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第一章 特殊的平行四边形一、菱形:【知识梳理】1菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2菱形的性质菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,还具有自己独特的性质: 边的性质:对边平行且四边相等 角的性质:邻角互补,对角相等 对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性:菱形是中心对称图形,也是轴对称图形 菱形的面积等于底乘以高,等于对角线乘积的一半点评:其实只要四边形的对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积的一半3菱形的判定判定:一组邻边相等的平行四边形是菱形 判定:对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定:四边相等的四边形是菱形【例题精讲】板块一、菱形的性质例1.如图,菱形ABCD的对角线交于点O,AC=16cm,BD=12cm(1)求菱形ABCD的边长;(2)求菱形ABCD的高DM 例2.如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E,F分别在AB,AD上,且AE=DF连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H求证:(1)求BGD的度数。(2) 求证:DG+BG=CG例3.将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29所示的四边形ABCD.(1)求证:四边形ABCD是菱形(2)如果两张长方形纸片的长都是8,宽都是2,那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值?如果存在,请求出来;如果不存在,请简要说明理由 例4.已知,菱形中,、分别是、上的点,若,求的度数 跟踪练习:1.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AEBC,垂足为E,则AE的长为()A.4B.2.4C.4.8D.52.如图,在菱形ABCD中,B=60,AB=2,E、F分别是BC和CD的中点,连接AE、EF、AF,则AEF的周长为( )A. B. C. D.3.3.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A.15或30B.30或45C.45或60D.30或604如图1138,在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形,甲、乙两人的作法如下:图1138甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于点M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形乙:分别作A,B的平分线AE,BF,分别交BC,AD于点E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形根据两人的作法可判断()A甲正确,乙错误 B甲错误,乙正确 C甲、乙均正确 D甲、乙均错误5. (1) 如图所示,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4 cm.那么,菱形ABCD的面积是_,对角线BD的长是_.(2) 如图:菱形ABCD中,AB=2,B=120,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是_6.如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,ADE和BCE都是等边三角形,AB、 BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论7.如图所示,在菱形ABCD中,ABC=60,DEAC交BC的延长线于点E求证:DE=BE 8.如图,在菱形ABCD中,A=60,AB=4,O为对角线BD的中点,过O点作OEAB,垂足为E (1)求ABD的度数; (2)求线段BE的长 9.如图,四边形ABCD是菱形,BEAD、BFCD,垂足分别为E、F(1)求证:BE=BF;(2)当菱形ABCD的对角线AC=8,BD=6时,求BE的长 10.如图,在菱形ABCD中,P是AB上的一个动点(不与A、B重合),连接DP交对角线AC于E连接BE(1)证明:APD=CBE;(2)若DAB=60,试问P点运动到什么位置时,ADP的面积等于菱形ABCD面积的,为什么? 11.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm、点P从点D出发向点A运动,同时点Q从点B出发向点C运动,点P、Q的速度都是1cm/s(1)在运动过程中,四边形AQCP可能是菱形吗?如果可能,那么经过多少秒后,四边形AQCP是菱形?(2)分别求出菱形AQCP的周长、面积 【作业】一. 选择题:1.在菱形ABCD中,AB=5cm,则此菱形的周长为( )A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm2.如图,在菱形ABCD中,BAD=60,BD=4,则菱形ABCD的周长是_3.已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8,则这个菱形的周长是()A、20B、14 C、28 D、244.如图,菱形ABCD的周长是16,A=60,则对角线BD的长度为( )A2 B C4D 5.已知菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,BAD=120,AC=4,则该菱形的面积是()A、16B、16 C、8 D、86. 如图所示,在平面直角坐标系中,菱形MNPO的顶点P的坐标是(3,4),则顶点M、N的坐标分别是()A、M(5,0),N(8,4)B、M(4,0),N(8,4)C、M(5,0),N(7,4)D、M(4,0),N(7,4)二、填空题7. 如图,菱形ABCD的边长是2cm,E是AB的中点,且DE丄AB,则菱形ABCD的面积为 cm2第9题第8题第7题8. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC8,BD6,过点O作OH丄AB,垂足为H,则点O到边AB的距离 9.如图所示,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD=6cm,ABC=60,则四边形ABCD的面积等于 cm2三、解答题12. 如图,AC是菱形ABCD的对角线,点E、F分别在边AB、AD上,且AE=AF。 求证:ACEACF。ADFEBC13.如图,四边形ABCD为菱形,已知A(0,4),B(3,0)(1)求点D的坐标;(2)求经过点AB的一次函数解析式14.如图所示,在菱形ABCD中,ABC 60,DEAC交BC的延长线于点E求证:DEBE15. 如图,已知矩形ABCD的两条对角线相交于O,ACB=30,AB=2(1)求AC的长(2)求AOB的度数(3)以OB、OC为邻边作菱形OBEC,求菱形OBEC的面积板块二、菱形的判定例1.已知:如图1-3,在ABCD中,对角线AC与BD交于点O,ACBD.