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高等数学教学辅导,陆 蓉,第一章 函数,1.,2.,3.,4.,5.,6.,7.,8.,例题分析,9.,-2,0,10.,11.,12.,13.,14.,15.,16.,17.,18.,第二章 极限与连续,1.,2.,3.,4.,5.,6.,7.,例题分析,8.,9.,12.,13.,12.,13.,14.,15.,16.,17.,18.,第二章 极限与连续（续）,19.,20.,例题分析,21.,22.,23.,24.,25.,26.,27.,28.,29.,30.,第三章 导数与微分,1.,2.,3.,注：tanx与arctanx的导数公式千万不要记反了！,4.,例题分析,5.,6.,第三章 导数与微分（续一）,7.,8.,9.,10.,11.,12.,13.,14.,15.,16.,17.,18.,19.,20.,第三章 导数与微分 （续二）,21.,22.,23.,例题分析,24.,25.,26.,27.,28.,29.,30.,31.,32.,1.中值定理 (1)拉格朗日定理(微分中值定理) 条件：82 f(x)在a ,b连续 2 f(x)在(a ,b)可导 结论：至少存在一点 （a ,b),使得 （切线的斜率等于弦AB的斜率） 其等价形式：设 ,则,B,1.,注特例：若,第四章 导数的应用,（2）柯西定理 条件：1,结论：至少存在一点,（3）关系： 洛尔,拉格朗日,2. 洛必达法则,1）,2）,3）,则,注（1）若将条件1）改为,结论仍成立。,即,”,“,型洛必达法则。,2.,2,( 2 ) 洛必达法则只适用于,型。,在需连续使用时，必须每次检验是否为,型。,（3）,3. 函数的单调性,在(a , b)内,若,若,极值 说明：1）极值是个局部性概念。 2）极小值可能大于极大值。,3.,1）,（,是驻点 ）,2）,注极值点不一定是驻点。,5. 极值点的必要条件 若,6.,1),2),3),例：下列结论正确的有（ ） A. 连续一定可导。 B. 极值点一定是驻点。 C. 驻点一定是极值点。 D. 若,。,4.,二. 例1 求下列函数的极限,解：1）,=,2）,=,5.,3),析出,定型,洛,另解,化简,6.,4),析出,定型,析出,定型,7.,5.,错：原式,例2 求下列函数的极限,解：,通分,洛,8.,不能直接用洛必达法则,不能直接用洛必达法则,小结：对,例 3 函数,解： 1）求,9.,列表（用求出的点划分定义域）,极小,极大,例4 求函数,解：1）求,10.,2) 列表（用求出的点划分定义域,),极大,极小,间断,3）极值和单调区间,11.,第四章 导数的应用（续）,1. 最大值与最小值应用问题的解题步骤： 1）建立函数关系式,2）求驻点,3）驻点,唯一，且此函数存在最值,则,就是所求的最值,2. 泰勒公式,1）一阶,2）二阶,3）n 阶,12.,3. 麦克劳林(Maclaurin)公式,即是泰勒公式取,的特例,注,皮亚诺余项,4. 常用的麦可劳林公式（记住）,13.,5. 曲线的凹凸,1).凹,上每一点的切线都在该曲线的下方(,),2).凸,上每一点的切线都在该曲线的上方(,),6. 拐点,：此点两侧,异号,求曲线凹凸区间与拐点的步骤：,2）列表,1）求,3）写出凹凸区间与拐点,14.,二. 例题分析,例1. 要设计一容积为V的圆柱形水池,已知底的单位面积的造价 是侧面单位面积造价的一半,问水池底面半径与高为何值时, 使造价最省?,解: 设底的单位面积造价是a, 底半径为r, 当然此时侧面的单位 面积造价就是2a,h,V,1) 建立函数关系式,15.,17.,当圆柱形半径和高分别为,和,造价最省.,例2. 在圆,使此点处圆的切线,截两坐标轴在第一象限所围成的面积最小?,解：1）建立函数关系式,先求出斜率,17.,18.,2)求,19.,3）驻点唯一，又实际问题中存在最小值，因此所求驻点即为 最小值点。即当,所围面积最小。,20.,21.,22.,例5 求曲线 的凹凸区间,23.,例6 a , b为何值时，点（1，3）是曲线 的拐点。,24.,25.,(1),(2),26.,27.,28.,29.,30.,不定积分教学辅导,陆 蓉,原 函 数,1.,不定积分定义,定义：设F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C称为f(x) 的不定积分。 记作 x： 积分变量；f(x) ：被积函数；f(x)dx：被积表达式； “ ”：积分号,2,性质与法则,3.,几何意义,积分曲线：设f(x)的一个原函数为F(x),则y=F(x) 称为f(x)的一条积分曲线。 