菱形讲义(经典)

第一章 特殊的平行四边形一、菱形：【知识梳理】1菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且四边相等 角的性质：邻角互补，对角相等 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半3菱形的判定判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形 判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定：四边相等的四边形是菱形【例题精讲】板块一、菱形的性质例1.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm（1）求菱形ABCD的边长；（2）求菱形ABCD的高DM 例2.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H求证：（1）求BGD的度数。（2） 求证：DG+BG=CG例3.将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29所示的四边形ABCD.(1)求证：四边形ABCD是菱形(2)如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由 例4.已知，菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数 跟踪练习：1.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AEBC,垂足为E,则AE的长为()A.4B.2.4C.4.8D.52.如图，在菱形ABCD中，B=60，AB=2，E、F分别是BC和CD的中点，连接AE、EF、AF，则AEF的周长为（ ）A. B. C. D.3.3.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A.15或30B.30或45C.45或60D.30或604如图1138，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：图1138甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形乙：分别作A，B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形根据两人的作法可判断()A甲正确，乙错误 B甲错误，乙正确 C甲、乙均正确 D甲、乙均错误5. (1) 如图所示,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4 cm.那么,菱形ABCD的面积是_,对角线BD的长是_.(2) 如图：菱形ABCD中，AB=2，B=120，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_6.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，ADE和BCE都是等边三角形，AB、 BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论7.如图所示，在菱形ABCD中，ABC=60，DEAC交BC的延长线于点E求证：DE=BE 8.如图，在菱形ABCD中，A=60，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OEAB，垂足为E （1）求ABD的度数； （2）求线段BE的长 9.如图，四边形ABCD是菱形，BEAD、BFCD，垂足分别为E、F（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长 10.如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE（1）证明：APD=CBE；（2）若DAB=60，试问P点运动到什么位置时，ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？ 11.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积 【作业】一. 选择题：1.在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（ ）A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm2.如图，在菱形ABCD中，BAD=60，BD=4，则菱形ABCD的周长是_3.已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（）A、20B、14 C、28 D、244.如图，菱形ABCD的周长是16，A=60，则对角线BD的长度为（ ）A2 B C4D 5.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BAD=120，AC=4，则该菱形的面积是（）A、16B、16 C、8 D、86. 如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A、M（5，0），N（8，4）B、M（4，0），N（8，4）C、M（5，0），N（7，4）D、M（4，0），N（7，4）二、填空题7. 如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 cm2第9题第8题第7题8. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC8，BD6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离 9.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，ABC=60，则四边形ABCD的面积等于 cm2三、解答题12. 如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。 求证：ACEACF。ADFEBC13.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（3，0）（1）求点D的坐标；（2）求经过点AB的一次函数解析式14.如图所示，在菱形ABCD中，ABC 60，DEAC交BC的延长线于点E求证：DEBE15. 如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，ACB=30，AB=2（1）求AC的长（2）求AOB的度数（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积板块二、菱形的判定例1.已知:如图1-3,在ABCD中,对角线AC与BD交于点O,ACBD.求证: ABCD是菱形例2.已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证: 四边形ABCD是菱形例3.已知:如图,在ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相较于点E、O、F.求证: 四边形AECF是菱形课堂练习：1.如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 2. 已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别相交于 、.求证：四边形是菱形.3.如图，在梯形纸片中，将纸片沿过点 的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，连结.求证：四边形是菱形4.如图，在中，是的中点分别作于，于，于，于相交于点求证：四边形是菱形【作业】1 有一组邻边相等的 是菱形，对角线 的四边形是菱形。2 菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为 cm，边长为 cm，高为 cm。3 菱形周长为20，相邻两角的比为1:2，则菱形的两对角线的长为 。4如图1所示，菱形ABCD中，AEBC，BE=EC，AE=2，BD= 。5如图2所示，菱形ABCD中，AB=AE=EF=FA，C= 。ABCDEF图3ABDEFC图2ABCDE图16菱形对角线的平方和等于一边平方的（ ） A2倍 B3倍 C4倍 D8倍7菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A对角线互相平分 B邻角互补 C对角相等 D每条对角线平分一组对角8如图3所示，菱形ABCD中，DEAB，DFBC，E、F为垂足，AE=EB，则EDF等于（ ） A75 B60 C50 D459下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（ ） A已知菱形的两条对角线 B已知菱形的一边和一个内角 C已知菱形的四条边 D已知菱形的周长和面积10下列命题正确的是（ ） A有两组邻角相等的四边形是菱形 B有一组邻边相等的四边形是菱形 C对角线互相垂直的四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是菱形11菱形的周长为a，高为h，一条对角线长为h，则另一对角线的长可示为： 。12如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF/BE交AD于F，连结BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。13如图，ABC中，ACB=90，B的平分线交高CD于E，交AC于F，FGAB，G为垂足，求证：四边形CEGF是菱形。 14. 在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形（写出你添加的条件，不要求证明）15.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值16.如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2（1）求证：BDEBCF；（2）判断BEF的形状，并说明理由；（3）设BEF的面积为S，求S的取值范围17如图1，在ABC中，AB=BC=5，AC=6ECD是ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC和BE相交于点O（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QRBD，垂足为点R四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积18. 如图1，在ABC和EDC中，AC=CE=CB=CD；ACB=DCE=90，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H（1）求证：CF=CH；（2）如图2，ABC不动，将EDC绕点C旋转到BCE=45时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论19. 如图，在直角坐标系xOy中，RtOAB和RtOCD的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，RtOAB的面积恒为试解决下列问题：（1）填空：点D坐标为_；（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；20. 如图，在RtABC中，B=90，BC=5，C=30点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（t0）过点D作DFBC于点F，连接DE、EF（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由21如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的结论21. 如图1，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且ACE是等边三角形（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，若AED=2EAD，AC=6求DE的长22. 在菱形ABCD中，ABC=60，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明23. 如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作APC和BPD，使PC=PA，PD=PB，APC=BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在APB的外部作APC和BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）如果（2）中，APC=BPD=90，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由