求证: ABCD是菱形例2.已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证: 四边形ABCD是菱形例3.已知:如图,在ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相较于点E、O、F.求证: 四边形AECF是菱形课堂练习:1.如图,如果要使平行四边形成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是 2. 已知:如图,平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别相交于 、.求证:四边形是菱形.3.如图,在梯形纸片中,将纸片沿过点 的直线折叠,使点落在上的点处,折痕交于点,连结.求证:四边形是菱形4.如图,在中,是的中点分别作于,于,于,于相交于点求证:四边形是菱形【作业】1 有一组邻边相等的 是菱形,对角线 的四边形是菱形。2 菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为6cm,则另一条对角线长为 cm,边长为 cm,高为 cm。3 菱形周长为20,相邻两角的比为1:2,则菱形的两对角线的长为 。4如图1所示,菱形ABCD中,AEBC,BE=EC,AE=2,BD= 。5如图2所示,菱形ABCD中,AB=AE=EF=FA,C= 。ABCDEF图3ABDEFC图2ABCDE图16菱形对角线的平方和等于一边平方的( ) A2倍 B3倍 C4倍 D8倍7菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( ) A对角线互相平分 B邻角互补 C对角相等 D每条对角线平分一组对角8如图3所示,菱形ABCD中,DEAB,DFBC,E、F为垂足,AE=EB,则EDF等于( ) A75 B60 C50 D459下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是( ) A已知菱形的两条对角线 B已知菱形的一边和一个内角 C已知菱形的四条边 D已知菱形的周长和面积10下列命题正确的是( ) A有两组邻角相等的四边形是菱形 B有一组邻边相等的四边形是菱形 C对角线互相垂直的四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是菱形11菱形的周长为a,高为h,一条对角线长为h,则另一对角线的长可示为: 。12如图,ABC中,AB=AC,AD是角平分线,E为AD延长线上一点,CF/BE交AD于F,连结BF、CE,求证:四边形BECF是菱形。13如图,ABC中,ACB=90,B的平分线交高CD于E,交AC于F,FGAB,G为垂足,求证:四边形CEGF是菱形。 14. 在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,顺次连接EF、FG、GH、HE(1)请判断四边形EFGH的形状,并给予证明;(2)试添加一个条件,使四边形EFGH是菱形(写出你添加的条件,不要求证明)15.如图所示,在菱形ABCD中,AB=4,BAD=120,AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动,且E、F不与B、C、D重合(1)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动,总有BE=CF;(2)当点E、F在BC、CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化?如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值16.如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2(1)求证:BDEBCF;(2)判断BEF的形状,并说明理由;(3)设BEF的面积为S,求S的取值范围17如图1,在ABC中,AB=BC=5,AC=6ECD是ABC沿BC方向平移得到的,连接AE、AC和BE相交于点O(1)判断四边形ABCE是怎样的四边形,说明理由;(2)如图2,P是线段BC上一动点(图2),(不与点B、C重合),连接PO并延长交线段AE于点Q,QRBD,垂足为点R四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化?若变化,请说明理由;若不变,求出四边形PQED的面积18. 如图1,在ABC和EDC中,AC=CE=CB=CD;ACB=DCE=90,AB与CE交于F,ED与AB,BC,分别交于M,H(1)求证:CF=CH;(2)如图2,ABC不动,将EDC绕点C旋转到BCE=45时,试判断四边形ACDM是什么四边形?并证明你的结论19. 如图,在直角坐标系xOy中,RtOAB和RtOCD的直角顶点A,C始终在x轴的正半轴上,B,D在第一象限内,点B在直线OD上方,OC=CD,OD=2,M为OD的中点,AB与OD相交于E,当点B位置变化时,RtOAB的面积恒为试解决下列问题:(1)填空:点D坐标为_;(2)设点B横坐标为t,请把BD长表示成关于t的函数关系式,并化简;20. 如图,在RtABC中,B=90,BC=5,C=30点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒(t0)过点D作DFBC于点F,连接DE、EF(1)求证:AE=DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由(3)当t为何值时,DEF为直角三角形?请说明理由21如图,在四边形ABCD中,AB=DC,E、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是BD、AC的中点,猜一猜EF与GH的位置关系,并证明你的结论21. 如图1,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且ACE是等边三角形(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)如图2,若AED=2EAD,AC=6求DE的长22. 在菱形ABCD中,ABC=60,E是对角线AC上一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF(1)若E是线段AC的中点,如图1,易证:BE=EF(不需证明);(2)若E是线段AC或AC延长线上的任意一点,其它条件不变,如图2、图3,线段BE、EF有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;并选择一种情况给予证明23. 如图1,P是线段AB上的一点,在AB的同侧作APC和BPD,使PC=PA,PD=PB,APC=BPD,连接CD,点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点,顺次连接E、F、G、H(1)猜想四边形EFGH的形状,直接回答,不必说明理由;(2)当点P在线段AB的上方时,如图2,在APB的外部作APC和BPD,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?说明理由;(3)如果(2)中,APC=BPD=90,其他条件不变,先补全图3,再判断四边形EFGH的形状,并说明理由
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