样本平均数的方差的推导

样本平均数的方差的推导:假定从任意分布的总体中抽选出一个相互独立的样本坷，则有E(x) = X,cf j 二员即每一个样本单位都是与总体同分布的。在此基础上，证明样本平均数以总体平均数为期望值。11=(西+禺+耳) n=：E(xJ +Eg) E (兀 j=l(X + X+.+ X) = X n接着，再以此为基础，推导样本平均数的方差。在此，需要注意方差的计算公式为：曲=E(XE( X)?以下需要反复使用这一定义:b； = E (x - E (元)2(工人+心：+兀M又)2=-E (为(召+无+兀“一/庆)rr=7 E(X X) + (尤 2 - X)(X” 一 X)(Axy+ (xX)22 (xX) 2+y X)(Xj-x) n /X j=-4 E (x, -X) 2 + E (. 一乂尸 + + E (x 一天尸 +E (x,- X)(xy - X) 2 _n /x j12二右 nb =ir n在证明中，一个关键的步骤是工3-斤）（-无）=0,其原i幻因在于这一项事实上是兀与勺的协方差。由于任意两个样本都是 相互独立的，因此其协方差均为（）。如果采用的是无放回的抽样，则样本间具有相关性，协方差 小于（）。此时样本均值的方差为心乩二n N-1样本方差的期望:证明了样本平均数的方差公式后，我们可以来分析一下样本 方差的情况。乞昭-M先构造一个统计量为S=，我们来求它的期望。117 yx2 十根据方差的简捷计算公式：心一-（X）-,可得E（S）W E （工彳一品）冷正g）-处（元2）其中，同样运用简捷计算公式，可以得到：（召2）=或+ （召）2=分+0；E （元 2）= b； + （E （x） 2 =“L+X2原式化为1 r _2E（S、二一“C +0）一 优 L+乂 2）un=T； +X2）-（5L+ X2） ii1-1 q6等式的两端同除以右侧的系数项，得到E（ S）-成77-1）2工（兀-元）2令 S n S n 上r-77-17?-l n77-1则有 E（S） = b；