等差数列的通项公式

等差数列的通项公式【教学目标】1。理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念.2。逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题.3。通过教学，培养同学的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特别到一般的思想.【教学重点】等差数列的概念及其通项公式.【教学难点】等差数列通项公式的灵活运用.【教学方法】本节课主要采纳自主探究式教学方法.充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、施行性.在 教师的启发指导下,强调同学的主动参加，让同学自己去分析、探究，在探究过程中研究和体会得出的结论，从而达到使同学既获得知识又发展智能的目的.【教学过程】环节教学内容师生互动制定意图导入问题某工厂的仓库里堆放一批钢管 参见教材图6-1,共堆放了 7层，试 从上到以下出每层钢管的数量.教师出示引例，并提出问题.同学探究、解答.希望同学能通过 对日常生活中的实际 问题的分析对比,建 立等差数列模型，进 行探究、解答问题， 体验数学发现和创造 的过程.新 课从上例中，我们得到一个数列，每 层钢管数为4, 5,6, 7, 8, 9, 10。1 .等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项 起，每一项与它前一项的差等于同一个 常数，这个数列就叫做等差数列，这个 常数就叫做等差数列的公差常用字母 “表示.师：请同学们仔细观察， 看看这个数列有什么特点？同学观察、回答.教师总结特征：从第二项起，每一项与它 前面一项的差等于同一个常数 即等差.我们给具有这种特征的数 列一个名字一一等差数列.教师板书定义.师：等差数列的例子，在生 活中有很多，谁能再举几个？由特别到一般， 发挥同学的自主性， 培养同学的归纳能 力.在同学自主探 究的基础上得出定 义和公式，更有利于 同学理解和运用.新 课学习一抢答：以下数列是否为等差数列？1,2, 4, 6, 8,10,12,.-；0,1,2, 3, 4, 5,6, ；3, 3, 3, 3,3, 3,3,；2,4, 7,11, 16,-；8, 6, 4,0,2, 4,3, 0, 3,6, 9,.注意：求公差d 一定要用后项减前 项，而小能用前项减后项.2. 常数列特别地，数列3,3, 3, 3, 3, 3,3,也是等差数列，它的公差为0.公差为0 的数列叫做常数列.3. 等差数列的通项公式首项是公差是d的等差数列s 的通项公式可以表示为an=ai- (n 1) d.4. 通项公式的应用依据这个通项公式,只要已知首项ai 和公差d,便可求得等差数列的任意项 an.事实上，等差数列的通项公式中共 有四个变量，知道其中三个，便可求出第教师出示题目.同学思索、抢答.师：你能说出学习一中，各等差数列的公差吗？同学说出各题的公差d.教师订正并强调求公差应 注意的问题.师：已知一个等差数列的首项是公差是a, 如何求出它的任意项缶呢？同学分组探究，填空，归 纳总结通项公式a2=ai + d,a3= + d=+ d=a i +d,4= + d=+ d=a i +d,an= ai +d.师:一个等差数列的各项， 已知和就可以确定下来？师:等差数列的通项公式 中共有几个变量？引导同学观察、 归纳、猜测，培养学 生合理的推理能力.同学在分组合 作探究过程中，可能 会找到多种不同的 解决办法，教帅要逐 一点评，并及时肯 定、赞扬同学善于动 脑、勇于革新的品 质，激发同学的创造 意识.新 课四个.例1求等差数列8, 5, 2,的通项 公式和第20项.解 因为8以=5 8= 3,所以这 个数列的通项公式是an = 8+(72 1) X (3), 即冗=3+11.所以a2Q= 一 3 X 20+ 11= 一49。例2等差数列一5, -9, 13, 的第多少项是一401?解因为a- -5,而且d = 一9一(一5)=4,an= 401,所以401= -5+ (一1) X (-4).解得护100.即这个数列的第100项是一401.学习二(1) 求等差数列3, 7, 11,的第4, 7, 10项.(2) 求等差数列10, 8, 6,的第20 项.学习三在等差数列中：(1) d-错误！由7-8,求s；(2) ai= 12, ae= 27,求 d.例3在3与7之间插入一个数使3, A, 7成等差数列，求A.解因为3, A,7成等差数列，所以A 3 = 7 A, 2A= 3 + 7.解得A=5.教师引导同学分析本题， 已知什么?求什么？怎么求？同学思索、说出已知、所 求，代入通项公式.强调：通项公式是用含有 n的式子表不an .同学尝试解答后，师生共 同板书解题过程.仿照例1,教师引导、点拨.同学解答.多媒体出示解题过程.