的解，故 ，从而。对应的单位特征向量为，正交变换矩阵为。7. 设有元实二次型，其中为实数，试问当满足何种条件时，二次型为正定二次型。解：显然，对任意，。正定相当于只有当时，才成立，即方程组仅有零解，亦即系数行列式，得。8. 已知二次曲面可以经过正交变换化为椭圆柱面方程，求的值及正交变换矩阵。解：二次型的矩阵为，的特征值为。由，得，故。特征值对应的特征向量为，所以正交变换矩阵为。9. 设矩阵。 (1) 若矩阵的一个特征值为3，试求的值；(2) 求矩阵，使得为对角矩阵。解：(1)依题意，即，得。(2)，特征值为，特征向量为 ，所以，使得。习题6.11. 证明：数域上所有阶矩阵的全体构成的集合关于矩阵加法和数与矩阵的乘法构成数域上的线性空间。证明：设，根据矩阵加法和数乘， ，即关于矩阵加法和数乘封闭，所以构成数域上的线性空间。2. 证明：数域上所有阶对称方阵（反对称方阵，上（下）三角方阵）的集合构成线性空间的子空间。证明：设是数域上所有阶对称阵的集合，显然和也为对称矩阵，即 ，所以构成数域上的线性空间，从而是的子空间。 同理可证，反对称方阵，上（下）三角方阵）的集合构成线性空间的子空间。3. 举反例说明，平面上与某一非零向量不平行的所有向量不构成线性空间。证明：设，则，但，即不是线性空间。习题6.21. 求中向量在基下的坐标。解：令，解得，故所求为。2. 取中的两组基：；。(1) 求由基到的过渡矩阵；(2) 求向量在基下的坐标；(3) 求中的一个向量，使得该向量在两组基和下有相同的坐标。解：(1) 显然，故由基到的过渡矩阵为。(2) 令，即，故在基下的坐标为。(3)由(2)知，解得。3. 在线性空间中，求由基到的过渡矩阵。解：因为，即，所以过渡矩阵为。习题6.31. 取定线性空间中的向量，判断下列变换是否上的线性变换，并说明理由。(1) 对任意，定义；(2) 对任意，定义。解：(1) ，只有当时，才是线性变换。(2) ，只有当时，才是线性变换。2. 在建立了直角坐标系的平面上，二维实变量与平面上的点对应。令变换为：。当分别取以下矩阵时，试说明线性变换的几何意义：(1) ，其中；(2) ；(3) ；(4) 。解：(1) ，坐标旋转角度。(2) ，关于坐标轴的反射。(3) ，关于直线的反射。(4) ，在坐标轴上的投影。3. 令为实数域上所有阶对称矩阵的集合。对任意，定义：（称为由决定的合同变换）。(1) 证明：为线性空间的线性变换；(2) 问满足什么条件时，线性变换可逆；(3) 求由决定的合同变换的核。解：(1)设，则，从而，合同变换是中的线性变换。(2)显然，当可逆时，线性变换可逆；(3)设，则由即得，故变换的核为。4. 证明：设是从到的线性映射，则是单射的充分必要条件是。证明：充分性：设，若，则，所以，即是单射。必要性：设是单射，任取，则，但，所以由是单射知，。5. 设是从到的线性映射。如果向量组线性无关，能否得出向量组也线性无关？请说明理由。解：不能。因为只有当映射可逆时，结论才成立，而当映射不可逆，比如是零映射时，结论显然不成立。习题6.41. 求上线性变换在的标准基下的矩阵。解：由，得，故所求为。2. 已知上线性变换在基下的矩阵为，试求线性变换在基下的矩阵。解：基到基的过渡矩阵为，在基下的矩阵为。复习题61. 设都是数域上线性空间的子空间，证明：仍为的子空间。证明：(1)对任意的，有，由是子空间知；同样有，从而。(2)对任意的，自然，由是子空间知；同样有，从而。由(1)和(2)知是子空间。2. 设都是数域上的线性空间的子空间，问满足什么条件时，才是的子空间。解：首先，若或，则或，自然是子空间。若是子空间且，即存在。对任意的，由是子空间知，则或。若，则，从而。若，则，从而。与矛盾。于是得到若是子空间，必有或。3. 求实数域上全体阶（反）对称方阵构成的线性空间的一组基和维数。解：与证明是的基一样，可得 是由阶对称阵构成线性空间的基，它的维数是。是由反对称阵构成线性空间的基，它的维数是。4. 在线性空间中，已知多项式基下的坐标为，多项式基下的坐标为，试分别求向量在下的坐标和在下的坐标。解：显然， ，从而，即在下的坐标为。又，所以在，下的坐标为。5. 设为有限维线性空间上的线性变换，证明：为单射的充分必要条件为为满射，从而有限维线性空间上的线性变换为双射的充分必要条件为。证明：记为像，为核，则对有限维线性空间有。若是单射，则，即，从而，因而，故是满射。反之亦然。6. 三维线性空间的线性变换在基下的矩阵为，试求线性空间的一组基，使线性变换在该基下的矩阵具有尽可能简单的形式。解：(1)解方程，得是的特征值。(2)当时，解方程组，得，于是是的对应于的特征向量。(3)当时，解方程组，得，于是是的对应于的特征向量。(4)当时，解方程组，得，于是是的对应于的特征向量。由于，两两不同，故线性无关，是的一组基，并且在基下矩阵为。7. 线性空间上的线性变换称为数乘变换，如果存在一个数，使对任意，恒有，证明：线性空间上的线性变换称为数乘变换的充分必要条件为在的任意一组基下的矩阵相同。证明：若线性空间上的线性变换是数乘变换，即对任意有。设是的任意一组基，有，于是在基的矩阵为是相同的。若线性空间上的线性变换是数乘变换在任意一组基下的矩阵均相同，取定的一组基，并且设在基的矩阵为设是的任意一组基，自然在基的矩阵也是设从基到基的矩阵为则有，进而由于是的任意一组基，因而等式对任意可逆阵均成立，因而。于是有，故对任意的有，即线性空间上的线性变换是数乘变换。8. 线性空间上的线性变换称为可逆线性变换，如果存在上的线性变换，使为上的恒等变换，证明：上的线性变换为可逆线性变换的充分必要条件为在的任意一组基下的矩阵为可逆矩阵。证明：设是线性空间上的可逆线性变换，是它的逆变换，即是上的恒等变换。设是的任意一组基，且，在基下的矩阵分别是。由线性变换与矩阵之间的关系知，即可逆。反之，若线性变换在任意一组基下的矩阵可逆。取是的任意一组基，且设在基下的矩阵是，是的逆，即。设，且在的坐标是，即。令，则易检验是一个线性变换，并且在基下的矩阵恰是。由线性变换与矩阵之间的关系知，于是是可逆的。
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