几何意义： a. f(x)的全部积分曲线组成 积分曲线簇y=F(x)+C b. 在相同横坐标X处的切 线都互相平行。 ( 由于(F(x)+C)=f(x) ),4.,例,5.,换元积分法教学辅导,陆 蓉,第一换元积分法,关键是通过凑微分将积分 变成积分表中有的形式,1.,记住常用的凑微分式（一）,2.,记住常用的凑微分式（二）,3.,第二换元积分法,4.,例：,5.,注它主要用于被积函数中含有二次根式的积分,6.,例 题 讲 解,1,例2 求下列不定积分,2,可凑,3,例3 求下列不定积分,解(3) 分析根式里面是x的二次式 外面是一次式,4,注 可用凑微分法做的，尽量用凑微分法，它比第二 换元积分法或分部积分法要简便。,例4 求下列不定积分,5,解 (3) 分析,6,解(4) 分析 用凑微分不行,7,例5 求下列不定积分,8,解（2）分析,9,第五章 不定积分,（分部积分法）,陆 蓉,1. 分部积分法,注 （1）常用于两个函数的乘积形式，以及特殊 殊 的单个函数。,(2)要正确地选择u与dv。 口诀：“反、对作为u ; 三、指凑dv。”,1.,2. 有理函数积分,2.,3.,4.,公式,配方:,例题分析,5.,6.,7.,8.,9.,10.,11.,12.,13.,14.,15.,小结 第五章 不定积分,概念 （1）原函数与不定积分的定义 （2）不定积分的性质及法则 （3）积分与导数（微分）的运算关系 （4） ( 5 )熟记常用的积分公式和常用的凑微分式 计算 （1）熟练掌握定积分的计算方法，包括直接积分法、 凑微分法、第二换元积分法、分步积分法 （2） 有理分式函数的积分方法,16.,第六章 定积分及其应用,1定积分的概念与性质 1） 定义 引入 ：求曲边梯形的面积问题 求变力做功的问题,2)性质（7条）,重要：1 区间可加性：,1.,2. 估值定理：,3 积分中值定理：若 连续，则至少存在一点,3) 几何意义,0,a,b,x,y,y,x,0,f(x),f(x),x,y,0,A,A,A,A,1,2,2.,2.连续函数的原函数存在定理,3.,3.牛顿莱布尼兹公式 （微积分基本定理）,注 定积分的结果是个数值。,4. 定积分的换元积分法,注 定积分中换元时一定要换限！,（2）奇偶函数的特性,奇,偶,4.,5. 定积分的分部积分法,2）重要公式,=,5.,例题分析,6.,7.,1,1,1,8.,9.,10.,11.,12.,13.,14.,15.,16.,17.,第六章 定积分及其应用（续）,2）辛卜生公式,1. 定积分的近似计算,1）梯形公式,18.,3),4）,a,b,x,y,o,19.,20.,例题分析,21.,(1,1) (1, -1),22.,此题若选x作为积分变量，会出现什么情况？该如何求？,x,23.,(2,0 ),(1,1 ),(1,-1 ),24.,例3 求直线y=1, y=x, y=2x, y=6-x所围成的面积。,25.,y=1,y=x,y=2x,y=6-x,(1,1),(3,3),(2,4),(0.5, 1),26.,旋转体的体积,绕x,绕y,27.,a,b,a,。,28.,。,29.,30.,31.,小结 第六章 定积分及其应用,概念 （1）定积分的概念及性质 （2）牛顿莱不尼兹公式 （3）原函数存在定理 （4）无穷积分收敛 计算 （1）求变上限定积分的导数 （2）熟练掌握利用牛莱公式、换元积分法、分步 积分法计算定积分的方法 （3）奇偶函数在对称区间上积分的特性 （4）在直角坐标系下计算简单的平面图形的面积和 绕坐标轴旋转的旋转体的体积,第七章 级数,（大的）,（小的）,（小的）,（大的）,1.,大的、收敛,小的、发散,2.,3.,4.,5.,6.,7.,8.,第七章 级数（续）,9.,10.,0,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,-R,11.,12.,13.,14.,15.,16.,17.,第八章 常微分方程,1.,2.,3.,4.,5.,6.,7.,例题分析,8.,9.,10.,11.,13.,小结：1. 理解微分方程的阶的概念。 2. 会判断一阶线性方程。 3. 会求变量分离方程的通解、特解。 4. 会求一阶线性非齐次方程的通解、特解。,14.,第八章 常微分方程 （续）,15.,常数,16.,常数,非特（关键）,齐通,17.,18.,19.,20.,21.,22.,23.,24.,25.,26.,27.,28.,29.,30.,
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