同学核对、订正.教师强调解题过程要规 范、严谨.同学学习.请同学在黑板上做题.教师巡视指导.师生共同订正.教师出示例题.同学同桌之间合作探究.同学分析解题思路.教师出示答案，订正.师：在a与Z?之间插入一 个数使s 5成等差数 列.你能用来表示A吗？激励同学自主 解答,培养同学运算 能力.通过例题，强化 同学对等差数列通 项公式的理解，强化 同学学以致用的意 识.由特别到一般， 发挥同学的自主性， 培养同学的归纳能 力.新 课5. 等差中项的定义一般地，如果s A, 5成等差数列， 那么A叫做a与5的等差中项.6. 等差中项公式如果A是a与5的等差中项，则错误!.这就说明，两个数的等差中项就是 它们的算术平均数.7. 一个结论在寺差数列ai, a2, a3,an,中， a2=错误!， a3=错误!，an=错误!，这就是说，在一个等差数列中，从第 2项起，每一项(有穷等差数列的末项除 夕卜)都是它的前一项与后一项的等差中 项.学习四求以下各组数的等差中项：(1) 732 与一136；(2) 错误!与42.例4已知一个等差数列的第3项是 5,第8项是20,求它的第25项.解因为3=5, .8= 20,依据通项公 式得错误！整理，得错误！解此方程组，得ai= 1, d= 3.同学探究、回答.教师订正同学的回答，给 出等差中项的定义和公式.师：你能用文字描述一下 这个式子的含义吗？师：在等差数列1, 3,5,7,9, 11, 13,中，每相邻的三 项，满足等差中项的关系吗？同学分组合作探究，得出 结论.师：能将这个结论推广到 一般的等差数列中吗？同学持续分组合作探究.教师总结同学的回答，给 出结论.同学做学习.同学回答各题结果，统一 订正答案.教师出示例题.同学分组合作探究.教师点拨、引导：(1)例题给出了哪些量?如在同学自主探 究的基础上得出定 义和公式，更有利于 同学理解和运用.引导同学观察、 归纳、猜测，培养学 生合理的推理能力.通过两道直接 套用公式的学习题， 强化同学对中项公 式的掌握.同学在分组合 作探究过程中，可能新 课所以a25= 1+ (25 1)X3=71。强调:已知首项ai和公差d,便可求 得等差数列的任意项an.学习五(1)已知等差数列s中,ai- 3, an- 21, d=2,求.(2)已知等差数列修 中，创= 10,处=6,求欲和例5梯子的最高一级是33cm,最低 一级是89cm,中间还有7级，各级的宽度 成等差数列，求中间各级的宽度.解用表示题中的等差数列.已 知 ai= 33, an= 89 , n= 9,贝lj见=33+(9 1)，即89 = 33 + %,解得d=7.于是02= 33 + 7 = 40,a3= 40 + 7 = 47,a4= 47 + 7 = 54,a5= 54 + 7 = 61,a6= 61 + 7 = 68,ai 68 + 7 = 75,as= 75 + 7 = 82.即梯子中间各级的宽从上到下依次 是 40 cm, 47 cm, 54 cm, 61 cm,68 cm, 75 cm,82 cm.例6已知一个直角三角形的三条边 的长度成等差数列.求证:它们的比是3 :4 : 5.证实 设这个直角三角形的三边长 分别为何用数列符号表示？(2)例题中的所求量是什 么？必须要知道哪些条件？教师总结同学思路，给出 解题过程.同学自主学习.教师巡视指导.请各别同学在黑板上做题 后，师生共同订正.教师出示例题.引导同学将题中的已知和 未知转化为用数列符号表示.同学解答.教师巡视指导.教师出示解题过程，强调 解题步骤要规范、严谨，表达 要简明、完整.会找到多种不同的 解决办法，教帅要逐 一点评，并及时肯 定、赞扬同学善于动 脑、勇于革新的品 质，激发同学的创造 意识.激励同学自主 解答,培养同学运算 能力.通过例题，强化 同学对等差数列通 项公式的理解，强化 同学学以致用的意 识.新 课ad, a,a+d.依据勾股定理，得(ad) 2+(a+d)2.解得.于是这个直角三角形的三边长是3d,4d, 5d,即这个直角三角形的三边长 的比是3 ： 4 ： 5.教师出示例题，提示点拨： 当已知三个数成等差数列时， 可将这三个数表示为ad, a, a+d,其中是公差.由于这样具有 对称性，运算时往往容易化简.同学依据教师的提示，分 组探究.请同学在黑板上做题.教师引导同学订正解题过 程，规范解题步骤.在例题的教学 中，教师要注重引导 同学分析题意，教会 同学思索问题、解决 问题的思路与方法； 在解决问题中，将新 的知识内化到同学 原有的认知结构中 去.小 结1. 等差数列的定义及通项公式.2. 等差中项的定义和公式.3. 等差数列通项公式和中项公式的 应用.同学阅读课本P9P12, 畅谈本节课的收获.教师引导梳理，总结本节 课的知识点和解题方法.教师激励同学 积极回答，答不完整 没有关系，其它同学 补充.以此培养同学 的口头表达能力，归 纳概括能力.作业教材P17,习题第1, 2, 6题.同学课后完成.巩固拓展.